Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

RGTA

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
14.05.2015
Размер:
745.05 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Алтайская государственная педагогическая академия"

Е.Д. Родионов, О.П. Гладунова, А.М. Ищук

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

Барнаул

2011

ББК 22.151я73 УДК 514(075) Р 605

Родионов, Е.Д.

Риманова геометрия и тензорный анализ : теория и приложения : учебное пособие/Е.Д. Родионов, О.П. Гладунова, А.М. Ищук. – Барнаул : АлтГПА, 2011. – 120 с.

ISBN 978–5–88210–598–2

В учебном пособии излагаются основные разделы курса по римановой геометрии и тензорному анализу, а также предлагаются задачи по всем рассмотренным разделам.

Учебное пособие предназначается для организации самостоятельной и индивидуальной работы студентов математических факультетов университетов.

Рецензенты А.А.Папин, д-р физ.-мат. наук, профессор (АлтГУ)

К. О. Кизбикенов, канд. физ.-мат. наук, доцент (АлтГПА)

ISBN 978–5–88210–598–2

c

Алтайская государственная

 

педагогическая академия, 2011

 

c

 

Е.Д. Родионов, О.П. Гладунова,

 

А.М. Ищук, 2011

3

Глава I

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

§1 Сопряженные векторные пространства

Формулы, которые мы будем использовать в этой и последующих главах достаточно громоздки, поэтому имеет смысл сначала остановиться на некоторых приемах, значительно облегчающих их запись.

Правило Эйнштейна.

1.1.1. Индексы, используемые в формулах этой главы могут быть вверху и внизу, и в каждом отдельном составляющем формулы либо встречаются один раз, либо два раза. Если индекс встречается один раз (ТОЛЬКО вверху или ТОЛЬКО внизу), он называется свободным индексом, если два (один раз вверху И один раз внизу) - спаренным, или индексом суммирования. Например,в формуле

ei = Sijj

(1.1)

индекс i свободный - он по одному разу встречается в выражениях ei и Sijj , индекс j индекс суммирования, он дважды встречается в

выражении Sijj .

Употребление индекса суммирования позволяет обходиться без знака суммирования, что существенно облегчает процесс записи некоторых формул. Так, если i = 1 и j меняется от 1 до 3, формула (1.1) в развернутом, обычном виде выглядит как:

X3

e1 = S1jj = S1jj = S11e1 + S12e2 + S13e3. j=1

4

Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

А если i меняется от 1 до 3 и j меняется от 1 до 3, формула (1.1) в развернутом, обычном виде выглядит уже как:

e1 = S11e1 + S12e2 + S13e3

e2 = S21e1 + S22e2 + S23e3 e3 = S31e1 + S32e2 + S33e3

Способ, по которому записана формула (1.1) называется правилом суммирования Эйнштейна. Индекс который мы назвали индексом суммирования указывает, что по нему должно производиться суммирование.

1.1.2.Замечание. В этом параграфе и далее будем употреблять краткую запись суммирования. Это запись, при которой опускают не только пределы суммирования и указание индексов, но и сам знак суммы.

1.1.3.Определение. Пусть X – линейное векторное пространство размерности n над полем вещественных чисел R. Линейным функционалом на пространстве X называется отображение y пространства X в множество вещественных чисел R, y : X → R, удовлетворяющее следующим условиям:

y(x1 + x2) = y(x1) + y(x2) – свойство аддитивности,

(1.2)

y(λx) = λy(x)– свойство однородности.

(1.3)

1.1.4. Замечание. Множество всех линейных функционалов на пространстве X обозначим через Y . Во множестве Y естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число:

(y1 + y2)(x) = y1(x) + y2(x) – свойство аддитивности,

(1.4)

(λy)(x) = λy(x)– свойство однородности,

(1.5)

Очевидно, что множество Y при таком определении сложения и умножения на число становится линейным векторным пространством.

Пример 1. Рассмотрим отображение:

f : V → R,

f(x) = 3x1 + x2.

§1. Сопряженные векторные пространства

5

Здесь f(x1 + x2) = 3(x11 + x12) + (x21 + x22) = (3x11 + x21) + (3x12 + x22) = = f(x1) + f(x2)

и

λf(x) = λ(3x1 + x2) = λ3x1 + λx2 = 3λx1 + λx2 = f(λx)

Напомним, что если {e1, e2, ..., en} – некоторый базис в пространстве X, то для любого x X существуют числа xi такие, что x = x1e1 +

+ x2e2 + . . . xnen или, иначе x = Pn xiei и эти числа xi называются

i=1

координатами вектора x. Если y – некоторый элемент Y , то из предыдущих формул, (1.2) и (1.3) следует:

n

n

 

X

Xi

 

y(x) = y( xiei) =

xiy(ei)

(1.6)

i=1

=1

 

откуда вытекает, что значение функционала y на любом элементе x X определено, если нам известно значение у на базисных векторах ei. Введем обозначение yi = y(ei). Тогда формулу (1.6) можно

записать так:

Xn

y(x) = xiyi.

i=1

Итак, мы видим, что если в пространстве X задан базис {e1, e2, ..., en}, то любому элементу y из Y соответствует набор чисел yi = y(ei) и наоборот, если задан упорядоченный набор n чисел: (y1, y2, ..., yn) то мы можем определить элемент y пространства Y формулой:

 

n

 

Xi

y(x) =

xiyi, i = 1, ..., n

 

=1

1.1.5. Задача. Доказать, что ej (x) = xj x X.

