наибольшее значение, и точка q [a, b], в которой функция принимает наименьшее значение. Если p (a, b), то точка p является точкой локального максимума функции, а если q (a, b), то q является точкой локального минимума функции. Поэтому наибольшее (sup{f(x) : x [a, b]}) и наименьшее (inf{f(x) : x [a, b]}) значения функция f на [a, b] может принимать либо в критических точках, лежащих в интервале (a, b), либо в точках a, b.

Если f(x) непрерывна на интервале (a, b), то вместо значений функции в точках a, b, следует рассматривать

lim f(x), lim f(x),

x→a x→b

если такие пределы существуют (конечные или бесконечные). Точно также следует поступать и на промежутках [a, b) и (a, b].

В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке X часто встречается ситуация, когда функция непрерывна на X и имеет на нем единственную критическую точку. Можно доказать, что, если x0 — точка локального максимума, то f(x0) = sup{f(x), x X}, а если x0 — точка локального минимума, то

f(x0) = inf{f(x), x X}.

Пример 4.15. Исследовать на экстремум f(x) = xe−x, x [0, +∞).Функция f непрерывна и дифференцируема на [0, +∞), причем

f0(x) = e−x − xe−x = e−x(1 − x); f0(x) = 0 x = 1.

Таким образом, функция f имеет на (0, +∞) единственную стационарную точку. Из таблицы

и теоремы 4.24 следует, что функция f имеет в точке x = 1 локальный

4.12.2 Направление выпуклости графика функции

Будем считать, что функция f дифференцируема на интервале (a, b), то есть график f функции f имеет в каждой точке невертикальную касательную.

Определение 4.12. Говорят, что график функции f обращен выпуклостью вверх на интервале (a, b) (или функция f является выпуклой вверх на (a, b)), если график f функции лежит не выше касательных, проведенных в точках (x, f(x)), x (a, b), к этому графику.

127

Определение 4.13. Говорят, что график функции f обращен выпуклостью вниз на интервале (a, b), если на нем f лежит не ниже касательных, проведенных в точках (x, f(x)), x (a, b), к f .

y 6 y 6

Теорема 4.27. Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b). Если f00(x) ≤ 0 (f00(x) ≥ 0) на (a, b), то график f обращен выпуклостью вверх (соответственно, вниз) на (a, b).

Пусть f00(x) ≥ 0, x (a, b), и c — некоторая точка интервала (a, b). Уравнение касательной, проведенной к f в точке (c, f(c)) имеет вид y = f(c) + f0(c)(x − c). Поскольку функция f дважды дифференцируема на (a, b), то из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что x (a, b) ηx, лежащая между (c, x), такая, что

0 для всех x (a, b), то f(x) ≥ yкас(x), x (a, b). Поскольку c — произвольная точка интервала (a, b), то f обращен выпуклостью вниз на (a, b).

Cледствие. Если функция f00 непрерывна и положительна (отрицательна) в точке c, то существует такая окрестность Uc точки c, в которой график f обращен выпуклостью вниз (соответственно, вверх).

Замечание 1. Если на интервале (a, b) f00(x) = 0, то f(x) = kx + c и можно считать, что график функции обращен на (a, b) как выпуклостью вверх, так и вниз.

Замечание 2. Из определений 4.12 и 4.13 следует, что если графикf обращен выпуклостью вверх, то всякая хорда, соединяющая две различные точки графика функции, лежит под соответствующей дугой f , а для функции, выпуклой вниз, она лежит над соответствующей дугойf . Это свойство часто берется в качестве определения выпуклости f вверх и, соответственно, вниз.

Пример 4.16. Пусть f(x) = x2/3. Функция f непрерывна на R, дважды дифференцируема на R\{0} и f00(x) = −29x−4/3 < 0, x 6= 0. Поэто-

128

му на интервалах (−∞, 0) и (0, +∞) график функции обращен выпуклостью вверх.

4.12.3 Точки перегиба

Определение 4.14. Пусть f — непрерывная функция на интервале (a, b), c (a, b). Точку c называют точкой перегиба функции f (или графика функции), если существует такая окрестность Uc(δ) точки c, что на интервалах (c − δ, c) и (c, c + δ) график f имеет различные направления выпуклости.

Теорема 4.28 (необходимое условие точки перегиба). Пусть c —

точка перегиба функции f и f имеет в точке c конечную вторую производную. Тогда f00(c) = 0.

