Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

RGTA

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
14.05.2015
Размер:
745.05 Кб
Скачать

§2. Абсолютная производная векторных и тензорных

 

полей.Параллельный перенос и геодезические линии

91

5) Решение системы.

Прежде всего заметим, что система имеет решения: u1 = const, u2 =

ϕ(t). В самом деле, если u1 = const,

du1

=

d2u1

= 0 и первое уравне-

dt

dt

ние системы становится тождеством, а второе уравнение принимает

вид: ddt2u22 u12 ( dudt2 )2 = 0, из которого следует, что u2 = ϕ(t), где ϕ(t)

– решение этого уравнения. Полагая r = ϕ(t), мы получаем уравнения геодезических u1 = const, u2 = r, откуда мы видим, что геодезические линии суть прямые, параллельные оси u2. Проверьте, что ϕ(t) = C2eC1t. Пусть теперь dudt1 6= 0. Тогда существует функция t = t(u1) и мы можем считать u2 = u2(t(u1)) функцией от u1. Найдем формулы, связывающие производные от u2 по t и производные от u2 по u1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du2

 

 

 

du2 du1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

du1

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

du

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d u

 

 

 

=

 

 

d u

 

+

 

 

 

 

 

d u

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

 

2

 

du1

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2u2

du1

 

 

2

 

 

 

du2

2 du1 du2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

du12

dt

 

du1

u2

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1

 

 

 

 

2

 

 

 

d2u2

 

 

 

 

 

2 du2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

# .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

du12

u2

 

du1

 

 

 

 

 

Выражения для

du2

 

из и для

d2u22 подставим во второе уравнение

системы. Получим

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1

2

 

 

 

 

d2u2

2 du2

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

# = 0.

 

 

 

 

dt

du12

u2

 

du1

u2

Откуда следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2u2

2

 

 

du2

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

= 0,

 

поскольку

 

 

 

 

6= 0.

 

du12

u2

du1

u2

 

dt

Сделаем замену

du12

 

= p(u2). Тогда

 

d2u22

= pdu12

= pp, и исходное

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

уравнение примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pp+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pp

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

p +

 

= 0

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

.

 

u2

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 + 1

u2

92

 

 

 

 

 

Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

Интегрируя, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(p2 + 1) = −2 ln u2 + ln C1

 

 

 

 

 

p2 + 1 =

C1

2

,

 

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

C1 2

 

1 =

C1 − (u2)2

,

 

 

 

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u2)2

 

 

 

 

 

du2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

C1 − (u2)2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1 s

 

 

(u2)2

 

Возвращаясь к исходной переменой, имеем

 

 

 

 

 

 

u2du2

 

= du1,

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

C1 − (u2)2

 

p

C1 − (u2)2

= −u1 + C2,

 

2 2

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

C1 − (u ) = (u

 

− C2) ,

 

(u2)2 + (u1 − C2)2 = C1.

Таким образом, мы получили, что геодезическим и линиям в заданной метрике являются прямые параллельные оси u2 и окружности

сцентром в любой точке оси u1 и любого радиуса.

6)Параллельное перенесение. Напишем уравнения параллельного переноса вдоль кривой u1 = cos t, u2 = sin t. Пусть λ(t) : (λ1(t), λ2(t)) – поле параллельных векторов вдоль кривой γ с начальными условиями

λ1(π/2) = 0, λ2(π/2) = 1. Тогда

 

1

1

 

 

du2

1

 

2 du1

 

 

 

+ 12

λ

 

 

 

+ 21

λ

 

 

 

= 0,

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

2

2

 

1 du1

2

 

 

2 du2

 

 

 

+ 11

λ

 

 

 

+ 22

λ

 

 

= 0.

