Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

RGTA

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
14.05.2015
Размер:
745.05 Кб
Скачать

§4. Дифференцирование векторных и тензорных полей в

 

криволинейных координатах

61

Аналогично для ковариантного поля

 

 

∂µi

j

 

 

 

ikµj = 0, i, k = 1, ..., n

(4.17)

 

∂uk

Пример 2. Вычислим символы Кристоффеля 1го и 2го второго рода в декартовой прямоугольной системе координат. Так как в этой систе-

ме gij = (ei, ej) = δij , то из формулы (4.11) получаем ijk = jk,i ≡ 0

при i, j, k = 1, ..., n

Пример 3.Вычислим символы Кристоффеля 1го и 2го рода в полярной системе координат. В этом случае

g11 = 1, g12 = g21 = 0, g22 = (u1)2 = ρ2,

 

g11 = 1, g12 = g21 = 0, g22 = 1/ρ2 = 1/(u1)2.

(4.18)

Из формулы (4.11) следует:

 

 

 

 

11,1 = x, 12,1 = 21,1 = 0, 22,1 = −u1,

 

11,2 = 0, 12,2 = 21,2 = u1, 22,2 = 0.

(4.19)

Из (4.15) и (4.16) следует:

 

 

 

 

111 = 0, 121 = 211 = 0, 221 = −u1 = −ρ,

 

112 = 0, 122 = 212 =

1

=

1

, 222 = 0.

(4.20)

u1

 

 

 

ρ

 

2.4.7.Формула для вычисления производной тензорного поля в направлении вектора.

Для краткости мы ограничимся случаем тензора второго ранга, один раз ковариантного и один раз контравариантного Aij (M). Начнем с того случая, когда в En введена стандартная прямоугольная система координат. В этом случае производная тензора A(M) : Aij (M) в направлении вектора Z находится простым дифференцированием:

Z A =

∂Aji

 

k

и мы видим, что величины

∂Aji

i

суть компоненты

 

Z

 

 

= Aj,k

∂xk

 

∂xk

тензора строения (1, 2).

Этот же результат можно получить и таким образом. Пусть X = λiei и Y = Yiei – два параллельных поля контравариантных и ковариантных векторов соответственно. Тогда мы имеем

62

 

 

 

Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

 

∂Xi

∂Y i

 

 

 

=

 

= 0, при i, k = 1, ..., n

(4.21)

 

k

k

 

∂x

∂x

 

Возьмем полилинейную функцию A(x1, ..., xn) = Aij (x1, ..., xn)Xj Yi. Продифференцируем ее в направлении вектора Z = Ziei. Получим, учитывая (4.18).

 

∂(Aji XjYi)

 

 

∂Aji

Z A =

 

Zk =

 

 

Xj YiZk

∂xk

∂xk

 

 

 

 

i

и мы снова получаем, что величины

∂Aj

образуют тензор строения

k

 

 

 

∂x

(1.2). Это наводящее соображение указывает нам путь исчисления ковариантной производной тензора в произвольной криволинейной системе координат.

Обозначим , как и выше, через X(u1, ..., un) и Y (u1, ..., un) координаты параллельных векторных и ковекторных полей. Тогда перепи-

сывая равенства (4.16) и (4.17) , получим

 

 

∂Xi

 

+ kji

Xj = 0,

i, k = 1, ..., n

(4.22)

 

∂xk

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

∂Y

 

 

 

 

 

 

 

i

ikj

Yj = 0,

i, k = 1, ..., n

(4.23)

 

 

∂xk

Возьмем полилинейную функцию A(x1, ..., xn) = Aij (x1, ..., xn)XjYi и продифференцируем ее вы направлении вектора Z = ∂iZi.

