RGTA

Пример 2. Вычислим символы Кристоффеля 1го и 2го второго рода в декартовой прямоугольной системе координат. Так как в этой систе-

ме gij = (ei, ej) = δij , то из формулы (4.11) получаем ijk = jk,i ≡ 0

при i, j, k = 1, ..., n

Пример 3.Вычислим символы Кристоффеля 1го и 2го рода в полярной системе координат. В этом случае

2.4.7.Формула для вычисления производной тензорного поля в направлении вектора.

Для краткости мы ограничимся случаем тензора второго ранга, один раз ковариантного и один раз контравариантного Aij (M). Начнем с того случая, когда в En введена стандартная прямоугольная система координат. В этом случае производная тензора A(M) : Aij (M) в направлении вектора Z находится простым дифференцированием:

тензора строения (1, 2).

Этот же результат можно получить и таким образом. Пусть X = λiei и Y = Yiei – два параллельных поля контравариантных и ковариантных векторов соответственно. Тогда мы имеем

Возьмем полилинейную функцию A(x1, ..., xn) = Aij (x1, ..., xn)Xj Yi. Продифференцируем ее в направлении вектора Z = Ziei. Получим, учитывая (4.18).

(1.2). Это наводящее соображение указывает нам путь исчисления ковариантной производной тензора в произвольной криволинейной системе координат.

Обозначим , как и выше, через X(u1, ..., un) и Y (u1, ..., un) координаты параллельных векторных и ковекторных полей. Тогда перепи-

Возьмем полилинейную функцию A(x1, ..., xn) = Aij (x1, ..., xn)XjYi и продифференцируем ее вы направлении вектора Z = ∂iZi.

образует тензор строения (2, 1) , который называется ковариантной производной тензора A и записывается в такой форме:

3.5.1. Определение Ковариантной производной функции f мы назовем функцию, определенную формулой

wf = wj ∂x∂fj .

3.5.2. Замечание. Если u - ковектор, v - вектор, то получаем, что u(v) = uivi, f = uivi,

3.5.3. Определение Отображение , удовлетворяющее условиям (1)-(4) для любых векторных полей Y1, Y2 называется ковариантной производной векторного поля Y в направлении X (по отношению к линейной связности ) или просто линейной связностью.

1) X (Y1 + Y2) = X Y1 + X Y2 2) X1 +X2 (Y ) = X1 Y + X2 Y 3) fX Y = f X Y

4) X (fY ) = X(f)Y + f X Y,

где X(f) =< gradf, X > .

3.5.4.Замечание Согласно (3) и (4) ведет себя по отношению

кпервому аргументу линейно ("тензорно"); по отношению же ко вто-

рому аргументу ведет себя как производная, согласно (1) и (2). 3.5.5. Теорема Существует единственная функция , для обла-

сти G En удовлетворяющая условиям 1)-4).

Доказательство. Для векторных полей X и Y можем записать X = Xi∂i и Y = Y j ∂j . Тогда, учитывая свойства 1)-4) получаем: X Y =

Xi∂i (Y j ∂j ) = XiY j ∂i ∂j , где ∂i ∂j = sij ∂s, i, j, s = 1, ..., n. Очевидно, т.к. разложение по базису единственно и всегда существует.

Следствие. Символы Кристоффеля однозначно задают связность.

3.5.6. Утверждение. Символы Кристоффеля не являются тензором.

Следствие 1. Символы Кристоффеля преобразуются как тензор тогда и только тогда, когда

∂2Y m

∂xi∂xj = 0.

Следствие 2. Tijk = kij − kji есть тензор (кручения).

Следствие 1. Ковариантная производная векторного поля есть

( wu)i = wj ∂x∂uji − kij wj uk

и ковекторного поля

( wv)k = wj ( ∂vk + vi k )

∂xj ji

3.5.7. Замечание. Ковариантную производную тензорного произведения определим формулой 7

w(A B) = ( wA) B + A wB

3.5.8.Задача. Найти w(gij ei ej)

3.5.9.Определение Ковариантная производная произвольного тензорного поля есть поле, определенное формулой

ры в криволинейных координатах

2.6.1. Определение (градиент функции). Пусть f - дифференцируемая функция, заданная в некоторой области G En, f : G → R, а (u1, ..., un) – некоторая система координат в области G. Тогда набор функций ( ∂u∂f1 , ..., ∂u∂fn ) определяет в G ковекторное поле, которое называется градиентом функции f и обозначается через gradf = ∂u∂fi ∂i.

