1.3 Функция

Определение 1.8. Пусть X и Y — некоторые непустые множества. Будем говорить, что задана функция, определенная на X со значениями в Y (иными словами: действующая из X в Y ), если по некоторому закону (правилу) f каждому элементу x X ставится в соответствие единственный элемент y Y , обозначаемый через f(x).

Для записи функции, действующей из X в Y по правилу f, приняты следующие обозначения:

f : X −→ Y, X −f→ Y, f : x X −→ f(x) Y.

Если из контекста ясно, откуда и куда действует функция, то используются короткие обозначения: x → f(x), y = f(x), f(x) или f .

В зависимости от природы множеств X и Y термин "функция" в разных разделах математики имеет ряд синонимов: отображение, преобразование, оператор, функционал.

Если задана функция f : X −→ Y , то множество X называют множеством или областью определения функции; символ x — аргументом функции или независимой переменной; соответствующий x0 X элемент y0 Y называют значением функции на элементе x0 и обозначают через f(x0). При изменении аргумента значениe y = f(x) Y , вообще говоря, меняется. Поэтому величину y называют зависимой переменной.

Как отмечено выше, символ f(x) используется для обозначения самой функции, и значения функции в точке x. Однако это не приводит к недоразумению, поскольку в каждом случае ясно, о чем идет речь. Кроме того, при вычислениях обозначение функции в виде f(x) удобнее, чем другие.

Множество всех значений функции f : X −→ Y , которые она принимает на элементах x из X, называют множеством значений или областью значений функции f на множестве X и обозначают через f(X) или E(f). Таким образом, f(X) = { y Y | x X : y = f(x) }.

В случае отображения f : X −→ Y , элемент y = f(x) из Y , соответствующий элементу x X, называют образом элемента x , а сам элемент x — прообразом элемента y, множество f(X) — образом множества X, а X — прообразом множества f(X). Заметим, что элемент y из f(X) может иметь более одного прообраза.

Определение 1.9. Две функции f : X1 −→ Y1 и ϕ : X2 −→ Y2 называют равными (совпадающими), если X1 = X2 и на каждом элементе

6

x X1 они принимают равные значения, то есть

f(x) = ϕ(x), x X1,

при этом пишут: f = ϕ.

Определение 1.10. Пусть X 6= , f : X −→ Y . Графиком f функции f называют подмножество декартового произведения X × Y , элементы которого имеют вид (x, f(x)), x X, то есть

f = {(x, f(x)) X × Y | x X} = {(x, y) X × Y | x X, y = f(x) }.

1.3.1 Простейшая классификация функций

Определение 1.11. Функция f : X −→ Y называется сюръективной (или отображающей X на Y ), если множество Y совпадает с множеством f(X) — множеством значений функции f на X.

Если рассмотреть уравнение y = f(x) при y Y , то сюръективность функции f : X −→ Y означает, что уравнение y = f(x) имеет не менее одного решения во множестве X при каждом y из Y .

Определение 1.12. Если при отображении f : X −→ Y разные элементы множества X имеют разные образы, то отображение f называют инъективным (f взаимно однозначно отображает X в Y ).

Иными словами, f : X −→ Y инъективно, если

x1, x2 X, : x1 6= x2 = f(x1) 6= f(x2).

При рассмотрении уравнения f(x) = y инъективность отображения f : X −→ Y означает, что для любого y из f(X) Y уравнение имеет единственное решение во множестве X.

Определение 1.13. Отображение f : X −→ Y называют биективным (или взаимно однозначным отображением X на Y ), если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Таким образом, отображение f : X −→ Y биективно тогда и только тогда, когда любой элемент из Y имеет единственный прообраз в X. В этом случае уравнение f(x) = y разрешимо в X при любом y из Y и имеет единственное решение.

1.3.2Композиция функций и обратное отображение

Определение 1.14. Пусть заданы функции f : X → Y , ϕ : Y → Z. Функцию, которая действует из X в Z по правилу

x X −→ z = ϕ(f(x)) Z

7