Для простоты доказательства будем считать, что функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности Uc(δ0) точки c и f00(x) непрерывна в точке c.

Предположим, что f00(c) 6= 0. Тогда в силу непрерывности функции f00(x) в точке c существует такое δ (0, δ0), что на интервале Uc(δ) f00(x) сохраняет знак. По теореме 4.27 f обращен выпуклостью вверх, если f00(c) < 0, и вниз, если f00(c) > 0, на интервале Uc(δ). Но тогда c не является точкой перегиба функции f. Следовательно, f00(c) = 0.

Замечание. Условие f00(c) = 0 является необходимым, но не достаточным условием наличия у функции f в точке c перегиба. Подтверждением может служить функция f(x) = x4.

Как и при рассмотрении необходимых условий экстремума функции, можно показать, что точки перегиба непрерывной на интервале (a, b) функции f следует искать среди тех точек c (a, b), в которых либо функция дважды дифференцируема и f00(c) = 0, либо функция f не является дважды дифференцируемой.

Теорема 4.29 (1-ое достаточное условие перегиба). Пусть функция f непрерывна на интервале (a, b) и функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки c (a, b), кроме, быть может, точки c. Если f00(c) = 0 или f00(c) не существует, а функция f00(x) в этой окрестности по разные стороны от точки c имеет противоположные знаки, то c — точка перегиба функции f.

Пусть, например, на интервале (c − δ, c) f00(x) > 0, а на интервале (c, c+δ) f00(x) < 0. Тогда по теореме 4.27 функция f на интервале (c−δ, c) обращена выпуклостью вниз, а на интервале (c, c + δ) — вверх. Поэтому c — точка перегиба функции f.

Пример 4.17. Исследовать на перегиб функцию f(x) = x5/3.

129

Функция f непрерывна на R и f00(x) = 109 x−1/3, x 6= 0. Тогда на интервале (−∞, 0) f00(x) < 0 и график f обращен выпуклостью вверх, а на интервале (0, +∞) f00(x) > 0 и график f обращен выпуклостью вниз, поэтому точка x = 0 — точка перегиба функции f.

Теорема 4.30 (2-ое достаточное условие перегиба). Пусть функция f трижды дифференцируема в точке c и f00(c) = 0, а f(3)(c) 6= 0. Тогда c — точка перегиба функции f.

Так как функция f трижды дифференцируема в точке c, то функция f00(x) дифференцируема в точке c, поэтому в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

f00(x) = f00(c) + f(3)(c)(x − c) + o(x − c), x → c.

1!

Но f00(c) = 0, поэтому

f00(x) = f(3)(c)(x − c) + o(x − c) = (x − c) f(3)(c) + α(x)

где α(x) → 0 при x → c, и, значит, найдется δ > 0 такое, что для всех

◦

x Ua (δ)

◦

Следовательно, в Ua (δ) по разные стороны от точки c функция f00(x) имеет противоположные знаки. С учетом теоремы 4.29 получаем, что c — точка перегиба функции f.

Например, x = 0 — точка перегиба функции f(x) = sin x, так как f00(0) = 0, а f(3)(0) 6= 0.

4.12.4 Асимптоты графика функции

Определение 4.15. Пусть функция f определена на промежутке X, a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой функции f или графика f при x → a − 0 (соответственно, при x → a + 0),

если lim f(x) = +∞ или −∞ (соответсвенно, lim f(x) = +∞ или

x→a−0 x→a+0

−∞).

Пример 4.18. Пусть f(x) = ln x. Тогда D(f) = (0, +∞) и функция f непрерывна на D(f). Точка x = 0 является правосторонней предель-

ной точкой области определения функции и lim f(x) = −∞. Поэтому

x→+0

130

прямая x = 0 является вертикальной асимптотой функции f при x → +0.

Определение 4.16. Пусть функция f определена на промежутке

X и X (a, +∞) (или X (−∞, a)), a R. Прямую y = kx + b

называют наклонной (невертикальной) асимптотой функции f или графика f при x → +∞ (соответственно, при x → −∞), если

прямая x = −1 является вертикальной асимптотой f при x → −1 + 0 и при x → −1 − 0. Разделим числитель x2 + 3x − 4 на знаменатель x + 1 по правилу деления многочленов:

b) Функция непрерывна на R и потому не имеет вертикальных асимптот. Заметим, что для x 6= 0

√3 x3 + x2 = x 1 + x1 !1/3 .

В силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

131