существует предела функции f в точке a.

Пример 2.15. Показать, что функция sin x не имеет предела при стремлении x к +∞ (или к −∞).

Для последовательности {xn} : xn = π2 + nπ, n N, sin xn = (−1)n, и потому последовательность {sin xn} не имеет предела.

2.2.3Свойства предела функции

Теорема 2.32. Пусть f : X R → R, a — предельная точка

множества X, Ua — некоторая окрестность точки а, ϕ = f U◦ a∩X . Для того чтобы функция f имела в точке a предел, необходимо и

достаточно, чтобы функция ϕ имела предел в точке a. В случае

существования предела lim f = lim ϕ.

a a

Утверждение сразу следует из определения предела функции.

Теорема 2.33. Функция не может иметь в точке двух различных пределов.

Предположим, что функция f : X → R имеет в точке a два предела

ванной последовательности {xn} : xn X \{a}, n N, xn → a получим,

Определение 2.25. Функция f : X → R называется локально

ограниченной в точке a (a — предельная точка X), если существует

◦

такая окрестность Ua точки a, что множество {f(x) | x Ua ∩X} ограничено. Учитывая определение ограниченного числового множества, заключаем, что локальная ограниченность функции f в точке a означает:

◦ \

Ua M > 0 : |f(x)| ≤ M , x Ua X

Теорема 2.34. Если функция f имеет в точке a конечный предел, то она локально ограничена в точке a.

выполняется неравенство |f(x) − A| < 1. Следовательно, для x Ua T X

|f(x)| ≤ |f(x) − A| + |A| < 1 + |A|,

что означает локальную ограниченность функции f в точке a.

53

Теорема 2.35. Пусть функция f имеет в точке a конечный, от-

Теорема 2.36. Если функции f и ϕ, определенные на множестве X, имеют в точке a конечные пределы, то их сумма f ± ϕ, произве-

Проведем, например, доказательство третьего утверждения (первые два доказываются аналогично).

ем произвольную последовательность {xn} элементов множества X\{a}, стремящуюся к a. Не нарушая общности можно считать, что xn Ua,n ≥ 1. По теореме Гейне

Доказательство проведем с помощью теоремы Гейне. Зафиксируем последовательность {xn} : xn X \{a}, n N, xn → a. Будем считать,

◦

что xn Ua, n N. Тогда f(xn) → b. Положим f(xn) = yn, n N.

54

Поэтому yn Y \{b}, n N, yn → b. Следовательно, b — предельная точка множества Y , что объясняет возможность рассмотрения предела функции ϕ в точке b и, в силу условия 3) теоремы, ϕ(yn) → c при n → ∞. Последнее означает, что

ϕ ◦ f(xn) → c при n → ∞, {xn} : xn X\{a}, xn → a.

Теорема 2.38. Пусть функции f и ϕ определены на множестве

X и имеют конечные пределы в точке a. Если существует такая

◦

окрестность Ua точки a, что f(x) ≤ ϕ(x), x Ua

lim f ≤ lim ϕ.

a a

Теорема 2.39. Пусть функции f, ϕ, g определены на множестве X и удовлетворяют условиям:

Тогда существует предел функции ϕ в точке a и lim ϕ = A.

a

Доказательство последних утверждений можно провести по аналогии с доказательством предыдущих теорем, используя теорему Гейне. А можно повторить доказательства соответствующих теорем теории предела последовательности, заменяя слова ” N N : n > N” на слова

◦

T

” Ua : x Ua X”. Предлагаем читателю провести доказательства

теорем 2.38 и 2.39 самостоятельно.

Как и для последовательности можно ввести понятия бесконечно малой и бесконечно большой в точке a функции.

Определение 2.26. Функция f называется бесконечно малой в

точке a, если существует предел функции f в точке a и lim f = 0.

a

Функция f называется бесконечно большой в точке a, если существует предел ее в точке a и он равен одному из бесконечных символов.

Бесконечно малые и бесконечно большие в точке a функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей с той лишь разницей, что требование ограниченности последовательности заменяется требованием локальной ограниченности функции в точке a, а отграниченность от нуля — локальной отграниченностью от нуля функции в точке. При этом функция f называется локально отграниченной от нуля в точке a, если существу-

◦

ет окрестность Ua точки a и число m > 0 такие, что |f(x)| ≥ m, x Ua

T X.

55

Из понятия бесконечно малой в точке a функции и определения предела функции следует

Теорема 2.40. Для того чтобы существовал конечный предел функции f в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы функция f имела представление f(x) = A + α(x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция.

2.2.4 Односторонние пределы функции

Будем считать, что X — непустое подмножество множества R.

Определение 2.27. Точка a R называется левосторонней (пра-

восторонней) предельной точкой множества X, если для любого числа δ > 0 X T(a − δ, a) 6= (X T(a, a + δ) 6= ). Если a является только

левосторонней или только правосторонней предельной точкой множества X, то ее называют односторонней предельной. Если же a является и левосторонней и правосторонней предельной точкой, то ее называют двусторонней предельной.

Пример 2.16. Если X = (a, b), где a R, b R, то каждая точка x0 X является двусторонней предельной, a — правосторонней, b — левосторонней предельной точкой множества X.

Замечание. Если a — только левосторонняя (правосторонняя) односторонняя предельная точка множества X, то существует такое δ > 0,

что

(a, a + δ) \ X = (X \(a − δ, a) = .

Определение 2.28. Пусть f : X R → R, a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X. A R называется левым (правым) пределом функции f в точке a, если для любой окрестности UA точки A найдется такое число δ > 0, что f(x) UA,x X T(a − δ, a) (соответственно, f(x) UA, x X T(a, a + δ)).

Для обозначения левого (правого) предела функции f в точке a используют следующую символику:

В частности, если a = 0, пишут соответственно:

Из определения 2.28 очевидно следует

56