RGTA

§8 Внешний дифференциал

2.8.1.Определение. Пусть G En - область в En, f : G → R – дифференциальная функция. Тогда дифференциал df функции f на G определяется равенством df(X) = X(f), где X – векторное поле в G.

2.8.2.Замечание. Известно, что X(f) = hgradf, Xi = Pn ∂u∂fi Xi.

i=1

Рассматрим Xp(f) = hgradf, Xip , p G,

получаем оператор Xp : C∞(G) → C∞(G), где C∞(G) – пространство гладких функций в области G.

В силу сказанного, отождествим вектор Xp и дифференциальный оператор Xp : C∞(G) → C∞(G).

2.8.3. Замечание. Определим скобку Пуассона [X, Y ] векторных полей X и Y , как новое векторное поле, по правилу:

[X, Y ]p = Xp ◦ Yp − Yp ◦ Xp, p G.

2.8.4. Замечание. Понятно, что df есть 1-форма. Если (u1, ..., un) – локальные координаты в G, формы dui, в силу равенства dui(∂j ) =

dui( ∂u∂ j ) = ∂u∂uPji , образуют базис сопряженный к базису {∂j}. Поэтому

имеем df = n ∂f dui, а дифференциал функции можно определить

i=1 ∂ui

координатным образом.

2.8.5. Теорема. Существует единственное линейное отображение d множества k-форм на G в множество (k + 1)-форм на G такое, что:

а) Если f – 0-форма, то df - ее дифференциал;

б) Если ω– k-формы, то d(ω σ) = dω σ + (−1)kω dσ;

в)d(dω) = 0 для любой формы ω.

P

Доказательство. Из свойств а)-в) следует,что dω = dωi1 ,...,ik dui1

... duik , а значит существование и единственность отображения d.

2.8.6. Определение. Отображение d называется внешним диффе-

ренцированием, а dω - внешним дифференциалом формы ω.

2.8.7. Замечание. Фактически мы построили последовательность внешних дифференциалов:

а)Пусть ω = P dx1 + Qdx2, где P и Q определены и дифференцируемы

вG En; dxi, i = 1, 2 – координатные формы. Имеем

dω = dP dx1 + dQ dx2 = ( ∂x∂P1 dx1 + ∂x∂P2 dx2) dx1 + ( ∂x∂Q1 dx1+

где D– область в E2 с границей ∂D. Заметим, что данная формула в математическом анализе известно как формула Грина.

б) Рассмотрим 1-форму ω = P dx1+Qdx2+Rdx3, где p(x) = {P (x), Q(x), R(x)}

– векторное поле в G. Имеем

dω = dP dx1 +dQ dx2 +dR dx3 = ( ∂x∂P1 dx1 + ∂x∂P2 dx2 + ∂x∂P3 dx3) dx1+ +( ∂x∂Q1 dx1 + ∂x∂Q2 dx2+ ∂x∂Q3 dx3) dx2 + ∂x∂R1 dx1+ ∂x∂R2 dx2 + ∂x∂R3 dx3) dx3 = = ( ∂x∂Q1 − ∂x∂P2 )dx1 dx2 + ( ∂x∂R1 − ∂x∂P2 )dx1 dx3 + ( ∂x∂R2 − ∂x∂Q3 )dx2 dx3.

А формула Стокса примет вид

Z

( ∂x∂Q1 − ∂x∂P2 )dx1 dx2 +( ∂x∂R1 − ∂x∂P3 )dx1 dx3 +( ∂x∂R2 − ∂x∂Q3 )dx2 dx3 =

Z

=P dx1 + Qdx2 + Rdx3

∂C

2.8.10. Замечание. Понятно, что имеют место формулы:

∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rotp = { ∂x2 − ∂x3 ; ∂x3 − ∂x1 ; ∂x1 − ∂x2 }

dω(Y1, Y2) = (rotp, Y1, Y2) – поток ротации через площадку (Y1, Y2),

ZZ

(rotp, ·, ·) = P dx1 + Qdx2 + Rdx3 − формула Стокса.

C∂C

Z Z

divpdx1 dx2 dx3 = (p(x), ·, ·),

C ∂C

где ω(Y1, Y2) = (p(x), Y1, Y2) - поток p(x) через площадку (Y1, Y2), а dω(Y1, Y2, Y3) – дивергенция поля p(x) в объеме (Y1, Y2, Y3). Заметим,

что в математическом анализе эта формула известна как формула Гаусса-Остроградского.

2.8.11. Задача. Установить связь между формулой Стокса и формулой Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.

Задачи к главе 2.

1.В евклидовом En найти поле единичных векторов e, ортогональных к 1- параметрическому семейству гиперповерхностей:

F (x1, x2, ..., xn) = const.

2.Найти скалярные поля в E3, производная которых в направлении векторного поля v = (−y, x, 0) равна нулю.

3.Показать, что векторное поле в En с координатами

Xn

vi = x1...xbi...xn(xi + xs),

s=1

где крышка означает, что этот сомножитель следует опустить, потенциально и найти его потенциал.

4.Пусть ϕ, ψ - скалярные поля в An и ξ = ϕgradψ. Вычислить rotξ.

5.Пусть u, v - потенциальные векторные поля в E3. Показать, что div(u × v) = 0.

