2.2.7 Критерий Коши для функции

Теорема 2.46. Для того чтобы функция f : X R → R имела конечный предел в точке a R, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 существовала такая окрестность Ua точки a, что для любых точек x0, x00 X T U◦ a выполнялось неравенство

|f(x0) − f(x00)| < ε.

Последнее условие называют условием Коши.

Это означает, что функция f удовлетворяет в точке a условию Коши. Достаточность. Пусть функция f удовлетворяет условию Коши в точке a. Докажем, что функция f имеет в точке a конечный предел.

Пусть последовательность {xn} такова, что xn X\{a}, n N, и lim xn = a. Покажем, что последовательность значений функции {f(xn)} фундаментальна. Зафиксируем число ε > 0 и, согласно условию Коши, найдем соответствующую ему окрестность Ua точки a. Поскольку

◦

lim xn = a и xn 6= a, то найдется номер N такой, что xn Ua, n > N. Следовательно, n > N, p N |f(xn+p) − f(xn)| < ε, что означает фун-

Таким образом, lim f = A.

a

62

Замечание 1. Достаточность условия Коши для существования конечного предела функции можно было доказать иначе, показав, что для любых последовательностей {x0n}, {x00n} таких, что

x0n X\{a}, x00n X\{a}, n N, x0n → a, x00n → a,

последовательности значений функции {f(x0n)}, {f(x00n)} сходятся к одному и тому же числу.

Замечание 2. Если предельная точка a R, то условие Коши существования конечного предела функции f в точке a имеет вид

ε > 0 δ = δ(ε) : x0, x00 X, 0 < |x0 − a| < δ, 0 < |x00 − a| < δ

|f(x0) − f(x00)| < ε.

Замечание 3. Аналогично формулируется и доказывается критерий Коши для случая одностороннего предела функции в точке.

Определение 2.29. Колебанием функции f : X → R на множестве X R называется точная верхняя граница модуля разности значений функции f на всевозможных точках x0, x00 X, то есть

sup |f(x0) − f(x00)|.

x0,x00 X

Колебание функции f на множестве X обычно обозначают через ωf (X) или ω(f, X). Поэтому, используя определение 2.29, критерий Коши существования предела функции, можно сформулировать следующим образом:

2.2.8Сравнение функции

Когда возникает задача описания поведения функции вблизи некоторой точки из R, в которой, как правило, функция не определена, говорят, что интересуются асимптотическим поведением или асимптотикой функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции. Так, говоря о функции f(x) = x2 + 2x + sin(1/x) при x → ∞, можно сказать, что она ведет себя как функция x2, а при x → 0

— как sin(1/x).

Определение 2.30. Пусть функции f и ϕ определены на множестве X R, a — предельная точка множества X. Говорят, что функция f(x) является бесконечно малой по сравнению с функцией ϕ(x) при x → a, и пишут f(x) = o(ϕ(x)) при x → a (читается: "f(x)

63

есть о малое от ϕ(x) при x → a" ), если f(x) = α(x) ϕ(x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Запись f(x) = o(1) при x → a означает, что f является бесконечно малой при x → a.

Если функция ϕ(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки a, то условие f(x) = o(ϕ(x)) при x → a можно переписать в виде

lim f(x) = 0

x→a ϕ(x)

В случае, если функция ϕ является бесконечно малой в точке a, функция f(x) = o(ϕ(x)) при x → a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ϕ. Например, x3 = o(sin x2) при x → 0, так как

Определение 2.31. Пусть функции f и ϕ определены на множестве X, a — предельная точка X. Говорят, что функция f является ограниченной по сравнению с функцией ϕ(x) при x → a и пишут: f(x) = O(ϕ(x)) при x → a, если f(x) = α(x) ϕ(x), где α(x) — локально ограниченная в точке a функция.

Запись f(x) = O(ϕ(x)) при x → a читается: "f(x) есть O большое от ϕ(x) при x → a".

В определениях 2.30 и 2.31 значок x → a указывает на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности точки a.

При использовании равенств с символами O и o следует иметь в виду, что они не являются равенствами в обычном смысле. Так, если f(x) = o(ϕ(x)) при x → a и g(x) = o(ϕ(x)) при x → a, то отсюда нельзя сделать вывод, что f(x) = g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a. Например, x2 + 3x + 1 = o(x3) при x → ∞, x + 5 = o(x3) при x → ∞, но x2 + 3x + 1 6= x + 5 ни в какой окрестности U∞.

64

Аналогично, из равенства f(x) + o(f) = g(x) + o(f) при x → a нельзя сделать вывод, что f(x) = g(x) в U˙a.

Дело в том, что один и тот же символ O(f) или o(f) может обозначать разные функции. По существу определениями 2.30 и 2.31 введены классы функций, обладающих некоторыми свойствами (указанными в этих определениях) в некоторой проколотой окрестности точки a. Более того, равенства f(x) = o(ϕ(x)) или f(x) = O(ϕ(x)) при x → a читается только слева направо.

Определение 2.32. Если функции f и ϕ таковы, что при x → a

f(x) = O(ϕ(x)) и ϕ(x) = O(f(x)),

то они называются функциями одного порядка при x → a.

Например, функции x и (3 + sin x) x являются функциями одного порядка при x → 0 и при x → ∞.

Определение 2.33. Функции f и ϕ, заданные на множестве X, называются эквивалентными при x → a, если найдется такая окрест-

В силу теоремы 2.35 (локального свойства функции, имеющей в точке a отличный от нуля предел), существует такая окрестность Ua

α(x), а поэтому

\ ◦

ϕ(x) = γ(x) f(x), x X Ua, где γ(x) → 1 при x → a.

Следовательно, условие эквивалентности функций f и ϕ симметрично. Часто эквивалентные при x → a функции f(x) и ϕ(x) называют

асимптотически равными при x → a. Эквивалентность функций f(x) и ϕ(x) при x → a обозначают, используя символ , следующим образом:

f(x) ϕ(x) при x → a.

Из сказанного следует, что если f(x) ϕ(x) при x → a, то ϕ(x) f(x) при x → a.

Лемма 2.12. Для того чтобы функции f и ϕ, определенные на множестве X, были эквивалентными при x → a, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)) при x → a или ϕ(x) = f(x) + o(f(x))

при x → a.

Необходимость. Пусть f ϕ при x → a. Тогда f(x) = α(x)ϕ(x),

65

где γ(x) — бесконечно малая в точке a функция. Поэтому для всех

T◦

x X Ua

x → 0. Учитывая теорему о пределе суперпозиции функций, пока можно

◦

сказать, что если lim u(x) = 0 и в некоторой проколотой окрестности Ua

x→a

точки a, u(x) 6= 0, то sin u(x) u(x) при x → a и arcsin u(x) u(x) при

Наконец, отметим еще несколько часто употребимых правил обращения с символами O и o.

1)o(f) + cf = O(f) при x → a, c R.

2)o(f) + o(f) = o(f) при x → a.

3)o(f) = O(f) при x → a.

4)o(f) + O(f) = O(f) при x → a.

5)o(f) · O(f) = o(f2) при x → a.

6)o(c · f) = o(f) при x → a, c 6= 0.

7)f · o(f) = o(f2) при x → a.

Объясним, например, свойство 3). Символ o(f) означает некоторую функцию вида α(x)f(x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция. Поскольку бесконечно малая в точке a функция является локально ограниченной в ней, то α(x)f(x) = O(f) при x → a.

66