 

∂(Aji (x1, ..., xn)XjYi)

∂Aji

 

∂Xj

∂Yi

Z A =

 

 

 

 

 

Zk = h

 

 

Xj Yi+Aji

 

 

Yi+Aji Xj

 

iZk

∂xk

 

∂uk

∂uk

∂uk

Из (4.22) и (4.23) выразим

∂Xj

 

и

∂Yi

и подставим в предыдущее

k

k

равенство. Получим

 

 

∂u

 

∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z A = h

j

XjYi − Aji kri XrYi + Aji Xj ikr YriZk =

 

 

 

∂uk

 

 

 

= h

∂Ai

kjr Ari + Ajr rki iXjYiZki

 

 

 

 

 

j

 

 

(4.24)

 

∂uk

 

r i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Aj

 

i r

Из (4.24) мы видим, что совокупность функций

 

kj Ar + rkAj

∂uk

образует тензор строения (2, 1) , который называется ковариантной производной тензора A и записывается в такой форме:

§5. Ковариантная производная

63

 

 

∂Ai

 

(Aji )k = Aj,ki

=

j

kjr Ari + rki Ajr

(4.25)

∂uk

Анализируя формулу (4.25) мы видим, что ковариантная производная Aij,k получается по такому правилу: по ковариантному индексу она получается как производная ковариантного вектора (см. формулу (4.17)), а по контравариантному индексу – как производная контравариантного вектора (см. формулу (4.16)).

Повторяя предыдущие рассуждения, для тензорного поля Aj1 ,...,jq

i1 ,...,ip

строения (p, q), мы получим следующую формулу для ковариантной производной этого тензора.

 

 

 

 

∂Aj1 ,...,jq

 

q

 

 

 

j1 ,...,jq

j1 ,...,jq

 

 

 

i1 ,...,ip

 

X

jp

j1 ,...,αr,...,jq

(Ai1 ,...,ip )k = Ai1 ,...,ip,k

=

 

 

+

 

r Ai1 ,...,ip

 

∂uk

r=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

ip

j1 ,...,jq

 

 

 

 

 

 

kip Ai1 ,...,αr,...,ip

 

 

 

r=1

где индекс αr стоит на r месте и по нему происходит суммирование.

Пример 4. В качестве примера подсчитаем ковариантную производную метрического тензора.

 

 

 

gij,k =

∂gij

 

ikr

grj jkr gri =

 

∂gij

ik,j jk,i = 0

 

 

 

 

 

∂uk

 

∂uk

 

 

так как

∂gij

= ik,j + jk,i(см. формулу (4.11)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или можно найти эту производную другим способом:

 

 

 

 

 

w(gij ei ej) = W k( ek gij ei ej ) = wk{

∂gij

ei ej +

 

 

 

 

 

∂uk

 

 

 

 

+gij ek (ei ej )} = ek ei ej = ek ei ej + ei ek ej =

 

 

 

=

 

i

es

 

ej

j ei

 

el = wk

 

∂gij

 

ei

 

ej

i

 

gij es

 

ej

 

j gij ei

 

 

 

k

 

 

 

D

ks

 

 

 

 

 

 

E i

 

{ ∂u

 

 

 

 

 

ks

 

 

lk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

k

 

∂gij i

 

j

 

 

s

j

 

l

 

 

 

i

 

 

j

 

 

 

k

 

∂gij

 

 

s

 

e

} = w

{

 

e

e

kigsj e

e

jkgile

e

}

= w

{

 

kigsj

∂uk

∂uk

jkl gil}ei ej = wk{

∂gij

ki,j jk,i}ei ej = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

∂uk

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь w = W kek

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5 Ковариантная производная

Существует и другой подход к определению ковариантной производной.

64

Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

3.5.1. Определение Ковариантной производной функции f мы назовем функцию, определенную формулой

wf = wj ∂x∂fj .

3.5.2. Замечание. Если u - ковектор, v - вектор, то получаем, что u(v) = uivi, f = uivi,

wf = wj

∂(uivi)

(1)

∂xj

3.5.3. Определение Отображение , удовлетворяющее условиям (1)-(4) для любых векторных полей Y1, Y2 называется ковариантной производной векторного поля Y в направлении X (по отношению к линейной связности ) или просто линейной связностью.

1) X (Y1 + Y2) = X Y1 + X Y2 2) X1 +X2 (Y ) = X1 Y + X2 Y 3) fX Y = f X Y

4) X (fY ) = X(f)Y + f X Y,

где X(f) =< gradf, X > .