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

Подставив в выражения для 112, 121, 222, получим

 

1

1

1 cos t − λ2 sin t) = 0,

 

dt

u2

2

1

1

1

 

2

 

 

+

 

 

λ (− sin t) −

 

λ

 

cos t = 0.

dt

u2

 

u2

 

§3. Основная лемма римановой геометрии

93

Решение этой системы уравнений дает нам поле векторов параллельных вдоль кривой γ. Но поскольку кривая γ : (u1)2 + (u2) = 1 есть геодезическая линия, то нам достаточно построить поле векторов постоянной длины, образующих с касательными векторами к кривой γ постоянный угол. касательный вектор r к кривой γ в точке γ(t) имеет компоненты – sin t, cos t. Условие ортогональности двух векторов λ(t) и τ(t) в нашем случае запишется таком виде

1

 

[−λ1 sin t + λ2 cos t] = 0

 

 

 

 

sin2 t

Следовательно, мы можем положить λ1 = α(t) cos t, λ2(t) = α(t) sin t.

Функцию α(t) мы найдем из условия: |λ| = |λ0|. Это условие запишется в таком виде.

1(t))2 + (λ2(t))2

=

1

.

sin2 t

1

Подставим в это равенство λ1 = α(t) cos t и λ2

(t) = α(t) sin t. Получим

 

α2(cos2 t + sin2 t)

= 1.

 

 

sin2 t

 

 

Откуда α(t) = sin t и λ1(t) = sin t cos t,

λ2

(t) = sin2 t. Итак, поле

векторов, заданное функциями sin t cos t,

sin2 t есть поле параллель-

ных векторов вдоль кривой γ : u1 = cos t,

u2 = sin t. Проверьте, что

функции sin t cos t, sin2 t удовлетворяют системе уравнений.

Основные дифференциальные операторы: gradf, divλ, rotλ и f в римановом пространстве определяются теми же формулами, что и в евклидовом пространстве в криволинейных координатах.

gradf = (

∂f

, ...,

 

∂f

);

 

 

 

divλ =

 

∂λi

+ kii

λk,

 

 

 

 

 

 

∂ui

 

∂u1

 

 

 

∂un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

 

ik

 

∂µi

 

r

 

 

rotµ = g

 

µik = g

 

 

(

 

ikµr),

 

 

 

 

∂uk

 

 

f = gik

 

2f

 

 

− gik ikr

 

∂f

 

 

 

 

 

 

.

 

 

∂ui∂uk

∂ur

 

§3 Основная лемма римановой геометрии

Определение 3.3.1. Связность на многообразии M называ-

ется симметричной, если она удовлетворяет тождеству

 

uv − vu = [u, v].

(III.1)

94

Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

Заметим, что условие (III.1) равносильно i j = j i или

sij = sji.

Определение 3.3.2. Тензором кручения для произвольных векторных полей называется билинейный функционал T (u, v) = uv −

vu − [u, v]

Упражнение. Проверить, что T (u, v) – тензор. Упражнение. Определить координаты тензора кручения.

Определение 3.3.3. Говорят, что связность совместна с метрикой (M, g), если g = 0, т.е. для любого векторного поля ω ковариантная производная wgij = 0.

Теорема 3.3.1. Следующие условия эквивалентны:

1)wgij = 0 для всех w;

2)dtd hv(t), wti для всех γ(t) C1, что γ˙ v = γ˙ w = 0;

3)dtd hv(t), wti = hγ˙ v, wi + hv, γ˙ wi

Теорема 3.3.2 (Основная лемма римановой геометрии). На каждом римановом многообразии существует, и притом единственная, симметричная связность, согласованная с его метрикой.

Определение 3.3.4. Связность, удовлетворяющая условиям основной леммы римановой геометрии называется связностью ЛевиЧивита.

