Глава 5

Неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Обратная задача — восстановление функции по известной производной, является основной задачей интегрального исчисления.

Всюду в этой главе функции рассматриваются на промежутках (конечных или бесконечных), расположенных в их области определения.

5.1 Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение 5.1. Пусть D — промежуток в R, конечный или бесконечный, f : D → R. Функция F : D → R называется первообразной функцией для функции f на D (или, проще и короче, первообразной функции f), если она дифференцируема на D и

F 0(x) = f(x), x D.

Очевидно, что если F — первообразная функции f на промежутке D, то F непрерывна на промежутке D, поскольку дифференцируема.

Например, функция F (x) = x является на R первообразная функции f(x) = 1, поскольку F (x) = x дифференцируема на R, и

F 0(x) = 1 = f(x), x R.

В отличие от производной, первообразная функции не обладает свойством единственности. Например, для функции f(x) = −2 sin 2x, функции F (x) = cos 2x и Φ(x) = −2 sin2 x являются первообразными на R,

140

так как для всех x R

(cos 2x)0 = −2 sin 2x и (−2 sin2 x)0 = −4 sin x cos x = −2 sin 2x .

Естественно возникает вопрос об описании всех первообразных заданной функции.

Теорема 5.1. Пусть f : D → R. Если F(x) — первообразная на D для функции f(x), то множество всех ее первообразных на D совпадает с множеством {F (x) + C : C R}.

1). Обозначим через Jf множество всех первообразных функции f на D. Поскольку для любого числа C R функция F (x) + C дифференцируема на D и (F (x)+C)0 = f(x), x D, то функция F (x)+C, является первообразной функции f на D. Значит, {F (x) + C : C R} Jf .

2). Докажем обратное вложение, для чего рассмотрим функцию Φ(x) Jf . Введем функцию ϕ(x) = F (x) −Φ(x), x D. Тогда функция ϕ(x) дифференцируема на D и

ϕ0(x) = F 0(x) − Φ0(x) = f(x) − f(x) = 0, x D.

Откуда по критерию постоянства функции на промежутке (см. теорему 4.13) следует, что ϕ(x) ≡ C, x D, где C — некоторая постоянная. Таким оразом, F (x)−Φ(x) = C, x D, то есть Jf {F (x) + C : C R}.

Учитывая еще вложение, полученное в первой части доказательства, окончательно получаем, что Jf = {F (x) + C : C R} .

Определение 5.2. Пусть D — промежуток, функция f имеет на D первообразную. Совокупность всех первообразных функции f(x) на D называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке D и обозначается символом

Z

f(x) dx,

при этом x называется переменной интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, f(x) dx — подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x) — некоторая первообразная функции f(x)

где C — произвольная постоянная. Последнее равенство следует понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, определенных на промежутке D, причем слева — совокупность, образующая неопределенный интеграл от f(x), а справа — совокупность функций, отличающихся на D от F (x) на некоторую постоянную C.

141

Операция поиска неопределенного интеграла от заданной функции f(x) на промежутке D называется интегрированием.

Пример 5.1. Найти неопределенный интеграл функции f(x) = e|x| на всей числовой прямой.

При x > 0 e|x| = ex и для этой функции на интервале (0, +∞) ex является одной из ее первообразных. При x < 0 e|x| = e−x, и для этой функции на (−∞, 0) первообразной будет функция −e−x + C при любой постоянной C. Так как первообразная функции f(x) по определению 5.1 должна быть дифференцируемой на R, а, следовательно, непрерывной на R, то должно выполняться условие

lim ex = lim (−e−x + C),

x→+0 x→−0

то есть 1 = −1 + C, откуда C = 2. Итак, функция

является непрерывной на R.

Докажем, что эта функция является на R первообразной функции f(x) = e|x|. Очевидно, что f0(x) = ex = e|x| для x > 0 и F 0(x) = e−x = e|x|

5.2 Основные свойства неопределенного интеграла

Теорема 5.2. Пусть функция f : D → R имеет первообразную на промежутке D, тогда на D

Z 0 Z

f(x) dx = f(x), x D, и d f(x) dx = f(x) dx, x D.

Действительно, если F (x) — некоторая первообразная функции f(x)

f(x) dx = F (x) + C.

142

Теорема 5.3. Если функция f(x) дифференцируема на промежут-

df(x) = f(x) + C.

Так как df(x) = f0(x)dx, то по определению 5.2

ZZ

df(x) = f0(x) dx = f(x) + C.

Теорема 5.4. Если функции f(x) и g(x) имеют на промежутке D первообразные, то функция f(x) ± g(x) также имеет первообразную на D, причем

Z Z Z

(f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx. (5.1)

Заметим, что равенство в формуле (5.1) следует понимать как совпадение двух множеcтв функций. Пусть F (x) и G(x) некоторые первообразные функций f(x) и g(x), соответственно, на промежутке D, то

есть Z Z

f(x) dx = F (x) + C1, g(x) dx = G(x) + C2.

Функция F (x) ± G(x) дифференцируема на D и

(F (x) ± G(x))0 = F 0(x) ± G0(x) = f(x) ± g(x), x D.

Последнее означает, что F (x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x) на D, а поэтому

Z

(f(x) ± g(x)) dx = F (x) ± G(x) + C.

Левая часть формулы (5.1) — множество, состоящее из функций вида F (x) ±G(x) + C, а правая — из функций (F (x) + C1) ±(G(x) + C2). Ввиду произвольности постоянных C, C1, C2 эти множества совпадают, то есть справедливо равенство (5.4).

Теорема 5.5. Если функция f(x) имеет на промежутке D первообразную и λ — число, то функция λf(x) также имеет первообразную на D, причем при λ 6= 0

143