3.5.4.Замечание Согласно (3) и (4) ведет себя по отношению

кпервому аргументу линейно ("тензорно"); по отношению же ко вто-

рому аргументу ведет себя как производная, согласно (1) и (2). 3.5.5. Теорема Существует единственная функция , для обла-

сти G En удовлетворяющая условиям 1)-4).

Доказательство. Для векторных полей X и Y можем записать X = Xii и Y = Y j j . Тогда, учитывая свойства 1)-4) получаем: X Y =

Xii (Y j j ) = XiY j i j , где i j = sij s, i, j, s = 1, ..., n. Очевидно, т.к. разложение по базису единственно и всегда существует.

Следствие. Символы Кристоффеля однозначно задают связность.

3.5.6. Утверждение. Символы Кристоффеля не являются тензором.

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

∂Y j

=

∂Y j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xi

 

∂xi ∂Y j

∂xi

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

ej

 

 

k

 

 

i

 

 

 

 

i

 

∂Y k

 

 

2Y k

 

 

∂Y k

 

 

 

=

 

=

(

 

 

) =

 

 

 

+

 

=

 

 

 

 

 

 

 

∂xj

ij

k

 

 

 

j

 

 

∂xj ek

 

 

∂xi∂xj ek

 

i ek

 

§5. Ковариантная производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

 

2Y k

 

 

∂Y k ∂Y l

 

 

 

 

 

2Y m

 

 

 

 

∂Y k ∂Y l

 

 

= (

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

e

= (

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

m)∂

=

∂xi∂xj

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xi∂xj

 

 

 

 

 

ek

 

∂xi ∂xj ∂k el

 

 

 

 

 

 

 

∂xi ∂xj ekl

em

 

 

 

= (

2Y m

+

 

∂Y k ∂Y l

m)

∂xp

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xi∂xj

∂xj ekl

∂Y m

 

p

 

 

 

 

p

= 2Y m ∂xp

 

∂Y k ∂Y l ∂xp

m

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

ekl

 

 

 

 

 

 

∂xi∂xj

∂Y m

∂xi

∂xj

∂Y m

 

 

Следствие 1. Символы Кристоффеля преобразуются как тензор тогда и только тогда, когда

2Y m

∂xi∂xj = 0.

Следствие 2. Tijk = kij kji есть тензор (кручения).

p

 

∂Y k ∂Y l ∂xp

T p

Tij

=

 

 

 

 

 

ekl

∂xi ∂xj ∂Y m

Следствие 1. Ковариантная производная векторного поля есть

( wu)i = wj ∂x∂uji kij wj uk

и ковекторного поля

( wv)k = wj ( ∂vk + vi k )

∂xj ji

3.5.7. Замечание. Ковариантную производную тензорного произведения определим формулой 7

w(A B) = ( wA) B + A wB

3.5.8.Задача. Найти w(gij ei ej)

3.5.9.Определение Ковариантная производная произвольного тензорного поля есть поле, определенное формулой

(i)

 

∂T((ki))

(i)

(i)

kknj +T(iik2)

im iji1 + +T(ik1)

i ijim )

wT(k)

= wj (

 

−Tkk2...kn

kk1j −...−Tk1...k

∂xj

66

Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

§6

Основные дифференциальные операто-

 

ры в криволинейных координатах

2.6.1. Определение (градиент функции). Пусть f - дифференцируемая функция, заданная в некоторой области G En, f : G → R, а (u1, ..., un) – некоторая система координат в области G. Тогда набор функций ( ∂u∂f1 , ..., ∂u∂fn ) определяет в G ковекторное поле, которое называется градиентом функции f и обозначается через gradf = ∂u∂fi i.

Действительно, при переходе к другой системе координат (ui) имеем:

∂f

 

∂f ∂uk

 

=

 

 

 

.

 

∂ui

 

∂uk ∂ui

2.6.2. Замечание. В случае прямоугольной декартовой системы координат (x1, ..., xn) имеем:

gradf = ∂x∂fi ei = Xn ∂x∂fi ei.

i=1

2.6.3.Замечание. Пусть = ( ∂u1 , ∂u2 , ..., ∂un ) – дифференциальный оператор в En, тогда gradf = f.

