RGTA

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Алтайская государственная педагогическая академия"

Е.Д. Родионов, О.П. Гладунова, А.М. Ищук

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

Барнаул

2011

ББК 22.151я73 УДК 514(075) Р 605

Родионов, Е.Д.

Риманова геометрия и тензорный анализ : теория и приложения : учебное пособие/Е.Д. Родионов, О.П. Гладунова, А.М. Ищук. – Барнаул : АлтГПА, 2011. – 120 с.

ISBN 978–5–88210–598–2

В учебном пособии излагаются основные разделы курса по римановой геометрии и тензорному анализу, а также предлагаются задачи по всем рассмотренным разделам.

Учебное пособие предназначается для организации самостоятельной и индивидуальной работы студентов математических факультетов университетов.

Рецензенты А.А.Папин, д-р физ.-мат. наук, профессор (АлтГУ)

К. О. Кизбикенов, канд. физ.-мат. наук, доцент (АлтГПА)

3

Глава I

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

§1 Сопряженные векторные пространства

Формулы, которые мы будем использовать в этой и последующих главах достаточно громоздки, поэтому имеет смысл сначала остановиться на некоторых приемах, значительно облегчающих их запись.

Правило Эйнштейна.

1.1.1. Индексы, используемые в формулах этой главы могут быть вверху и внизу, и в каждом отдельном составляющем формулы либо встречаются один раз, либо два раза. Если индекс встречается один раз (ТОЛЬКО вверху или ТОЛЬКО внизу), он называется свободным индексом, если два (один раз вверху И один раз внизу) - спаренным, или индексом суммирования. Например,в формуле

индекс i свободный - он по одному разу встречается в выражениях ei и Sijj , индекс j индекс суммирования, он дважды встречается в

выражении Sijj .

Употребление индекса суммирования позволяет обходиться без знака суммирования, что существенно облегчает процесс записи некоторых формул. Так, если i = 1 и j меняется от 1 до 3, формула (1.1) в развернутом, обычном виде выглядит как:

X3

e1 = S1jj = S1jj = S11e1 + S12e2 + S13e3. j=1

А если i меняется от 1 до 3 и j меняется от 1 до 3, формула (1.1) в развернутом, обычном виде выглядит уже как:

e1 = S11e1 + S12e2 + S13e3

e2 = S21e1 + S22e2 + S23e3 e3 = S31e1 + S32e2 + S33e3

Способ, по которому записана формула (1.1) называется правилом суммирования Эйнштейна. Индекс который мы назвали индексом суммирования указывает, что по нему должно производиться суммирование.

1.1.2.Замечание. В этом параграфе и далее будем употреблять краткую запись суммирования. Это запись, при которой опускают не только пределы суммирования и указание индексов, но и сам знак суммы.

1.1.3.Определение. Пусть X – линейное векторное пространство размерности n над полем вещественных чисел R. Линейным функционалом на пространстве X называется отображение y пространства X в множество вещественных чисел R, y : X → R, удовлетворяющее следующим условиям:

1.1.4. Замечание. Множество всех линейных функционалов на пространстве X обозначим через Y . Во множестве Y естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число:

Очевидно, что множество Y при таком определении сложения и умножения на число становится линейным векторным пространством.

Пример 1. Рассмотрим отображение:

Здесь f(x1 + x2) = 3(x11 + x12) + (x21 + x22) = (3x11 + x21) + (3x12 + x22) = = f(x1) + f(x2)

и

λf(x) = λ(3x1 + x2) = λ3x1 + λx2 = 3λx1 + λx2 = f(λx)

Напомним, что если {e1, e2, ..., en} – некоторый базис в пространстве X, то для любого x X существуют числа xi такие, что x = x1e1 +

+ x2e2 + . . . xnen или, иначе x = Pn xiei и эти числа xi называются

i=1

координатами вектора x. Если y – некоторый элемент Y , то из предыдущих формул, (1.2) и (1.3) следует:

откуда вытекает, что значение функционала y на любом элементе x X определено, если нам известно значение у на базисных векторах ei. Введем обозначение yi = y(ei). Тогда формулу (1.6) можно

записать так:

Xn

y(x) = xiyi.

i=1

Итак, мы видим, что если в пространстве X задан базис {e1, e2, ..., en}, то любому элементу y из Y соответствует набор чисел yi = y(ei) и наоборот, если задан упорядоченный набор n чисел: (y1, y2, ..., yn) то мы можем определить элемент y пространства Y формулой:

образуют базис в пространстве Y . Этот базис называется сопряженным, или взаимным базисом к базису {e1, e2, ..., en} в X, а само пространство Y называется сопряженным пространством к X и иногда обозначается через X , Y = X .

1.1.7. Теорема. Имеет место равенство Y = (X ) = X.

Доказательство. Каждый элемент x пространства X определяет функционал на Y равенством

которое словами читается так: значение элемента x X на элементе y Y , по определению, равно значению y на элементе x. Аддитивность и однородность функционала x(y), определенного формулой (1.8), вытекает из соотношений:

x(y1 + y2) = (y1 + y2)(x) = y1(x) + y2(x) = x(y1) + x(y2),

x(λy) = (λy)(x) = λx(y).

