RGTA

Пример. В примере 1 §1 координатными линиями являются окружности: ρ = c, ϕ = t и лучи ρ = t, ϕ = const. Вектор ∂1(M) равен

cosu2e1 + sinu2e2, а вектор ∂2(M) равен −u1sinu2e1 + u1sinu2e2.

Во втором примере мы имеем: ρ = t, ϕ = c1, z = c2 – окружности, ρ = c1, ϕ = t, z = c2 и ρ = c1, ϕ = c2, z = t – прямые линии. В этом примере можно также получить уравнения координатных поверхностей ρ = c, ϕ = t, z = r – цилиндрическая поверхность, ρ = t, ϕ = δ, z = c и ρ = t, ϕ = c, z = r – полуплоскости. Свое название эти координаты получили вследствие того, что одно из семейств координатных поверхностей есть семейство цилиндров. Локальный базис:

∂1 = cosu2e1 + sinu2e2, ∂2 = −u1sinu2e1 + u1cosu2e2, ∂3 = e3

2.2.5. Определение Пусть G и W – две открытые области во вспо-

могательном евклидовом пространстве En, а f и h – их координатные отображения в En, и G = f(G), W = h(W ). В области G0 = G T W каждая точка M имеет два набора координат: (u1, u2, ..., un) и ((u1)′, (u2)′, ..., (un)′). Координаты (u1, u2, ..., un) точки M принято называть старыми координатами точки M, а координаты

((u1)′, (u2)′, ..., (un)′) принято называть новыми координатами точки

M. Для новых координат ((u1)′, (u2)′, ..., (un)′) точки M часто используются такие обозначения: (u1)′ = u1′ , (u2)′ = u2′ , ..., (un)′ = un′ , или, кратко, (ui)′ = ui′ , i = 1, ..., n.

2.2.6. Связь между старыми и новыми координатами одной и той же точки M .

Обозначим через G1 = f−1(G0), а через G2 = h−1(G0). Тогда отображение ϕ = (h)−1 ◦ f : G1 → G2 дает искомую связь между старыми и новыми координатами. В подробно записи отображение ϕ записывается в следующей форме:

где xk = xk(u1, ..., un), k = 1, ..., n – отображение f, а ui′ = ui′ (x1, ..., xn)

– отображение f−1. В краткой записи ϕ : uj′ = uj′ (xk(ur)), j, k, ..., n.

2.2.7. Замечание. Отображение ϕ имеет обратное

ϕ−1 = f−1 ◦ h : G2 → G1,

Пример:

Пусть на плоскости E2 заданы две криволинейные системы координат. Одна полярная система координат ρ, ϕ, а другая – параболическая система координат, заданная отображением:

2.2.8. Закон преобразования локальных базисов.

Пусть M - произвольная точка области G0 En. Тогда в этой точке мы имеем два локальных базиса: {∂i} и {(∂k)′ = ∂k′ }. Найдем матрицу перехода от базиса {∂i} к базису {∂k′ }. Из определения ло-

Таким образом, мы видим, что матрица перехода от базиса {∂p} к базису ∂i′ совпадает с матрицей Якоби отображения ϕ−1. Аналогично можно показать, что матрица перехода от базиса {∂i′ } к базису {∂p} определяется матрицей Якоби отображения ϕ:

Напоминаем, что все производные вычислены в точке M.

§3 Векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве

2.3.1. Определение Мы будем говорить, что в евклидовом пространстве En задано векторное (ковекторное) поле, если в каждой точке M задан вектор λ(M) (ковектор µ(M)) . Если {e1, ..., en} – базис в En, то

λ(M) = λi(M)ei = λi(x1, ..., xn)ei µ(M) = µi(M)ei = µi(x1, ..., xn)ei

Следствие. Задание векторного поля эквивалентно заданию n функций от n переменных.

Пример 1. Поле параллельных векторов (ковекторов). В этом случае в каждой точке задан один и тот же вектор λ = λiei и функции λi(M) суть постоянные функции, не зависящие от точки.

Пример 2. Радиальное поле векторов.

В каждой точке M : (x1, ..., xn) задан вектор λ(M) с координатами

λ1 = x1, ..., λn = xn.

Пример 3. Если в некоторой области G En введена криволинейная система координат, то она индуцирует n векторных полей

∂i(M), i = 1, 2, ..., n.

2.3.2. Замечание: При переходе от одного базиса {e1, ..., en} к другому базису {e′1, ..., e′n} координаты векторного поля и ковекторного поля изменяются по обычному закону µi′ = Cikµk, (λi′ ) = λkBki , где матрица ||Cik|| – есть матрица перехода от первого базиса ко второму, а ||Bik|| – матрица, обратная к матрице ||Cik|| и транспонированная. Заметим, что элементы матрицы ||Cik|| не зависят от точки.