2.6.4.Замечание. Производная функции f по направлению поля X и gradf связаны соотношением

X(f) =< gradf, X > .

2.6.5. Задача. Доказать, что для функций f и g в произвольной системе координат имеют место формулы:

а)grad(λf) = λgradf, где λ = const; б)grad(f ± g) = gradf ± gradg; в)grad(f · g) = f · gradg + g · gradf;

г)grad(f/g) =

g·gradff·gradg

, где g 6= 0;

g2

д)grad(f(g)) = dgdf · gradg;

§6. Основные дифференциальные операторы в криволинейных

координатах

 

 

 

67

е)Пусть f = f(t, s), где t, s – функции, тогда

gradf =

∂f

· gradt +

∂f

· grads

 

 

∂t

∂s

.

2.6.6.Задача. Записать в произвольной системе координат формулу для производной функции f:

а) в направлении ее градиента; б) в направлении градиента функции.

2.6.7.Задача. Вывести формулу для определения наибольшего изменения функции f в данной точке в произвольной системе координат.

2.6.8.Определение(дивергенция векторного поля). Пусть в области G задано векторное поле V = V i(u1, ..., un)∂i. Дивергенцией векторного поля V называется скалярное поле (функция), определенное формулой

divV = V i

=

∂V i

+ i

V k.

 

,i

 

∂ui

ki

 

 

 

 

 

2.6.9. Замечание. В декартовой прямоугольной системе координат имеем:

Xn ∂V i

divV = i=1 ∂xi .

2.6.10. Замечание. Очевидно, что divV =< , V >.

2.6.11. Задача. Доказать, что div(fV ) = fdivV + < V, gradf >, где

V – векторное поле, f – функция в En.

2.6.12.Определение. Дивергенция векторного поля Y = Yi(u1, ..., un)∂i определяется формулой

divY = gikYi,k = gik( ∂u∂Yki rikYr)

2.6.13.Замечание. В декартовой прямоугольной системе координат

divY = gik ∂x∂Yki .

2.6.14.Определение (лапласиан): Лапласианом дважды диффе-

ренцируемой функции f называют функцию f, определенную формулой:

68

Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

 

f = div(gradf) = gik

2f

− gik ikr

∂f

 

 

 

.

 

∂ui∂uk

∂ur

2.6.15. Замечание. В ортонормированной системе координат (x1, ..., xn) имеем:

 

 

 

 

 

 

n 2f

 

 

 

 

 

f =

Xi

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

=1

∂xi

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6.16. Задача. Доказать формулу

Δ(f · g) = f ·

g + g ·

f + 2 < gradf, gradg >

2.6.17. Определение (ротор ковекторного поля).

Пусть Y = Yi(u1, ..., un)∂i

– ковекторное поле в области G. Набор

функций Lik =

∂Yi

∂Yk

 

оказывается дважды ковариантного косо-

 

∂uk

∂ui

симметрического тензора, который называется ротором (вихрем) поля Y и обозначается rotY , или curlY .

2.6.18.Задача. Доказать, что rotY является кососимметрическим тензором.

2.6.19. Задача. Доказать, что rot(gradf) = 0. Обратно. Если rotY = 0, то Y = gradf, где f определена однозначно, с точностью до константы, в односвязной области G.

Сформулируем несколько заданий в E3.

2.6.20.Задача. Доказать, что

а)rotX = [ × X];

б)rot(fX) = f · rotX − [X, gradf];

в)div(rotX) = 0;

г)rotrotX = grad divX − X, где = ∂x22 + ∂y22 + ∂z22 .

2.6.21. Задача. Какие из утверждений задачи 2.6.13. справедливы в En (n > 3)?

§7. Внешние дифференциальные формы

69

§7 Внешние дифференциальные формы

2.7.1.Определение. Пусть x En - фиксированный элемент евклидова пространства En, Y En - произвольный элемент. Множество

пар Tx = {(x, Y ) : Y En} называется касательным пространством к En в точке x, при этом пара (x, Y ) называется вектором Tx, приложенным в точке x.

