кроме тех случаев, когда операция произведения не определена в правых частях. Если, дополнительно, последовательность {xn} сходится, то в соотношениях (2.9) имеют место равенства.
Теорема 2.28. Для числовой последовательности {xn}
1). Пусть
Поэтому −xnk 2). Пусть
nlim xn = −nlim (−xn), nlim xn = −nlim (−xn). |
|||
→∞ |
→∞ |
→∞ |
→∞ |
lim xn = −∞, тогда {xnk } : xnk → −∞ при k → +∞.
n→∞
→ +∞ при k → +∞ и lim (−xn) = +∞.
n→∞
lim xn = +∞. По теореме 2.24
n→∞
nlim xn = +∞ и |
nlim (−xn) = −∞. |
→∞ |
→∞ |
3). Пусть lim xn = a R. По замечанию к теореме 2.22 о характе-
n→∞
ристических свойствах конечного нижнего предела выполнены условия:
1)ε > 0 N N : xn > a − ε, n > N,
2){xnk } : xnk → a при k → +∞. Отсюда получаем:
1)ε > 0 N N : −xn < −a + ε, n > N,
2){−xnk } : −xnk → −a при k → +∞.
Выполнение последних двух условий означает, согласно теореме 2.22 о характеристических свойствах конечного нижнего предела последова-
тельности, что nlim xn = a = −(−a) = −nlim (−xn). |
|
→∞ |
→∞ |
2.1.11Задания для самостоятельной работы
1.Пусть {xn} числовая последовательность. Доказать, что она не имеет предела, если a R, b R такие, что некоторые непересекающиеся окрестности их Ua, Ub содержат бесконечное множество элементов последовательности.
2.Пусть последовательность {xn} сходится, а последовательность {yn}
получена из {xn} перестановкой ее членов (то есть k N nk :
yk = xnk , причем nk1 6= nk2 , если k1 6= k2; и, наоборот, k N mk : xk = ymk , причем mk1 6= mk2 , если k1 6= k2). Доказать, что последовательность {yn} сходится и lim xn = lim yn.
3.Пусть последовательность {xn} сходится. Доказать, что последова-
·· · + xn , n N, сходится и lim yn = lim xn. n
46
4. Привести пример ограниченных (неограниченных) расходящихся последовательностей {xn}, {yn} таких, что {xn + yn} — бесконечно малые.
5. Привести пример такой бесконечно малой последовательности {xn},
√
что xn ≥ 0, n N, и последовательность { n xn} расходится.
6. Пусть последовательности {xn +yn}, {xn −yn} сходящиеся. Доказать, что последовательности {xn}, {yn} сходятся.
7. Доказать, что если последовательность {xn} сходится, а {yn} расходится, то последовательность {xn + yn} расходится.
8. |
Показать на примерах, что если последовательность {xn} является |
|||||||||||||
|
бесконечно малой, то последовательность ( |
xn+1 |
) может быть как |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
сходящейся, так и расходящейся. |
|
|
|
xn |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Доказать, что если Sn — сумма первых n членов арифметической |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
||||
|
прогрессии с разностью d, то последовательность ( |
|
) сходится. |
|||||||||||
|
n2 |
|||||||||||||
10. |
Доказать, что если xn > 0 |
|
n |
N |
, и lim |
xn+1 |
= a, то lim √n |
|
= a. |
|||||
xn |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
xn |
||||||||||
11.Привести пример сходящейся последовательности {xn} и бесконечно большой последовательности {yn} таких, что последовательность {xn · yn} является ограниченной (неограниченной) и расходящейся последовательностью.
12.Пусть {yn} —√бесконечно большая последовательность и a > 0. Доказать, что { n a · yn} — бесконечно большая последовательность.
13.Показать, что последовательность (n · cos nπ3 ) является бесконечно)(
большой, а последовательность |
n · cos |
nπ |
— нет. |
|
|||
4 |
14.Привести примеры последовательностей {xn}, {yn}, которые не являются бесконечно большими, а последовательность {xn · yn} — бесконечно большая.
15.Пусть последовательность {xn} такова, что её подпоследовательно-
сти {x2k}, {x2k−1} сходятся и lim x2k = lim x2k−1 = a. Доказать, что
k→∞ k→∞
последовательность {xn} сходится и lim xn = a.
16.Пусть последовательность {xn} такова, что её подпоследовательности {x3k}, {x3k+1}, {x3k+2} сходятся. Доказать, что последовательность {xn} сходится.
47