Тензоры, которые мы определили в параграфе 3 первой части - это свободные тензоры. Действительно, их компоненты - это массивы, связанные с базисами,а любой базис - это тройка свободных векторов, не связанных с какой либо точкой пространства, значит и тензоры, расматриваемые выше также не связаны с какой-либо точкой. Теперь предположим, что мы хотим связать наш тензор с некоторой точкой в пространстве а другой тензор с другой точкой - и т.д. Сделав это, мы можем заполнить все пространство тензорами - по одному в каждую точку. В таком случае мы скажем, что имеется тензорное поле. Чтобы отметить точку M, с которой связан конкретный тензор нашего тензорного поля, мы должны записать M как аргумент:

A = A(M)

Пусть все тензоры имеют тип (p, q). Тогда если мы выберем некоторый базис e1, e2, e3, мы сможем представить любой тензор нашего

тензорного поля как массив Aj1 ,...,jq с p + q индексами:

i1 ,...,ip

Aj1 ,...,jq = Aj1 ,...,jq (M)

i1 ,...,ip i1 ,...,ip

Таким образом, тензорное поле - это тензорнозначная функция с аргументом M, являющимся точкой в трехмерном евклидовом пространстве E3, а это представление в базисе.

Если мы зафиксируем некоторую точку О как начало координат, то мы получим декартову систему координат в пространстве и, следовательно, можем представить M через ее радиус-вектор и через координаты этого радиус-вектора (x1, x2, x3):

Aj1 ,...,jq = Aj1 ,...,jq (x1, x2, x3)

i1 ,...,ip i1 ,...,ip

Таким образом, тензорные поля, в отличие от свободных тензоров, связаны не с базисами,а с целыми системами координат(включающими начало координат). В каждой системе координат они представлены функциональными массивами, т.е. массивами из функций.

Таким образом, дадим следующее определение:

2.3.2. Определение Будем говорить, что в En задано тензорное поле строения (p, q), если в каждой точке M : (x1, ..., xn) задан тензор

тензора Aj1 ,...,jq – суть функции от координат x1, ..., xn точки M. Ес-

i1 ,...,ip

ли это гладкие функции класса Ck, то тензорное поле называется

гладким полем этого класса. Если Aj1 ,...,jq = const, то тензорное поле

i1 ,...,ip

называется постоянным.

тов репер в A , то

tx = tijk(x1, ..., xn)yiuj vk

Здесь функции tijk(x), заданные в области u, есть координаты тензорного поля.

2.3.3. Замечание. Преобразование координат тензорного поля происходит по обычному тензорному закону.

где аргументы x1, ..., xn координат Asr11 ,,......,s,rqp тензора нужно заменить их выражениями через координаты (x1)′, ..., (xn)′.

Рассмотренные ранее алгебрические операции с тензорами естественным образом переносятся на тензорные поля - они производятся поточечно. Но появляется новая операция - дифференцирование - ее мы рассмотрим позже.

2.3.4. Случай криволинейных координат

В этом случае в каждой точке M области G существует базис {∂1, ..., ∂n} и взаимный к нему базис {∂1, ..., ∂n}. Поэтому, если в области G задано векторное поле λ(M), то координаты λi(M) этого векторного поля принято определять относительно базиса {∂1, ..., ∂n}:

Аналогично и для поля ковекторов:

и вообще, координаты тензорных полей Aj1 ,...,jq также определены ло-

i1 ,...,ip

кальным базисом {∂1, ..., ∂n} и сопряженным к нему базисом {∂1, ..., ∂n}.

2.3.5. Преобразование координат тензорного поля при замене криволинейных координат.

Пусть в области G евклидова пространства En даны две криволинейные системы координат (u1, ..., un) и (u1′ , ..., un′ ) и тензорное поле

(3.3)

где ur = u(ui′ ) и uj′ = uj′ (us) - функции перехода от новых координат

к старым и от старых к новым соответственно; и в аргументы функций Asr11 ,,......,s,rqp (u1, ..., un) нужно подставить выражения для ur через ui′ .

2.3.6. Замечание. Иногда равенство (3.3) сразу берется как определение тензора, так как формула (3.3) при линейных преобразованиях переходит в формулу (2.12).

Примеры:

1. Поле метрического тензора.

Если в области G задана некоторая криволинейная система координат (u1, ..., un), то ее задание индуцирует в каждой точке M G базис

{∂1(M), ∂2(M), ..., ∂n(M)}. Введем обозначение gij (u1, ..., un) = (∂i, ∂j ).

Этот набор чисел gij , i, j = 1, ..., n является дважды ковариантным тензором в любой точке M G, так как gij суть координаты полилинейной функции (a, b). Этот тензор (тензорное поле) называется метрическим тензором (полем метрического тензора).

2.Обозначим через gij (u1, ..., un) - элементы матрицы, обратной к матрице ||gij ||. Тогда числа gij , i, j = 1, ..., n образуют дважды контравариантный тензор в каждой точке. Доказать!

