Во вторую строку поместим все несократимые рациональные числа со знаменателем 2 в порядке не убывания их абсолютных величин, причем вслед за каждым положительным числом следует ему противоположное:

1/2, −1/2, 3/2, −3/2, 5/2, −5/2, . . . .

Аналогично, в n-ую строку выпишем все несократимые рациональные числа со знаменателем n, упорядоченные по абсолютной величине и вслед за каждым положительным числом вписано ему противоположное. В результате получим таблицу всех рациональных чисел, состоящую из счетного множества строк, каждая из которых содержит счетное множество элементов. При этом среди выписанных элементов нет одинаковых. По теореме 8 множество Q счетно.

Определение 1.34. Конечные и счетные множества называют не более чем счетными.

1.7Задания для самостоятельной работы

1.Пусть f : X → Y, ϕ : Y → Z — биективные функции. Доказать, что ϕ ◦ f : X → Z — биективная функция и

(ϕ ◦ f)−1(z) = (f−1 ◦ ϕ−1)(z), z Z.

( )

2.Доказать, что множество рациональных чисел X = n +n 1 , n N

имеет минимальный элемент 1/2, не имеет максимального элемента, но sup X = 1.

3.Пусть X и Y — непустые числовые множества, причем X ограничено сверху, Y X. Доказать, что Y ограничено сверху и sup Y 6 sup X.

4.Пусть X R, X 6= , X ограничено сверху. Доказать, что множество −X = {−x : x X} ограничено снизу и inf (−X) = − sup X.

5.Пусть X R, X 6= , X ограничено снизу. Доказать, что множество −X = {−x : x X} ограничено сверху и sup(−X) = − inf X.

6.Пусть X и Y непустые ограниченные сверху числовые множества. Доказать, что множество Z = {z = x+ y : x X, y Y } ограничено сверху и sup Z = sup X + sup Y .

7.Пусть множество X ограничено сверху, X1 R, и

x0 X1 x X : x0 6 x.

Доказать, что множество X1 ограничено сверху.

22

8. Числовые множества X и Y ограничены сверху. Доказать, что множество Z = X S Y ограничено сверху и sup Z = max{sup X, sup Y }.

9.Привести пример такого множества X R, которое не имеет максимального элемента, а множество Y = {y = |x| , x X} имеет максимальный элемент.

10.Доказать, что если n N, то множество X = {p N : n < p} имеет минимальный элемент, равный n + 1.

11.Пусть X и Y — непустые, ограниченные сверху подмножества положительных чисел, а Z = {z = xy : x X, y Y }. Доказать, что множество Z ограничено сверху и sup Z = sup X · sup Y .

12.Найти sup X, inf X, если

13.Доказать, что множество X = Q ∩ (0, 1) не имеет максимального и минимального элементов.

23