Замечание 1. Приведенные примеры показывают, что в условиях теоремы Кантора нельзя заменить отрезок на промежуток другого вида.

Замечание 2. Из доказательства теоремы Кантора следует, что она остаётся в силе на ограниченном множестве X, содержащем все свои предельные точки.

3.8Задания для самостоятельной работы

1.Пусть функция f является локально ограниченной в точке a. Может ли функция f быть непрерывной в точке a? Может ли она иметь разрыв в точке a и какого рода?

2.Пусть функция f непрерывна в точке a и в любой окрестности ее принимает как положительные, так и отрицательные значения. Доказать, что f(a) = 0.

3.Пусть f(a) = 2 и в каждой окрестности точки a принимает значения, меньшие 1. Доказать, что функция f терпит разрыв в точке a.

4.Доказать, что функция

x, если x Q

f(x) = −x, если x R \ Q

непрерывна только в точке a = 0.

5. Доказать, что функция

x, если x Q

f(x) = x2, если x R \ Q

непрерывна только в двух точках a = 0 и a = 1.

6.Пусть функция f определена и не ограничена на отрезке [a, b]. Доказать, что на этом отрезке функция f имеет хотя бы одну точку разрыва 2-го рода.

7.Пусть функция f : X → R, a X и для любого εn = 1/2n, n N, найдётся число δn > 0 такое, что,

x X : |x − a| < δn |f(a) − f(x)| < εn.

Доказать, что функция f непрерывна в точке a.

8.Пусть функция f : X → R непрерывна в точке a. Доказать, что функция f(2x) непрерывна в точке a/2.

9.Пусть функция f является четной (нечетной) и непрерывной в точке a. Доказать, что функция f непрерывна в точке −a.

90

10. Пусть функция f : X → R является T –периодической и непрерывной в точке a. Доказать, что функция f непрерывна в любой точке a+kT ,

непрерывна в нуле и в иррациональных точках, но не является непрерывной в остальных точках. Указать характер точек разрыва.

12. Пусть функция f ограничена на (a, b) и mf (x) = inf f(t). Доказать,

t (a,x)

что функция mf (x) непрерывна слева в любой точке x (a, b).

13.Пусть функции f и ϕ определены на множестве X R и непрерывны в точке a X. Доказать, что в точке a непрерывны функции

m(x) = inf{f(x), ϕ(x)}, M(x) = sup{f(x), ϕ(x)}.

14.Пусть в точке a функция f непрерывна, а функция ϕ терпит разрыв. Обязательно ли функции f + ϕ, f · ϕ имеют разрыв в точке a?

15.Верно ли утверждение: если функция f непрерывна в некоторой окрестности точки a, то она ограничена в ней?

16.Доказать, что если функция f имеет в двусторонней предельной точке a разрыв первого рода, то она локально ограничена в этой точке.

17.Пусть функция f : X → R непрерывна в точке a X. Доказать, что

18.Пусть функция f : X → R непрерывна в точке a и f(a) 6= 0. До-

казать, что существует число c > 0 и окрестность Ua такие, что

|f(x)| > c, x X T Ua.

19.Пусть функция f : (a, b) → R, непрерывна и имеет конечные односторонние пределы при x → a и x → b. Доказать, что функция f ограничена на интервале (a, b).

20.Пусть функция f непрерывна на (a, b) и в точках x0, x00 (a, b) при-

нимает не равные значения. Доказать, что на (a, b) найдется точка γ такая, что f(γ) = 12(f(x0) + f(x00)).

91

21.Пусть функция f равномерно непрерывна на промежутке [0, 1). Доказать, что существует конечный предел lim f(x).

x→1−0

22.Показать, что уравнение x 2x = 1 имеет по меньшей мере один корень, не превосходящий 1.

23. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и положительна на нем. Доказать, что существует такое число c > 0, что f(x) ≥ c, x

[a, b].

24.Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X и X1 X. Доказать, что f равномерно непрерывна на множестве X1.

25.Пусть функция f равномерно непрерывна на множествах X и X1. Доказать, что f равномерно непрерывна на множестве X S X1.

26.Пусть функции f и ϕ равномерно непрерывны на множестве X. Доказать, что функция αf + βϕ (α, β R) является равномерно непрерывной на X.

27.Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X. Доказать, что функция y = |f(x)| равномерно непрерывна на X. Если множество X симметрично относительно начала координат, то равномерно непрерывной на X будет и функция y = f(|x|).

28.Пусть функция f непрерывна на [0, 1] и f(0) = f(1). Доказать, что функция v(x) = f(x − [x]) является 1-периодичной и равномерно непрерывной на R.

29.Пусть функция f : R → R является T -периодической и непрерывной на R. Доказать, что функция f(x) равномерно непрерывна на R.

30.Доказать, что функция f(x) = arctg x равномерно непрерывна на R.

31.Пусть для функции f : X → R существуют такие числа k > 0,

α (0, 1], что |f(x0) − f(x00)| ≤ k|x0 − x00|α. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве X.

Доказать, что функция f равномерно непрерывна на [a, +∞).

33.Пусть функция f равномерно непрерывна на конечном интервале (a, b). Доказать, что функция f ограничена на (a, b).

92