3.Тензор напряжения.

Пусть G - область трехмерного евклидова пространства, заполненная некоторой сплошной средой (жидкостью или газом) или G – просто некое упругое тело, которое подверглось некоторой деформации и в нем появились упругие напряжения. Это означает следующее.

Рассмотрим какую-нибудь плоскую площадку, мысленно внесенную нами внутрь упругого тела и там как-либо установленную. Проведем нормаль к этой площадке и выберем какое-либо из двух направлений на нормали за положительное. Площадку мы в этом случае будем называть ориентированной.

Вблизи данной ориентированной площадки упругое тело будет ею рассечено на две части: одна из них расположена с положительной стороны площадки (т.е. в сторону положительного направления нормали), другая – с отрицательной стороны.

Наличие в теле напряжений означает, что первая из этих частей действует на вторую через отделяющую их площадку с известной силой. Эту силу мы будем называть силой напряжения, действующей на данную ориентированную площадку. Разумеется, вторая часть также действует на на первую ( по закону равенства действия и противодействия), но чтобы при подсчете силы напряжения не сбиваться в знаке, мы условимся рассматривать действие именно первой части на вторую.

Охарактеризовать напряжения, существующие в теле, значит уметь установить силу напряжения для любой ориентированной площадки, указанной в теле.

В каждой точке M(u1, u2, u3) сила давления, действующая на площадку S, ортогональную единичному вектору n(M), вычисляется по формуле SP (n), где P (n) - линейный оператор с матрицей ||Pji||. Тензор Pji (поле тензора Pji)называется тензором напряжения. Если

n = ni∂i, то (P (n))j = niPij . В случае применимости закона Паскаля (однородная жидкость) Pji = δji p(M), где p(M) - число, называемое давлением в данной точке M(u1, u2, u3).

Окончательно мы получим, что в изотропной среде связь между тензором напряжения и тензором малой деформации описывается тензором, зависящим только от двух констант (функций).

§4 Дифференцирование векторных и тензорных полей в криволинейных координатах

2.4.1. Определение. Если в области G задано векторное поле X = Xiei и в некоторой точке M вектор Z = Ziei, то производная Z X векторного поля X в направлении вектора Z, как это следует из определения производной по направлению, вычисляется по формуле

2.4.2. Формула для вычисления производной векторного поля в направлении вектора.

Найдем формулу для вычисления производной векторного поля X в направлении вектора Z, когда в области G введена криволинейная система координат (u1, u2, ..., un). Векторное поле X и вектор Z разложим по базису {∂1, ∂2, ..., ∂n}.

Связь между векторами ∂i и ei и координатами Xi и λi, Zi и µi выражается формулами

Подставим выражение для Xi и Zk в (4.1) и учтем (4.3) и (4.5). Получим

=∂λr µα∂r + ∂ (∂r)λr µα ∂uα ∂uα

Вектор ∂u∂α (∂r) = ∂r,α разложим по тому же базису ∂1, ∂2, ..., ∂n и коэффициенты разложения обозначим через:

В первом слагаемом формулы (4.6) индекс суммирования r заменим на β. Тогда получим

Остается найти выражения для величин rki. Мы найдем формулыrki, выражающие величины через компоненты метрического тензора gij . Напоминаем, что gij = (∂i, ∂j ).

Продифференцируем равенство gij = (∂i, ∂j ) по uk:

где введем обозначение ki,j = grj rki. Из формулы (4.5) следует

Умножая равенства (4.10) скалярно на ∂j , получим rikgrj = rkigrj, откуда следует симметричность величин ki,j по первым двум индексам. Перепишем теперь равенство (4.9):

Сложив равенства (4.11) и (4.12) и вычтя из суммы равенство (4.13), с учетом симметричности ik,j по первым двум индексам, получим:

2.4.3.Определение. Величины kj,i называются символами Кристоффеля первого рода, а величины ikj = kj,pgpi – символами Кристоффеля второго рода, и они выражены через компоненты метрического тензора и их первых производных.

2.4.4.Определение.Как видно из формулы (4.12), величины ∂u∂λkr +ki,r λi являются координатами билинейной функции и, следовательно, образуют тензор строения (1, 1). Координаты этого тензора мы

обозначим через (λr)k = λr,k и назовем ковариантной производной векторного поля λ.

2.4.5.Задача. Доказать, что

2.4.6. Определение. Аналогично предыдущему, из (4.15) следует, что величины (µr)k = µr,k = − pkr µp являются компонентами дважды ковариантного тензора второго ранга, и этот тензор называется ковариантной производной ковекторного поля µ.

Пример 1. Рассмотрим теперь поле параллельных векторов λ(M). В этом случае производная этого векторного поля должна обращаться в нуль по любому направлению, а , следовательно, и ковариантная производная тоже должна обращаться в нуль.