2.7.2.Замечание. Касательное пространство Tx становится векторным пространством, если векторные операции определить формулами:

(x, Y1) + (x, Y2) = (x, Y1 + Y2),

(1)

α(x, Y ) = (x, αY ).

(2)

2.7.3. Задача. Доказать, что касательное пространство Tx изоморфно евклидову пространству En.

2.7.4.Определение. Дизъюнктное объединение T En =

x E

n Tx на-

пространством расслоения; E

n

 

 

 

 

 

базой расслоения; T

- слоем;

зовем n

n

 

 

S x

 

тройку

π : T En

 

n E , где π(x, Y ) = x,– естественной проекцией; а

 

 

n

.

(π, T E

, E ) – касательным расслоением евклидова пространства E

 

2.7.5.Задача. Построить систему координат в пространстве T En, определить размерность T En.

2.7.6. Замечание. В слое Tx можно построить скалярное произведение по формуле

< (x, Y ), (x, Z) >=< Y, Z >,

где < Y, Z > - скалярное произведение в En.

2.7.7. Замечание. Если рассмотреть Tx - кокасательное пространство к Tx, то можно рассмотреть k-степени.

T k(Tx ) = Tx ... Tx , Λkx T k(Tx ), Sxk T k(Tx ).

2.7.8. Определение. Пусть G - некоторая область в En и для любой точки x G задан полилинейный функционал A : Txk → R, где Txk = Tx × ... × Tx (k раз). Тогда A называют дифференциальной формой в области G. Более того, если Aalt = A, то A называют внешней

70

Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

дифференциальной k-формой в области G.

2.7.9.Замечание. Как правило внешние дифференциальные формы обозначают буквами греческого алфавита: α, β, γ, ω и т.д. Понятно

также, что внешняя дифференциальная форма ω Λkx и все свойства пространства Λkx применимы к его элементам ω Λkx.

2.7.10.Пусть {e1, ..., en} - базис En, а {e1, ..., en} - кобазис. Понятно, что тем самым в любом пространстве Tx задан базис {e1, ..., en}, состоящий из векторов приложенных к точке x и, соответственно, ко-

базис {e1, ..., en} в Tx .

2.7.11. Определение. Формы

e1, ..., en

}

T

назовем координатны-

 

j

{ j

 

 

x

j

j

(Y ) =

ми и будем обозначать dx , или e

. Таким образом, dx (Y ) = e

Y j для любого Y En.

 

 

 

 

k

 

 

 

2.7.12. Замечание. Понятно, что для ω

Λx

имеем

 

 

1

X k

 

1

X k

ωi1 ...ik (x)dxi1 ... dxik .

ω =

ωi1 ...ik (x)ei1 ... eik

=

 

 

i <...<i

 

i <...<i

 

 

 

 

Примеры. Пусть p(x) = {P (x), Q(x), R(x)} - поле векторов в E3. Рассмотрим формы:

ω1(x, Y ) =< p(x), Y >, Y E3;

ω2(x, Y1, Y2) = (p(x), Y1, Y2), Y1, Y2 E3;

(p(x), Y1, Y2) − смешанное произведение;

ω3(p(x), Y1, Y2, Y3) = (Y1, Y2, Y3), Y1, Y2, Y3 E3.

Понятно, что

ω1(x, Y ) = P Y 1 + QY 2 + RY 3 = (P dx1 + Qdx2 + Rdx3)(Y );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

Q

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2(x, Y1

, Y2) =

 

 

Y11

 

Y12

 

Y13

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 1

 

Y 2

 

Y 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Y2

 

Y2

 

 

 

 

Y2

 

Y2

 

 

2

 

Y2

Y2

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

1

 

3

3

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

= R

 

Y1

 

Y1

 

+ ( Q)

 

Y1

 

Y1

 

+ P

 

Y1

Y1

 

=

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rdx

 

dx

+ (

 

Q)dx

 

 

 

dx

 

+ P dx

 

dx )(Y1, Y2);

= (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 1

Y 2

Y 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω3(x, Y1, Y2, Y3) =

 

1

 

1

 

1

 

 

= (dx1

 

dx2

 

dx3)(Y1, Y2, Y3).

 

Y21

Y22 Y23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 1

Y 2

Y 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]