Докажем, наконец, что любой линейный функционал на Y можно получить с помощью формулы (1.8). Пусть a – некоторый линейный функционал на пространстве Y . Тогда, как мы уже знаем, он определяется своими значениями на базисных векторах. Введем обозначение ai = a(ei), i = 1, ..., n. Тогда

где yi – координаты y относительно базиса {e1, e2, ..., en}. Возьмем теперь элемент xα X, определенный формулой xα = aiei. Вычислим значение элемента xα на произвольном элементе y Y :

Сопоставляя (1.9) с (1.10), мы видим, что значение функционала a и значение функционала xα совпадают на каждом элементе y Y . Поэтому функционалы a Y можно отождествить с элементами xα X, и, следовательно, мы можем отождествить Y с X, что можно записать так Y = (X ) = X.

1.1.8. Теорема. Евклидово пространство самосопряжено,

(En) = En.

В дальнейшем мы часто будем обращаться к задаче перехода от одного базиса к другому. Необходимость отказаться от начального базиса и перейти к новому возникает по разным причинам. Нас могут не устраивать свойства начального базиса, а может представлять интерес сам характер возникающих при переходе преобразований. Поэтому уже на этом этапе важно хорошо разобраться, как происходит преобразование координат при замене базиса, хорошо запомнить основные правила и приобрести основные навыки решения типовых задач по этой теме.

Пусть X - линейное n-мерное пространство, e1, ..., en его базис. Пусть e1′ , ..., en′ - новый базис в X. Разложим каждый из векторов e1′ , ..., en′ по старому базису; мы получим

Тогда, как известно, координаты xi вектора x относительно базиса {e1, e2, ..., en} и координаты (xi)′ того же самого вектора x относительно базиса {e′1, e′2, ..., e′n} связаны между собой матрицей B, где

Рассматривая формулу перехода (1.11)((1.12)) отметим, что коэффициенты в ней параметризованы двумя индексами, пробегающими независимо по диапа зону целых чисел от 1 до n. Другими словами, они формируют массивы, обычно представляемые как таблица или матрица:

(1.13)

Матрицу A называют матрицей перехода или матрицей прямого перехода, так как мы используем ее при прохождении от старого базиса к новому. В составлении таких матриц как A и B используется

следующее правило.

1.1.9. Правило. Для любого двухиндексного массива с индексами на одном уровне (два верхних или два нижних индекса), первый индекс это номер строки, второй индекс является номером столбца. Если индексы находятся на различных уровнях (один верхний и один нижний), тогда верхний индекс это номер строки, а нижний индекс номер столбца. Обратите внимание, что согласно этому правилу, коэффициенты формулы, которые написаны в строку, составляют первый столбец в матрице, так что линии в формулах (1.11), (1.12) превращаются в столбцы в матрицах (1.13).

Матрицы A и B связаны равенствами:

То есть матрица B является матрицей обратной и транспонированной к A :

B= (A )−1.

Впространстве Y = X базисам {e1, e2, ..., en} и {e1′ , e2′ , ..., en′ } соответствуют двойственные базисы {e1, e2, ..., en} и {e1′ , e2′ , ..., en′ }.

Пусть yi и yi′ , i = 1, ...n – координаты элемента y Y относительно базисов {e1, e2, ..., en} и {e1′ , e2′ , ..., en′ } соответственно. Тогда, вспоминая, что yi = y(ei) и yi′ = y(ei′ ) мы получаем формулу:

1.1.10. Замечание. Итак, формула (1.12) показывает, что координаты элемента x X при переходе от одного базиса к другому

преобразуются с помощью матрицы, обратной и транспонированной к матрице A, и поэтому элементы x X называются контравариантными векторами, или просто векторами. А формула (1.14) показывает, что координаты элемента y Y = X при переходе от одного базиса к другому в пространстве X преобразуются с помощью той же матрицы A и поэтому элементы y Y называются ковариантными векторами, или ковекторами.

1.1.11. Замечание. Если пространство X является евклидовым пространством En, то, как мы уже знаем, (En) = En и, следовательно, контравариантные и ковариантные вектора являются векторами одного и того же пространства. Поэтому, в случае, когда X = En, мы будем говорить не о контравариантных и ковариантных векторах, а о контравариантных и ковариантных координатах одного и того же элемента (вектора)пространства X:

Замечание. Если базис {e1, e2, ..., en} является ортонормированным, то сопряженный к нему базис {e1, e2, ..., en} совпадает с исходным: ei = ei, в этом случае ковариантные и контравариантные координаты xi и xi совпадают: xi = xi, i = 1, .., n.

Пример 2. Пусть a1, ..., an - набор скаляров из R. Функция y : Rn → R, y(x1, ..., xn) = aixi - ковектор на Rn. В самом деле, если x = (x1, ..., xn),

v = (v1, ..., vn) Rn, то и y(x+v) = ai(xi +vi) = aixi +aivi = y(x)+y(v) и y(λx) = ai(λxi) = λaixi = λy(x).

Пусть e1 = (1, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, ..., 1) - базис Rn, ei = ei - сопряженный к нему базис и y = aj ej , y En , y - ковектор, соответствующий набору (a1, ..., an). Тогда координаты y относительно ei есть как раз ai, ибо

yi = y(ei) = ajδij = ai.

Пример 3. Пусть e1, e2 - базис V 2 и e1′ = e1 − e2, e2′ = −e1 + 2e2 - другой базис. Найти преобразование сопряженного базиса и координат ковектора y = e1 − e2.

Решение. Запишем в матричном виде соотношения между базисами

Сравнивая (1) и (2) получим: vi′ = Aikv′k, где Aik транспонированная к Ask. Получаем: v1 − v2 + v3 − v4 = −v′2 + v′3. Таким образом, новое уравнение V : v′2 − v′3 = 0.