из которого и следует представление (4.19) остаточного члена Rnf формулы Тейлора, которое называется формой Шлемильха и Роша.

Cледствие 1. Если функция f удовлетворяет условиям теоремы 4.21, то для любого x (a, a + δ) найдется такая точка cx (a, x), что

Замечание. Формулу (4.21) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Чтобы её получить, достаточно положить в представлении (4.19) ϕ(t) = (x − t)n+1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа является обобщением теоремы Лагранжа 4.11, которая получается из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n = 0.

Cледствие 2. Если функция f удовлетворяет условиям теоремы 4.21, то для любого x (a, a + δ) найдется такое θx (0, 1), что

(a + θx(x − a))(1 − θx)n(x − a)n+1. n!

Замечание. Эта форма остаточного члена формулы Тейлора называется формой Коши. Чтобы её получить, достаточно положить в представлении (4.19) ϕ(t) = (x − t).

Завершая раздел, заметим, что все его результаты остаются в силе, если рассматривать функцию f на промежутках (a − δ, a] и (a − δ, a + δ).

4.12 Исследование поведения функции на множестве

4.12.1Экстремум функции

Определение 4.9. Пусть f : X R → R. Точка a X называется точкой локального максимума (минимума) функции f, если существует окрестность Ua, такая что

Ua X и f(x) ≤ f(a), x Ua (f(x) ≥ f(a), x Ua).

Если функция f имеет в точке a локальный максимум или минимум, то говорят, что f имеет в точке a локальный экстремум, или что точка a является точкой локального экстремума функции f.

Теорема 4.22 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция f имеет в точке a локальный экстремум и f дифференцируема в точке a, то f0(a) = 0.

123

Утверждение следует непосредственно из теоремы Ферма (теоремы 4.8), примененной к окрестности Ua, указанной в определении экстремума.

Определение 4.10. Внутренние точки множества X, в которых f0(x) = 0, называются стационарными точками функции f.

Заметим, что функция f(x) = x2/3 имеет в точке x = 0 локальный минимум, но f0(0) = ∞. Поэтому справедлива

Теорема 4.23. Если функция f имеет в точке a локальный экстремум, то либо f дифференцируема в точке a и f0(a) = 0, либо функция f не дифференцируема в точке a.

Определение 4.11. Внутренняя точка множества X, в которой функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю, либо бесконечности, либо не существует, называется критической точкой функции f.

Например, точка x = 0 является критической точкой функций f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = |x|, f(x) = x1/3, f(x) = x2/3. Из графиков этих функций следует, что она является точкой локального минимума функций f(x) = x2, f(x) = |x|, f(x) = x2/3, а для функций f(x) = x3, f(x) = x1/3

она не является точкой локального экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка функции является ее точкой экстремума.

Теорема 4.24 (достаточное условие экстремума в критической точке). Пусть функция f определена на промежутке X, a — критическая точка функции и функция f дифференцируема в некоторой окрестности Ua(δ) точки a, кроме, быть может, самой точки a. Если функция f0(x) меняет знак при переходе через точку a, то есть на интервалах (a − δ, a) и (a, a + δ) f0(x) имеет противоположные знаки, то a — точка экстремума функции f. При этом, если

f0(x) > 0, x (a − δ, a) и f0(x) < 0, x (a, a + δ),

то a является точкой максимума функции, а если

f0(x) < 0, x (a − δ, a) и f0(x) > 0, x (a, a + δ),

то a — точка минимума функции. Если же функция f0(x) не меняет знак при переходе через a, то a не является точкой экстремума функции f.

Пусть f0(x) > 0 на (a−δ, a) и f0(x) < 0 на интервале (a, a+ δ). Так как a — критическая точка функции, то f непрерывна в точке a. Поэтому функция f непрерывна на промежутке (a−δ, a] и f0(x) > 0, x (a−δ, a),

124

непрерывна на промежутке (a, a + δ] и f0(x) < 0, x (a, a + δ). В силу критерия монотонности функции на промежутке (см. следствие 1 теорем 4.12 и 4.13) функция f возрастает на (a − δ, a] и убывает на [a, a + δ), поэтому f(x) ≤ f(a), x Ua, то есть функция f имеет в точке a локальный максимум.

Аналогично рассматриваются и два других случая. Замечание. Условие изменения знака производной при переходе че-

рез точку a является достаточным условием локального экстремума, но

Теорема 4.25 (достаточное условие экстремума в стационарной точке). Пусть a — стационарная точка функции f : X → R, f дифференцируема в некоторой окрестности точки a и дважды дифференцируема в точке a. Если f00(a) > 0 (f00(a) < 0), то точка a является точкой локального минимума (соответственно, максимума) функции f.

Так как a — стационарная точка функции f, то f0(a) = 0. B силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (теорема 4.19) для всех x (a − δ, a + δ) \ {a}

то есть функция f имеет в точке a локальный минимум.

Аналогично доказывается, что функция f имеет в точке a локальный максимум, если f00(a) < 0.

Замечание. Если f00(a) = 0, то функция может иметь в точке a локальный экстремум (как функция f(x) = x4 в точке a = 0), а может и не иметь (как функция f(x) = x3 в точке a = 0). Для ответа на вопрос, является ли в этом случае точка a точкой экстремума можно привлечь информацию о производных более высокого порядка.

125

Теорема 4.26. Пусть функция f : (a − δ, a + δ) → R (n − 1) раз дифференцируема в (a − δ, a + δ), n раз дифференцируема в точке a и

Тогда

a)если n — четное число, то a — точка локального экстремума f: максимума, если f(n)(a) < 0, и минимума, если f(n)(a) > 0.

b)если n — нечетное число, то a не является точкой экстремума функции f.

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и условие (4.22), получим, что

где α(x) → 0 при x → a. Учитывая, что f(n)(a) 6= 0, а α(x) → 0 при x → a,

найдем такое δ0 > 0, что |α(x)| < |f(n)(a)| для всех x (a−δ0, a+δ0)\{a}. n!

Поэтому в проколотой δ0-окрестности точки a

Если n — четное число, то для всех x (a − δ0, a + δ0) \ {a}

(x − a)n > 0 и sgn(f(x) − f(a)) = sgn f(n)(a).

Если f(n)(a) > 0, то f(x) > f(a), x (a − δ0, a + δ0) \ {a}, и f имеет в точке a локальный минимум. Если же f(n)(a) < 0, то f(x) < f(a),x (a − δ0, a + δ0) \ {a}, и f имеет в точке a локальный максимум. Если n — нечетное число, то функция (x − a)n имеет противоположные знаки по разные стороны от точки a, то есть разность f(x) −f(a) меняет знак при переходе через точку a. Последнее означает, что a не является точкой экстремума функции f.

Замечание. Очевидно, что теорема 4.25 является следствием теоремы 4.26.

С задачей локального экстремума тесно связана задача о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на промежутке. Для функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], согласно 2-ой теореме Вейерштрасса существует точка p [a, b], в которой эта функция принимает

126