Глава 2

Теория пределов

В этой главе изучается операция предельного перехода — основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.

2.1 Предел последовательности

2.1.1 Определение и примеры

Определение 2.1. Функция f : N → X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn} или {xn}+n=1∞, а также записывают в виде x1, x2, . . . , xn, . . . .

В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f : N → R действительных чисел.

Определение 2.2. Интервал, содержащий точку a R, называют окрестностью этой точки. Интервал (a − δ, a + δ), δ > 0, называют δ-окрестностью точки a и обозначают Ua(δ) или Va(δ) (часто пишут короче: Ua или Va).

Определение 2.3. Число a R называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любой окрестности точки a существует номер N N такой, что все элементы xn последовательности, номера которых больше N, содержатся в Ua. При этом пишут

nlim→∞ xn = a или lim xn = a или xn → a при n → ∞.

24

В логической символике определение 2.3 имеет вид:

a R. a = lim xn Ua N = N(Ua) N : n > N xn Ua.

Поскольку Ua(ε) = (a − ε, a + ε) = {x R : |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения 2.3

Определение 2.4. Число a называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |xn − a| < ε.

Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N : n > N |xn − a| < ε

Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.

Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:

Число a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности точки a находится не более конечного числа членов последовательности {xn}.

Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn}, то a не является пределом {xn}.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Если {xn} : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности

25

Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона

qn = 1 + nα + n(n − 1)α2 + · · · + αn > nα.

2!

Итак, ε > 0 N = max{1, [1/εα]} N : n > N |1/qn| < ε.

Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn} : xn = (−1)n, не имеет предела.

Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua(1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua(1), то вне Ua(1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn}. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn.

Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.

В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn} сходится a R : lim xn = a.

дящимися, а последовательность {(−1)n} — расходящейся.

2.1.2Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Пусть числовая последовательность {xn} имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим

ε = b −2 a. По определению 2.4 предела последовательности найдем N1 и

26

Определение 2.6. Числовая последовательность {xn} называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {xn | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X — неограниченное множество, то {xn} называется неограниченной последовательностью.

C учетом определений 2.1 и 2.2 имеем:

{xn} ограничена сверху M R : n N xn ≤ M, {xn} ограничена снизу M R : n N xn ≥ M, {xn} ограничена M > 0 : n N |xn| ≤ M,

{xn} не ограничена M > 0 n N : |xn| > M.

Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть последовательность {xn} сходится и lim xn = d. Полагая в определении 2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:

a = min{x1, x2, . . . , xN , d − 1}, b = max{x1, x2, . . . , xN , d + 1}.

Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.

Замечание. Ограниченность последовательности — необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4).

Теорема 2.3. Если числовая последовательность {xn} сходится и lim xn = a, то последовательность {|xn|} сходится и lim |xn| = |a|.

Так как a = lim xn, то ε > 0 N = N(ε) N : n > N |xn − a| < ε.

Отсюда следует, что n > N ||xn| − |a|| ≤ |xn − a| < ε.

Замечание 1. Из теоремы 2.3 и примера 3 следует, что при |q| > 1

1

lim qn = 0.

Замечание 2. Обратное утверждение к теореме 2.3 не имеет места.

27