6.Найти функцию f(r), r = |x|, для которой векторное поле в En v = f(r)x соленоидально.

7.На плоскости действует группа псевдоевклидовых вращений

x′1 = x1cht + x2sht; x′2 = x1sht + x2cht.

Найти поле касательных векторов к траекториям точек.

8.Найти интегральные линии и особые точки следующих векторных полей в аффинном пространстве: а. v = (0, x1, 1), б. v = (x2, −x1, a), в. v = (0, x3, x2), a = const.

9.Пусть v - векторное поле в аффинном пространстве, ϕ, ψ - дифференцируемые функции. Показать, что

а.v(λϕ + µψ) = λv(ϕ) + µv(ψ), λ, µ R;

б.v(ϕψ) = v(ϕ)ψ + ϕv(ψ);

в.v(c) = 0, c = const.

11.Вычислить действие векторных полей u = x∂y, v = x∂x−y∂y, w = y∂x на многочлены Pk(x, y) = xkyn−k, 0 ≤ k ≤ n.

12.Пусть v, w - векторные поля, ϕ, ψ - дифференцируемые функции. Показать, что

[ϕv, ψw] = ϕψ[ϕ, ψ] + ϕv(ψ)w − ψw(ϕ)v.

13.Пусть v, w - векторные поля. Определим их композицию равенством (v◦w)f = v(w(f)) для любой дифференцируемой функции класса C2. Является ли композиция векторных полей векторным полем? Показать, что [v, w] = v ◦ w − w ◦ v есть коммутатор этих полей.

14.Найти компоненты метрического тензора и координатные поверхности в биполярных цилиндрических координатах.

18.Показать, что функции u = x + siny, v = y − 12 sinx определяют систему координат на всем E2 без особенностей.

30.В полярных координатах в E2 дано дано векторное поле v = (cosϕ, − 1r sinϕ). Найти его модуль и ковариантные компоненты.

31.Показать, что формула

w = rotv = (eijk∂j vk)

справедлива для нахождения ротации векторного поля в криволинейных координатах. Найти ротацию поля v в E3:

а. в полярно-сферических координатах;

б. в полярно-цилиндрических координатах.

32.Векторное поле v в E3 имеет полярно-сферические координаты.

Показать, что оно потенциально и найти потенциал.

33.Доказать, что в псевдоевклидовом пространстве wkk = 12 ln|g|, где g = det||gij ||.

34.Доказать, что

35.Вычислить дивергенцию векторного поля w на евклидовой плоскости:

а.в эллиптических координатах; б. в параболических координатах.

36.Вычислить дивергенцию векторного поля w в E3:

а.в полярно-сферических координатах;

б. в полярно-цилиндрических координатах.

37.В E3 в полярно-сферических координатах задано векторное поле w = ( 2acosθr3 , 0, asinθr4 ). Показать, что оно соленоидально.

38.Вычислить дивергенцию векторного поля w в ортогональных криволинейных координатах в En, используя коэффициенты Ламе.

б. в полярно-сферических координатах в E3;

в. в полярно-цилиндрических координатах в E3.

40. Найти выражение для оператора Лапласа f = divgradf через ковариантные производные.

41. Найти производную функции f в точке P по направлению век-

42.Пусть X = (x, y, z). Показать, что

1. divX = 3;

2. rotX = 0;

Найти такую функцию ϕ, что X = gradϕ.

43.Пусть v(x, y, z) - поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси. Показать, что

1. div(v) = 0;

2. rot(v) = 2w

где w - вектор угловой скорости.

44.Пусть X = (x, y, z), Y – постоянное векторное поле. Показать, что rot[Y × X] = 2Y .

45.Решить уравнение rotX = Y : 1. Y = (1, 1, 1);

2. Y = (2y, 2z, 0);

3. Y = (0, 0, ex − ey); 4. Y = (6y2, 6z, 6x);

5. Y = (3y2, −3x2, −(y2 + 2x)); 6. Y = (0, 2cosxz, 0);

7. Y = (−y/(x2 + y2), x/(x2 + y2), 0);

46.* Доказать, что каждому гладкому векторному полю на многообразии соответствует однопараметрическая группа диффеоморфизмов ϕt, траектории которой касаются данного векторного поля.

47.Показать, что коммутатор векторных полей (как операторов дифференцирования) является векторным полем.

48.Пусть ξ, η - векторные поля, f, g - гладкие функции. Доказать формулу:

[fξ, gη] = fg[ξ, η] + g · η(f) · ξ − fξ(g) · η

49.Доказать, что символы Кристоффеля двух связностей отличаются на слагаемые, которые являются компонентами тензора.

50.Показать, что формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского являются частными случаями общей формулы Стокса для дифференциальных форм.

51.Вычислить компоненты метрического тензора в полярно-сферических координатах.

52.Вычислить компоненты метрического тензора в параболических координатах.

53.Найти якобиан преобразования от прямоугольных (xi) к ортогональным криволинейным координатам в евклидовом пространстве.

54.Ввести и исследовать псевдосферические координаты во внешней области изотропного конуса пространства E23 (см. пример).

55.Записать формулы для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: ui = ui(t) в полярных координатах.

56.Составить уравнения движения репера в полярно-цилиндрических координатах.

57.Составить уравнения движения репера в полярно-сферических координатах.