1.1.6. Теорема. Пусть элементы e1

, e2, ..., en, такие, что ei(ej ) = δji

 

 

=

0

при i = j

 

ei(ej ) = δji ,

где δji

1

при i6= j.

(1.7)

образуют базис в пространстве Y . Этот базис называется сопряженным, или взаимным базисом к базису {e1, e2, ..., en} в X, а само пространство Y называется сопряженным пространством к X и иногда обозначается через X , Y = X .

6

Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1.7. Теорема. Имеет место равенство Y = (X ) = X.

Доказательство. Каждый элемент x пространства X определяет функционал на Y равенством

x(y) = y(x),

(1.8)

которое словами читается так: значение элемента x X на элементе y Y , по определению, равно значению y на элементе x. Аддитивность и однородность функционала x(y), определенного формулой (1.8), вытекает из соотношений:

x(y1 + y2) = (y1 + y2)(x) = y1(x) + y2(x) = x(y1) + x(y2),

x(λy) = (λy)(x) = λx(y).

Докажем, наконец, что любой линейный функционал на Y можно получить с помощью формулы (1.8). Пусть a – некоторый линейный функционал на пространстве Y . Тогда, как мы уже знаем, он определяется своими значениями на базисных векторах. Введем обозначение ai = a(ei), i = 1, ..., n. Тогда

n

n

n

 

X

X

Xi

 

a(y) = a(

yiei) =

yia(ei) = yiai = yiai,

(1.9)

i=1

i=1

=1

 

где yi – координаты y относительно базиса {e1, e2, ..., en}. Возьмем теперь элемент xα X, определенный формулой xα = aiei. Вычислим значение элемента xα на произвольном элементе y Y :

xα(y) = (aiei)(ykek) = aiykei(ek) = aiykδik = aiyi.

(1.10)

Сопоставляя (1.9) с (1.10), мы видим, что значение функционала a и значение функционала xα совпадают на каждом элементе y Y . Поэтому функционалы a Y можно отождествить с элементами xα X, и, следовательно, мы можем отождествить Y с X, что можно записать так Y = (X ) = X.

1.1.8. Теорема. Евклидово пространство самосопряжено,

(En) = En.

§1. Сопряженные векторные пространства

7

Преобразование координат при замене базиса в X.

 

В дальнейшем мы часто будем обращаться к задаче перехода от одного базиса к другому. Необходимость отказаться от начального базиса и перейти к новому возникает по разным причинам. Нас могут не устраивать свойства начального базиса, а может представлять интерес сам характер возникающих при переходе преобразований. Поэтому уже на этом этапе важно хорошо разобраться, как происходит преобразование координат при замене базиса, хорошо запомнить основные правила и приобрести основные навыки решения типовых задач по этой теме.

Пусть X - линейное n-мерное пространство, e1, ..., en его базис. Пусть e1, ..., en- новый базис в X. Разложим каждый из векторов e1, ..., enпо старому базису; мы получим

e1

=

A11e1 + A12e2 + ... + A1nen

 

e2

=

A21e1 + A22e2 + ... + A2nen

 

... ...

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

en

=

1

2

n

 

 

Ane1

+ Ane2

+ ... + Anen

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ek= Aki ei, i = 1, ..., n.

(1.11)

Тогда, как известно, координаты xi вектора x относительно базиса {e1, e2, ..., en} и координаты (xi)того же самого вектора x относительно базиса {e1, e2, ..., en} связаны между собой матрицей B, где

x1

=

B11x1 + B21x2 + ... + Bn1xn

 

x2

=

B12x1 + B22x2 + ... + Bn2xn

... ...

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

1

n

2

n

n

 

x

 

 

=

B1

 

x + B2

 

x

+ ... + Bn

 

x

 

 

 

 

 

 

 

xi

= Bjixj

 

 

(1.12)

Рассматривая формулу перехода (1.11)((1.12)) отметим, что коэффициенты в ней параметризованы двумя индексами, пробегающими независимо по диапа зону целых чисел от 1 до n. Другими словами, они формируют массивы, обычно представляемые как таблица или матрица:

8

 

 

 

 

 

Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

A =

A11

A21... An1

 

, B =

B11

B12

... B1n

 

A12

A22... An2

B21

B22

... B2n

 

... ... ... ...

 

 

 

... ... ... ...

 

An

An

... An

1

2

n

 

1

2

n

 

 

 

Bn

Bn

... Bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.13)

Матрицу A называют матрицей перехода или матрицей прямого перехода, так как мы используем ее при прохождении от старого базиса к новому. В составлении таких матриц как A и B используется

следующее правило.