§4 Риманов тензор кривизны. Различные типы кривизн

Теорема 3.4.1. Рассмотрим поверхность ui = ui(v1, v2), где функции ui(v1, v2) принадлежат классу C3. Замкнутый контур опреде-

e

лим точками: M0(0, 0), M1(ε, 0), M2(ε, ε), M3(0, ε). Вектор λ есть результат параллельного перенесения вектора λ вдоль контура M0M1M2, вектор λ есть результат параллельного перенесения вектора λ вдоль контура M0M3M2. Тогда

 

λ

λ = Ri

λkε + o(ε2),

 

где

e

 

 

kmj

 

 

 

i

jki

mki

i l

i l

 

Rkmj =

 

 

+ ml jk

jl mk.

(III.2)

∂um

∂uj

§4. Риманов тензор кривизны. Различные типы кривизн

 

 

95

 

 

Доказательство. I. Фиксируем систему локальных координат {∂k}

 

 

 

и перенесем вектор λ по контуру M0M1M2. Результат перенесения

 

 

обозначим через λ = TM0 M1M2 = τ21(λ)), где τ1(λ) есть перенос λ по

 

 

M

 

M

 

, τ (τ (λ)) – перенос τ1(λ) по M1M2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

2 1

k e

k

 

∂λk

j

 

 

2

k

 

k

j

 

2

 

 

 

 

 

 

Имеем τ1(λ)

= λ

 

− ε

∂u1

(x)λ + o(ε

 

) = λ

− ε 1j(x)λ

+ o(ε

 

).

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ = τ21(λ))k =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

 

j

e2

 

 

k

 

 

k

 

2kj

! τ1

j

 

 

 

2

 

= τ1(λ)

−ε 2j(y)τ1(λ) +o(ε

) = τ1(λ)

 

−ε 2j(x) + ε

∂u1

(λ) +o(ε

 

) =

λk − ε 1kj + 2kj

λj + ε2

k

λj + o(ε2).

2j

+ 2ks 1sj

∂u1

II.Перенесем вектор λ по контуру M0M3M2:

λ= TM0M3 M2 = τ43(λ)), где τ3(λ) – есть перенос λ по M0M3,

τ43(λ)) – перенос τ3(λ) по M3M2. Аналогично, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

λ = λk − ε 2kj + 1kj λj + ε2

1j

+ 1ks 2sj λj + o(ε2).

 

 

∂u2

 

 

 

 

 

 

 

III. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ − λ = ε2

2j

+

1j

+ 2ks 1sj 1ks 2sj λj + o(ε2).

 

 

 

∂u1

∂u2

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j, 2

m, k

i, j

k,

 

Откуда, с помощью смены индексов 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mki

jki

 

 

заключаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

i s

 

i

 

s

 

k

2

 

 

 

 

λ − λ = ε

 

 

+

 

+ ms jk

js

mk λ + o(ε

)

 

 

 

 

∂uj

∂um

 

 

 

e

Определение 3.4.1. Тензор Rkmji

, определяемый равенством (III.2),

называется римановым тензором кривизны.

Замечание. Если в (III.2) опустить верхний индекс, то получим

Rhkmj = ghiRkmji .

Замечание. Для TM0 M1M2 (λ) и TM0M3 M2 (λ) из теоремы 3.4.1 верно

TM0M1 M2 (λ) − TM0M3 M2 (λ) = ( 2 1 1 2 )λε2 + o(ε2).

96

Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

Теорема 3.4.2. Значение R(u, v)w в точке x зависит лишь от значений u, v, w в точке x, а не от их значений в близких точках. Отображение R : TxM × TxM × TxM → TxM трилинейно.

Другими словами, теорема утверждает, что Rijkl – тензор, где (R(u, v)w)l = Rijkl uivj wk и Rijkl определяется равенством (III.2).

Теорема 3.4.3. Тензор кривизны риманова многообразия удовлетворяет следующим следующим соотношениям:

1.R(u, v)w + R(v, u)w = 0.

2.Если T = 0, то R(u, v)w + R(v, w)u + R(w, u)v = 0.

3.Если g = 0, то hR(u, v)w, zi + hR(u, v)z, wi = 0.

