1.5Функции действительной переменной

1.5.1Функция и способы её задания

Определение 1.22. Функцию f : X −→ R, X 6= называют действительнозначной, а в случае, когда X R, действительнозначной функцией действительной переменной или короче, когда это не может вызвать недоразумения, функцией действительной переменной.

Всюду далее рассматриваться будут только такие функции. Сначала приведём несколько примеров.

Пример 1.2. Каждому числу x R поставим в соответствие ординату (абсциссу) точки, полученной поворотом точки (1, 0) координатной плоскости вокруг начала координат на угол x. Это правило задает функцию на R, со значениями в отрезке [−1, 1], которую называют тригонометрическим синусом (косинусом) и обозначают sin x ( соответственно cos x).

Пример 1.3. Каждому неотрицательному числу x поставим в соответствие число x, а отрицательному числу x — число (−x). Получим функцию, определенную на R, с множеством значений [0, +∞). Эту функцию называют модулем (или абсолютной величиной) числа x и обозначают |x|.

Перечислим полезные для дальнейшего свойства этой функции.

1.|a| > 0, a R;

2.|a| = 0 a = 0;

3.| − a| = |a|, a R;

4.−|a| 6 a 6 |a|, a R;

5.|a + b| 6 |a| + |b|, a, b R;

6.|a + b| > ||a| − |b||, a, b R.

Спомощью функции |x| можно очень коротко записывать некоторые часто используемые множества. Так, если ε > 0, и a R, то

Пример 1.4. Каждому положительному числу x поставим в соответствие 1, числу x = 0 — число 0, каждому отрицательному числу — число −1. Получим функцию, действующую из R на множество {−1; 0; 1}. Её

13

называют функцией знака и обозначают sgn x (от латинского — signum),

Многие часто встречающиеся функции, как видно из примеров, имеют определенное символьное обозначение. Используя эти обозначения, задание многих функций можно реализовать в виде формулы (или аналитического выражения), содержащей указания на те операции над числами и значениями аргумента x, которые надо провести, чтобы получить соответствующее y. Такой способ задания функции называют аналитическим. Область определения X этой функции, как правило, не указывается и называется естественной областью определения функции. Она совпадает с множеством тех действительных чисел, для которых указанная формула имеет смысл (в процессе вычислений оперируют только

действительными числами). Например, если функция задана формулой

√

f(x) = ln cos 2πx, то ее естественной областью определения является множество Z целых чисел, а множеством значений — {0}.

Заметим, что всякая формула является символьной записью некоторого правила, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью правила или формулы; это различие чисто внешнее.

В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально. Такая функциональная зависимость задается не формулой, а лишь таблицей, где сопоставлены полученные из опыта величины. Примеры табличного задания функции можно найти в любом техническом справочнике.

Наконец, в некоторых случаях с помощью самопишущих приборов (например, сейсмографа) функциональная зависимость между физическими величинами задается графиком. Мы не будем останавливаться на последних способах задания функции, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться. С некоторыми другими способами задания функции мы познакомимся позже.

Поскольку в R определены арифметические операции, то их можно определить и для действительнозначных функций.

Определение 1.23. Пусть функции f и ϕ действуют из X в R. Функцию, обозначаемую f + ϕ, определенную правилом:

x X → f(x) + ϕ(x),

называют суммой функций f и ϕ.

14

Аналогично вводится произведение и частное функций.

1.5.2Монотонные функции

Определение 1.24. Функция f : X −→ R называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любых x1, x2 X таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (соответственно f(x1) > f(x2)).

Возрастающие или убывающие на множестве X функции еще называют строго монотонными на X.

Определение 1.25. Функция f : X −→ R называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если для любых x1, x2 X таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) 6 f(x2) (соответственно f(x1) > f(x2)).

Очевидно, что возрастающая на множестве X функция является неубывающей, а убывающая — невозрастающей.

Функции, которые являются неубывающими или невозрастающими на множестве X, еще называют монотонными функциями на X.

Теорема 1.1 (о существовании обратной функции к строго монотонной). Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то функция f : X −→ f(X) биективна и обратная к ней возрастает (убывает) на множестве f(X).

Пусть для определенности функция f возрастает на X. Ясно, что она сюръективна. По определению возрастающей функции разные элементы множества X имеют разные образы, поэтому функция f : X −→ f(X) инъективна. Следовательно, она биективна и определена обратная функция f−1 : f(X) −→ X по правилу:

y f(X) −→ x = f−1(y) X : f(x) = y.

Пусть y1, y2 — произвольные элементы множества f(X) и y1 < y2. Положим f−1(y1) = x1, f−1(y2) = x2. Тогда y1 = f(x1) и y2 = f(x2). Так как функция f−1 биективна, то x1 6= x2. Если бы x1, x2 удовлетворяли неравенству x1 > x2, то в силу возрастания функции f мы бы получили y1 > y2, чего быть не может в силу выбора элементов. Таким образом

y1, y2 f(X) : y1 < y2 = f−1(y1) < f−1(y2),

что означает возрастание функции f−1 на множестве f(X). Замечание. Функция, имеющая обратную, не обязательно монотон-

на.

15