Действительно, так как g(x) = exp(V (x) ln U(x)), то в силу теорем 4.4

— 4.6 и примера 8 функция g дифференцируема на X и

4.5Инвариантность формы первого дифференциала

Вначале главы показано, что если функция f : X R → R дифференцируема в точке x0 и x — независимая переменная ее, то

Пусть функция x = ψ(t), ψ : T → X, дифференцируема в точке t0 и ψ(t0) = x0. В силу теоремы о дифференцируемости суперпозиции функций функция f ◦ ψ дифференцируема в точке t0 и

(f ◦ ψ)0(t0) = f0(ψ(t0))ψ0(t0) = f0(x0)ψ0(t0).

Поскольку t — независимая переменная функции y = f ◦ ψ(t), то

d(f ◦ ψ)t0 (Δt) = (f ◦ ψ)0(t0)dt = f0(x0)ψ0(t0)dt, где dt = t.

Кроме того, ψ0(t0)dt = dψt0 (Δt). Если обозначить dx = dψt0 (Δt), то получим

Сопоставляя полученную формулу с (4.8), замечаем, что форма дифференциала функции y = f(x) не зависит от того, является ли x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной. Это свойство называют свойством инвариантности формы дифференциала. Следует заметить, что в формуле (4.8) dx = x, а в (4.9) dx = dψt0 (Δt).

4.6Производные высших порядков

Пусть функция f : X R → R дифференцируема на множестве X1 X. Тогда на множестве X1 определена функция f0. Если функция f0 дифференцируема в точке a X1, то говорят, что функция f дважды дифференцируема в точке a, а производную (f0)0(a) называют второй производной функции f в точке a и обозначают одним из следующих символов

104

Если функция f дважды дифференцируема в каждой точке множества X2 X1, то говорят, что функция f дважды дифференцируема на множестве X2. Функцию, определяемую правилом x( X2) → f00(x), называют второй производной функции f на множестве X2. Индуктивно можно ввести понятие n раз (n > 1) дифференцируемой в точке и на множестве функции и n-ой производной функции f в точке и на множестве Xn Xn−1. Например, если n > 1, то f(n)(x0) = (f(n−1))0(x0), если последняя производная существует. Заметим, что при n > 1 для любого

k = 1, . . . , n − 1

f(n)(x0) = (f(k))(n−k)(x0).

Пример 4.11. Пусть f : (0, +∞) → R, f(x) = xα, где α R, α 6= 0.

Покажем, что функция f дифференцируема любое число раз на (0, +∞).В силу примера 4 функция f дифференцируема на (0, +∞) и

f0(x) = αxα−1, x (0, +∞).

Поскольку f0 является произведением постоянной и степенной функций, то по теореме 4.4 она дифференцируема на интервале (0, +∞). Следовательно, функция f дважды дифференцируема на нем и

f00(x) = α(α − 1)xα−2.

Заметим, что если α = 1, то f0(x) = 1 и f00(x) = 0, x (0, +∞). Предположим, что n N, n > 2, функция f (n − 1) раз дифферен-

цируема на (0, +∞) и f(n−1)(x) = α(α − 1)...(α − n + 2)xα−n+1.

является произведением числа α(α − 1)...(α − n + 2)

истепенной функции xα−n+1. Поэтому она дифференцируема на (0, +∞)

иf(n)(x) = α(α − 1)...(α − n + 2)(α − n + 1)xα−n. Следовательно, функция f дифференцируема в области определения любое число раз и

f(n)(x) = α(α − 1)...(α − n + 1)xα−n, n N.

В частности, если α = k0 N, то

f(n)(x) = 0, n > k0, x (0, +∞); f(k0)(x) = k0!, x (0, +∞).

Если α = −1, то f(n)(x) = (−1)nn!x−n−1, x (0, +∞).

Из теоремы 4.5 получаем, что функция f(x) = (ax + b)α, где α R,

дифференцируема любое число раз при x > −ab и

((ax + b)α)(n) = α(α − 1)...(α − n + 1)(ax + b)α−nan.

Наконец, согласно теореме 4.4, многочлен

m

X

P (x) = akxk, m N, am 6= 0,

k=0

105

дифференцируем на R любое число раз и

P (n)(x) = 0, n > m, P (m)(x) = m! am, x R.

Пример 4.12. Докажем, что функция f(x) = ln x дифференцируема любое число раз на (0, +∞).