1.1.9. Правило. Для любого двухиндексного массива с индексами на одном уровне (два верхних или два нижних индекса), первый индекс это номер строки, второй индекс является номером столбца. Если индексы находятся на различных уровнях (один верхний и один нижний), тогда верхний индекс это номер строки, а нижний индекс номер столбца. Обратите внимание, что согласно этому правилу, коэффициенты формулы, которые написаны в строку, составляют первый столбец в матрице, так что линии в формулах (1.11), (1.12) превращаются в столбцы в матрицах (1.13).

Матрицы A и B связаны равенствами:

A B = E,

BA = E

или

 

AilBji= δjl ,

BjiAil= δjl

То есть матрица B является матрицей обратной и транспонированной к A :

B= (A )−1.

Впространстве Y = X базисам {e1, e2, ..., en} и {e1′ , e2′ , ..., en′ } соответствуют двойственные базисы {e1, e2, ..., en} и {e1, e2, ..., en}.

Пусть yi и yi′ , i = 1, ...n – координаты элемента y Y относительно базисов {e1, e2, ..., en} и {e1, e2, ..., en} соответственно. Тогда, вспоминая, что yi = y(ei) и yi= y(ei) мы получаем формулу:

yi= y(ei) = y(Aijej ) = Aijy(ej ) = Aijyj

(1.14)

1.1.10. Замечание. Итак, формула (1.12) показывает, что координаты элемента x X при переходе от одного базиса к другому

§1. Сопряженные векторные пространства

9

преобразуются с помощью матрицы, обратной и транспонированной к матрице A, и поэтому элементы x X называются контравариантными векторами, или просто векторами. А формула (1.14) показывает, что координаты элемента y Y = X при переходе от одного базиса к другому в пространстве X преобразуются с помощью той же матрицы A и поэтому элементы y Y называются ковариантными векторами, или ковекторами.

1.1.11. Замечание. Если пространство X является евклидовым пространством En, то, как мы уже знаем, (En) = En и, следовательно, контравариантные и ковариантные вектора являются векторами одного и того же пространства. Поэтому, в случае, когда X = En, мы будем говорить не о контравариантных и ковариантных векторах, а о контравариантных и ковариантных координатах одного и того же элемента (вектора)пространства X:

x = xiei = xkek.

(1.15)

Замечание. Если базис {e1, e2, ..., en} является ортонормированным, то сопряженный к нему базис {e1, e2, ..., en} совпадает с исходным: ei = ei, в этом случае ковариантные и контравариантные координаты xi и xi совпадают: xi = xi, i = 1, .., n.

Пример 2. Пусть a1, ..., an - набор скаляров из R. Функция y : Rn → R, y(x1, ..., xn) = aixi - ковектор на Rn. В самом деле, если x = (x1, ..., xn),

v = (v1, ..., vn) Rn, то и y(x+v) = ai(xi +vi) = aixi +aivi = y(x)+y(v) и y(λx) = ai(λxi) = λaixi = λy(x).

Пусть e1 = (1, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, ..., 1) - базис Rn, ei = ei - сопряженный к нему базис и y = aj ej , y En , y - ковектор, соответствующий набору (a1, ..., an). Тогда координаты y относительно ei есть как раз ai, ибо

yi = y(ei) = ajδij = ai.

Пример 3. Пусть e1, e2 - базис V 2 и e1= e1 − e2, e2= −e1 + 2e2 - другой базис. Найти преобразование сопряженного базиса и координат ковектора y = e1 − e2.

Решение. Запишем в матричном виде соотношения между базисами

{ei} и {ei}

 

 

 

(e1, e2) = (e1, e2)

1

1

.

−1

2

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

Тогда, согласно формулам преобразования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

=

 

1

 

1

 

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

e2

−1

2

e2

, (y1, y2) = (y1, y2) −1

2 .

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1 = e1− e2

y1= y1 − y2

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2 = −e1+ 2e2

y2= −y1 + 2y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1= 2, y2= −3

 

 

 

 

 

 

Вообще, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = (e1, e2, ..., en)

P 1...

 

P 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

(e1

, e2

 

, ..., en

 

... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1...

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P11

... Pn1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en

 

 

... ... ...

 

en

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

 

 

=

 

 

..

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

P1

... Pn

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P 1′ ...

 

P 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

(y

1

, y

2

 

, ..., y

n

 

) = (y

, y

, ..., y

n

) ...

 

 

... .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

n ...

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1′ ...

 

 

 

 

Пример 4. Пусть V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn

 

 

X4 - подпространство, заданное уравнением

v

1

− v

2

+ v

3

i− v

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0. Найти уравнение этого подпространства в ко-

ординатах v

 

, если e1′ = e1 −e3, e2′ = e2 +e4, e3′ = e1 −e4, e4′ = e3 +e4.

Решение. Разложим v по старому и новому базисам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = viei

 

 

 

 

 

 

 

 

(1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = vkek,

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = vkek= vk(Aks es) = Aks vkes

 

 

 

(2).

Сравнивая (1) и (2) получим: vi= Aikvk, где Aik транспонированная к Ask. Получаем: v1 − v2 + v3 − v4 = −v′2 + v′3. Таким образом, новое уравнение V : v′2 − v′3 = 0.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]