Теорема 2.4. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся и при этом xn ≤ yn, n > n0, то lim xn ≤ lim yn.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательности

Непосредственно из определения 2.4 следуют и такие результаты.

Теорема 2.5. Если числовая последовательность {xn} сходится и lim xn < b (b R), то N N : xn < b, n > N.

Cледствие. Если последовательность {xn} сходится и lim xn 6= 0, то

N N : sgn xn = sgn(lim xn), n > N.

Теорема 2.6. Пусть последовательности {xn}, {yn}, {zn} удовлетворяют условиям:

1)xn ≤ yn ≤ zn, n > n0,

2)последовательности {xn} и {zn} сходятся и lim xn = lim zn = a.

Тогда последовательность {yn} сходится и lim yn = a.

2.1.3Бесконечно малые последовательности

Определение 2.7. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно малой (коротко б.м.), если она сходится и lim xn = 0.

Согласно определению 2.4 предела числовой последовательности, определение 2.7 эквивалентно следующему:

Определение 2.8. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что при всех n > N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству |xn| < ε.

Итак, {xn} — б.м. ε > 0 N = N(ε) : n > N |xn| < ε.

28

Из примеров 2, 3 и замечания 1 к теореме 2.3 получаем, что после-

малыми.

Свойства бесконечно малых последовательностей описываются следующими теоремами.

Теорема 2.7. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть последовательности {xn}, {yn} — бесконечно малые. Покажем, что таковой будет и {xn + yn}. Зададим ε > 0. Тогда найдется номер

Обозначим через N = max{N1, N2}. При n > N будут справедливы неравенства (2.1) и (2.2) . Поэтому при n > N

ε ε

|xn + yn| ≤ |xn| + |yn| < 2 + 2 = ε.

Это означает, что последовательность {xn +yn} — бесконечно малая. Утверждение о сумме конечного числа бесконечно малых последо-

вательностей следует из доказанного по индукции.

Теорема 2.8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая.

Пусть {xn} — ограниченная и {yn} — бесконечно малая последовательности. По определению 2.6 ограниченной последовательности найдется число M > 0 такое, что

Зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как {yn} — бесконечно малая последовательность, то найдется номер N = N(ε) такой, что

Поэтому последовательность {xn · yn} является бесконечно малой.

29

Cледствие 1. Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся есть бесконечно малая последовательность.

Cледствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пользуясь бесконечно малыми последовательностями, на определение сходящейся последовательности можно посмотреть по-другому.

Лемма 2.1. Для того чтобы число a являлось пределом числовой последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление xn = a + αn, n N, в котором {αn} — бесконечно малая последовательность.

Необходимость. Пусть lim xn = a и a R. Тогда

ε > 0 N = N(ε) N : n > N |xn − a| < ε.

Если положить αn = xn − a, n N, то получим, что {αn} — бесконечно малая последовательность и xn = a + αn, n N.

Достаточность. Пусть последовательность {xn} такова, что существует число a, для которого xn = a + αn, n N, и lim αn = 0. Зафиксируем произвольное положительное число ε. Так как lim αn = 0, то найдется номер N = N(ε) N такой, что |αn| < ε, n > N. То есть, в других обозначениях, n > N |xn − a| < ε. Это означает, что lim xn = a.

Применим лемму 2.1 к одному важному частному примеру.

√

Лемма 2.2. lim n n = 1.

√√

Так как для всех n > 1 n n > 1, то n n = 1 + αn, причем αn > 0 для

N = max{1, [2/ε ]}, получим, что 0 < αn < ε, n > N. Следовательно,

последовательность {αn} является бесконечно малой и, согласно лемме

√

2.1, lim n n = 1. √

Cледствие. Если a > 1, то lim n a = 1.√ √

Утверждение следует из неравенств 1 < n a ≤ n n , n > [a].

2.1.4 Арифметические операции с последовательностями

Пользуясь леммой 2.1 и свойствами бесконечно малых последовательностей, легко получить теоремы о пределах последовательностей, получаемых с помощью арифметических операций из сходящихся последовательностей.

30

Теорема 2.9. Пусть числовые последовательности {xn} и {yn} сходятся. Тогда имеют место утверждения:

1) последовательность {xn ± yn} сходится и

lim(xn ± yn) = lim xn ± lim yn;

2) последовательность {xn · yn} сходится и

lim(xn · yn) = lim xn · lim yn;

3) если lim yn 6= 0, то отношение xn/yn определено, начиная с

некоторого номера, последовательность {xn } сходится и

yn

Докажем только утверждения 2) и 3). Пусть lim xn = a, lim yn = b. По лемме 2.1 xn = a + αn, yn = b + βn, n N, где {αn}, {βn} — бесконечно малые. Тогда

По теореме 2.8 и следствию 1 последовательности {a · βn}, {b · αn}, {αn · βn} являются бесконечно малыми. По теореме 2.7 последовательность {aβn + bαn + αnβn} бесконечно мала. Из представления (2.5) по лемме 2.1 и следует утверждение 2).

Обратимся к утверждению 3). По условию lim yn = b 6= 0. В силу теоремы 2.3. последовательность {|yn|} сходится и lim |yn| = |b| 6= 0. Поэтому по числу ε = |b|/2 найдется номер N такой, что n > N

0 < |2b| = |b| −

2 1 2

Следовательно, yn =6 0, и 3|b| < yn < |b|, n > N.

Таким образом, частное xn/yn определено для всех n > N, а последовательность {1/yn} ограничена. Рассмотрим для всех n > N разность

нечно малая. Поэтому, в силу леммы 2.1, утверждение 3) доказано. Cледствие 1. Если последовательность {xn} сходится, то для лю-

бого числа c последовательность {c · xn} сходится и lim(cxn) = c · lim xn.

31