4.Если T = 0 и g = 0, то hR(u, v)w, zi = hR(w, z)u, vi.

Теорема 3.4.4. Имеет место второе тождество Бианки

Rjkl,mi + Rjlm,ki + Rjmk,li = 0 или

Rji[kl,m] = 0.

(III.3)

Следствие 3.4.1. Справедливо первое тождество Бианки

 

Rjkli + Rklji + Rljki

= 0.

(III.4)

Следствие 3.4.2.

 

 

gjkRjkli = gjkgisRsjkl = gjkgisRjslk = gisRsl = Rli.

Из второго тождества Бианки с помощью свертки по i и m получаем

Следствие 3.4.3.

Rjkl,ii = Rjk,l − Rjl,k.

Из последних двух следствий вытекает

Следствие 3.4.4.

2Rl,ii = R,l, где R = gjkRjk.

Лемма Шура. Если Kσ(p) = K для любой двумерной площадки σ, то Kσ = K для любой точки p.

§4. Риманов тензор кривизны. Различные типы кривизн

 

97

Определение 3.4.2. Пусть ξij

есть простой бивектор в точке

p, определенный векторами λ : (λi);

µ : (µj ). Тогда число

 

 

 

Kσ =

Rhkmj ξhkξmj

 

 

 

=

 

Rhkmj λhµkλmµj

 

.

(ghmgkj − ghjghm

hk

ξ

mj

 

h

k m

j

 

 

 

 

 

(ghmgkj − ghjgkm)λ µ

λ µ

 

 

называется римановой секционной кривизной в точке p и в двумерном направлении σ, где σ есть плоскость, определенная векторами λ и µ.

Замечание 3.4.1. В двумерном случае формула упрощается

R1212

Kσ = g11g22 − g122

и число Kσ, как можно доказать, совпадает с гауссовой кривизной поверхности в точке p.

Теорема 3.4.5. Если Kσ = 0 для всех точек и для всех двумерных направлений, то риманово пространство является локально евклидовым. Если же для всех точек и для всех двумерных направлений Kσ = +1 (−1), то пространство является локально сферическим (локально изометричным пространству Лобачевского).

Определение 3.4.3. Тензор rij , полученный операцией свертки из риманова тензора кривизны

rij = Rijll ,

называется тензором Риччи.

Определение 3.4.4. Кривизной Риччи Kr(λ) в направлении вектора λ : (λi) в точке p называется число, определенное формулой

Kr = rij λiλj .

Определение 3.4.5. Скалярной кривизной s в точке p называется число, равное s = gij rij .

Упражнение. Доказать, что если в каждой точке поверхности совершено гомотетическое преобразование, т.е. g1 = λg, то выполняются

1)K1 = λ−1K,

2)r1 = λ−1r,

3)s1 = λ−1s.

98

Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

§5

Структурные уравнения Картана

Пусть {X1, ..., Xn} – базис векторных полей в окрестности U с локальными координатами {xi}. Тогда из разложения по базису имеем

X

ijk Xk, T (Xi, Xj ) =

X

Tijk Xk,

Xi Xj =

 

k

X

 

 

k

 

 

 

 

X

R(Xi, Xj )Xl =

Rlijk Xk,

[Xj , Xk] =

cjki Xi,

 

k

 

X

 

i

 

 

 

 

 

wi(Xj ) = δi

, wi

= i

wk.

 

 

j

j

kj

 

 

k

Фиксируем базис dxi и рассмотрим 1-форму w = wkdxk на U M и векторные поля X, y X(M). Тогда, в этих обозначениях, справедливы

Лемма 3.5.1.

2dw(X, Y ) = X(wY ) − Y (wX) − w([X, Y ]).

Для дальнейшего изложения совершим замену переменных

X → Xi, Y → Xj

Лемма 3.5.2.

dwi(Xj , Xk) = − 12 cijk.

Лемма 3.5.3.

Tjki = ijk ikj − cijk.