Действительно, при переходе к другой системе координат (ui′ ) имеем:

2.6.2. Замечание. В случае прямоугольной декартовой системы координат (x1, ..., xn) имеем:

gradf = ∂x∂fi ei = Xn ∂x∂fi ei.

i=1

2.6.3.Замечание. Пусть = ( ∂u∂1 , ∂u∂2 , ..., ∂u∂n ) – дифференциальный оператор в En, тогда gradf = f.

2.6.4.Замечание. Производная функции f по направлению поля X и gradf связаны соотношением

X(f) =< gradf, X > .

2.6.5. Задача. Доказать, что для функций f и g в произвольной системе координат имеют место формулы:

а)grad(λf) = λgradf, где λ = const; б)grad(f ± g) = gradf ± gradg; в)grad(f · g) = f · gradg + g · gradf;

д)grad(f(g)) = dgdf · gradg;

2.6.15. Замечание. В ортонормированной системе координат (x1, ..., xn) имеем:

симметрического тензора, который называется ротором (вихрем) поля Y и обозначается rotY , или curlY .

2.6.18.Задача. Доказать, что rotY является кососимметрическим тензором.

2.6.19. Задача. Доказать, что rot(gradf) = 0. Обратно. Если rotY = 0, то Y = gradf, где f определена однозначно, с точностью до константы, в односвязной области G.

Сформулируем несколько заданий в E3.

2.6.20.Задача. Доказать, что

а)rotX = [ × X];

б)rot(fX) = f · rotX − [X, gradf];

в)div(rotX) = 0;

г)rotrotX = grad divX − X, где = ∂x∂22 + ∂y∂22 + ∂z∂22 .

2.6.21. Задача. Какие из утверждений задачи 2.6.13. справедливы в En (n > 3)?

§7 Внешние дифференциальные формы

2.7.1.Определение. Пусть x En - фиксированный элемент евклидова пространства En, Y En - произвольный элемент. Множество

пар Tx = {(x, Y ) : Y En} называется касательным пространством к En в точке x, при этом пара (x, Y ) называется вектором Tx, приложенным в точке x.

2.7.2.Замечание. Касательное пространство Tx становится векторным пространством, если векторные операции определить формулами:

2.7.3. Задача. Доказать, что касательное пространство Tx изоморфно евклидову пространству En.

2.7.5.Задача. Построить систему координат в пространстве T En, определить размерность T En.

2.7.6. Замечание. В слое Tx можно построить скалярное произведение по формуле

< (x, Y ), (x, Z) >=< Y, Z >,

где < Y, Z > - скалярное произведение в En.

2.7.7. Замечание. Если рассмотреть Tx - кокасательное пространство к Tx, то можно рассмотреть k-степени.

T k(Tx ) = Tx ... Tx , Λkx T k(Tx ), Sxk T k(Tx ).

2.7.8. Определение. Пусть G - некоторая область в En и для любой точки x G задан полилинейный функционал A : Txk → R, где Txk = Tx × ... × Tx (k раз). Тогда A называют дифференциальной формой в области G. Более того, если Aalt = A, то A называют внешней

дифференциальной k-формой в области G.

2.7.9.Замечание. Как правило внешние дифференциальные формы обозначают буквами греческого алфавита: α, β, γ, ω и т.д. Понятно

также, что внешняя дифференциальная форма ω Λkx и все свойства пространства Λkx применимы к его элементам ω Λkx.

2.7.10.Пусть {e1, ..., en} - базис En, а {e1, ..., en} - кобазис. Понятно, что тем самым в любом пространстве Tx задан базис {e1, ..., en}, состоящий из векторов приложенных к точке x и, соответственно, ко-

базис {e1, ..., en} в Tx .

Примеры. Пусть p(x) = {P (x), Q(x), R(x)} - поле векторов в E3. Рассмотрим формы:

ω1(x, Y ) =< p(x), Y >, Y E3;

ω2(x, Y1, Y2) = (p(x), Y1, Y2), Y1, Y2 E3;

(p(x), Y1, Y2) − смешанное произведение;

ω3(p(x), Y1, Y2, Y3) = (Y1, Y2, Y3), Y1, Y2, Y3 E3.

Понятно, что

ω1(x, Y ) = P Y 1 + QY 2 + RY 3 = (P dx1 + Qdx2 + Rdx3)(Y );