В примере 8 показано, что рассматриваемая функция f дифференцируема в области определения и f0(x) = x−1. Учитывая предыдущий пример и определение производной n-го порядка, заключаем, что функция f дифференцируема любое число раз на интервале (0, +∞) и

Теорема 4.7. Пусть функции f и ϕ n раз дифференцируемы на множестве X (n ≥ 2). Тогда функции f + ϕ, f · ϕ, n раз дифференцируемы на множестве X и

Последняя формула носит имя Лейбница и очень напоминает бином Ньютона. Только её и докажем, используя метод математической индукции. При n = 1 по утверждению 2) теоремы 4.4 имеем: f · ϕ дифференцируема на множестве X и (f ϕ)0 = f0ϕ + ϕ0f, поэтому доказываемое утверждение верно при n = 1. Предположим, что для некоторого номера m < n функция f · ϕ дифференцируема m раз на X и

106

Так как функции f и ϕ дифференцируемы n раз на X и m < n, то функции f, ϕ, f0, ϕ0, . . . , f(m), ϕ(m) дифференцируемы на множестве X. Поэтому правая часть равенства (4.10) является дифференцируемой на X функцией, а значит функция f · ϕ (m + 1) раз дифференцируема на X

и

Пример 4.13. Используя формулу Лейбница, найдем n−ую производную функции f(x) = 2x2 sin2 x.

Так как f(x) = x2(1 − cos 2x) = x2 − x2 cos 2x и производные порядка выше, чем степень многочлена, тождественно равны нулю, то при n > 2

f(n)(x) = −x2(cos 2x)(n) − 2xn(cos 2x)(n−1) − n(n − 1)2(cos 2x)(n−2) = 2

π2 − nx2n cos 2x + (n − 1)π2 − −n(n − 1)2n−2 cos 2x + (n − 2)π2 =

=−(4x2 − n(n − 1))2n−2 cos 2x + nπ2 − 2nnx sin 2x + nπ2 .

4.7Дифференциалы высших порядков

Пусть функция f, определенная на множестве X R, дифференцируема n раз (n ≥ 2) на X. Зафиксируем число x 6= 0 и рассмотрим функцию df(Δx), определенную на множестве X. Так как

то функция df(Δx) дифференцируема на X. Если x0 X, то величину d(df(Δx))x0 (Δx) называют вторым дифференциалом функции f в точке

107

x0, соответствующим приращению x независимой переменной, и обозначают d2fx0 (Δx). Из формулы (4.11) получаем, что

d2fx0 (Δx) = d(f0 x)x0 (Δx) = (f0 x)0(x0) x = f00(x0)(Δx)2.

Для сокращения записи, используются обозначения

(Δx)2 = x2, (dx)2 = dx2.

Следовательно, второй дифференциал функции f в точке x0 вычисляется по формуле

d2fx0 (Δx) = f00(x0) x2, d2fx0 (dx) = f00(x0) dx2.

По условию функция f дважды дифференцируема на множестве X, поэтому на X определена функция x → d2fx(Δx) ( x — фиксированное число), которую называют вторым дифференциалом функции f на множестве X, соответствующим приращению x независимой переменной. Ее обозначают d2f(Δx). В силу предыдущего

Индуктивно вводится понятие n-го дифференциала функции f в точке x0 из X и на множестве X. По индукции легко доказывается, что

dkfx0 (Δx) = f(k)(x0) xk, dkf(Δx) = f(k) · xk, 1 ≤ k ≤ n.

Вэтой формуле xk = (Δx)k. Аналогично предыдущему, в ней вместо x можно использовать dx, сокращая в записи (dx)k до dxk.

Лемма 4.3. Дифференциалы второго и высших порядков, вообще говоря, не обладают свойством инвариантности формы.

Доказательство проведем для дифференциалов второго порядка. Пусть функция f дважды дифференцируема на множестве X R, а функция ϕ : T → X дважды дифференцируема на множестве T . В силу теоремы 4.5 функция f ◦ ϕ дифференцируема на T и (f ◦ ϕ)0 = (f0 ◦ ϕ) · ϕ0. Но f и ϕ дважды дифференцируемы на T , поэтому f0 ◦ ϕ и ϕ0 — дифференцируемые на T функции и функция f ◦ ϕ дважды дифференцируема на множестве T . Учитывая свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка, получим, что

d2(f ◦ ϕ)(Δt) = d (d(f ◦ ϕ) (Δt)) (Δt) = d((f0 ◦ ϕ) dϕ(Δt))(Δt) =

=d(f0 ◦ ϕ)(Δt) dϕ(Δt) + (f0 ◦ ϕ) d2ϕ(Δt) =

=(f00 ◦ ϕ) (dϕ(Δt))2 + (f0 ◦ ϕ) d2ϕ(Δt).

108