Доказательство. По определению тензора кручения находим

T (Xj, Xk) = Xj Xk Xk Xj − [Xj , Xk] = ( ijk ikj − cijk)Xi.

Теорема 3.5.1. (Э.Картан)

 

 

 

X

 

 

 

 

 

i

= −

X

i

w

p

 

1

i

j

w

k

 

 

 

 

dw

 

 

wp

 

+

 

 

Tjkw

 

 

 

p

 

2

i,k

 

 

= 0 принимает вид

§6. Полные римановы многообразия

99

Доказательство. Замечаем, что

 

 

 

 

 

X

1

 

X

 

 

(−

 

wpi wp)(Xj , Xk) = −

 

 

 

 

{wpi (Xj )wp(Xk) − wp(Xj )wpi (Xk)} =

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1

{ kji jki }.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Аналогично

 

 

X

 

 

1

 

X

Trsi wr ws)(Xj , Xk) =

1

( rsi sri − crsi )(δjr δks − δjsδkr ) =

(

 

 

 

 

 

 

2

 

r,s

4

r,s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

( jki kji − cjki ).

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2

 

Сумма полученных равенств дает требуемое.

Упражнение. Проверить, что компоненты тензора кривизны определяются равенствами

X

 

 

X

Rlijk = ( jlp ipk

− − ilp jpk ) + Xi jlk − Xj ilk − cijp plk .

p

 

 

p

Теорема 3.5.2. (Э.Картан)

 

X

X

1

dwli = −

wpi wlp +

2

Rljki wj wk.

 

p

 

j,k

§6 Полные римановы многообразия

Пусть M – связное риманово многообразие.

Определение 3.6.1. Параметризованный путь γ : I → M, где I

– некоторый интервал действительной прямой, называется геоде-

зической, если векторное поле ускорения dtD dγdt тождественно равно нулю.

В локальных координатах u1, u2, . . . , un, кривая t → γ(t) M определяет n гладких функций u1(t), u2(t), . . . , un(t), а уравнение геодези-

ческой D dγ dt dt

d2uk

+ ijk

dui duj

 

 

 

 

= 0.

dt2

dt

dt

100 Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

Таким образом, существование геодезических определяется существованием решений некоторой системы дифференциальных уравнений второго порядка. И согласно известной теоремы теории дифференциальных уравнений для заданных p M, v TpM и t0 R ло-

кально существует геодезическая, удовлетворяющая условиям γ(t0) =

p, dt (t0) = v.

Итак, пусть v TpM – касательный вектор, и существует геодезическая

γ : [0, 1] → M,

удовлетворяющая условиям

γ(0) = p, dt (0) = v.

Точку γ(1) M обозначим через expp(v) и назовем экспонентой касательного вектора v TpM. Тогда геодезическая γ может быть записана в виде

γ(t) = expp(tv).

Определение 3.6.2. Риманово многообразие M геодезически полно, если экспоненциальное отображение expp(v) определено для всех точек p M и всех векторов v TpM.

Очевидно, что это эквивалентно следующему требованию. Каждый отрезок геодезической γ0 : [a, b] → M продолжается до бесконечной геодезической γ : R → M.

Примерами геодезически полных римановых многообразий слу-

жат: сфера, цилиндр, евклидова плоскость.

Упражнение. Привести пример многообразия, не являющегося геодезически полным.

Определение 3.6.3. Геодезическая γ0 : [a, b] → M называется минимальной, если она не длиннее никакой кусочно-гладкого пути, соединяющего его концы.

Определим расстояние ρ(p, q) между двумя точками p, q M как точную нижнюю грань длин кусочно-гладких дуг, соединяющих эти точки. Очевидно, что при этом M становится метрическим пространством, и эта метрика совместна с обычной топологией на M.

Теорема 3.6.1. (Хопф-Ринов)Пусть M – гладкое полное риманово многообразие. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) любые две его точки могут быть соединены минимальной геодезической;

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]