RGTA

Пример. Вернемся к примеру 5 параграфа 2. Разложение тензора

Tпо базису {ei ej ek} выглядит следующим образом:

T= e1 e2 e3−e2 e1 e3+e3 e1 e2−e1 e3 e2+e2 e3 e1−e3 e2 e1.

1.4.4. Свертка тензора. Операция поднятия и опускания индекса.

а) Свертка тензора.

Пусть Aij тензор строения (1, 1). Определим скаляр a по формуле

Xn

a = Aii = Aii i=1

Полученный скаляр a (тензор нулевого ранга) называется сверткой тензора Aij

Докажем корректность определения. Для этого нужно доказать ра-

гой системе координат. Пользуясь опеределением тензора, получим Aii′′ = ArsCri Bis = Arsδrs = Arr , что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть Aj1 ...jq тензор строения

i1 ,...,ip

(p, q) при p ≥ 1 и q ≥ 1. Возьмем произвольно один верхний индекс и

Напоминаю, что по индексу i идет суммирование. Доказательство

корректности определения тензора Bj1 ...jq−1 , то есть доказательство,

i1 ,...,ip−1

того что набор чисел Bj1 ...jq−1 образует тензор, проводится точно по

i1 ,...,ip−1

той же схеме, что и в рассмотренном выше частном случае и предоставляется читателю.

б). Операция подъема и опускания индекса.

В евклидовом пространстве En можно определить еще две опера-

ции над тензорами. Пусть gij есть метрический тензор En, а Aj1 ...jq

i1 ,...,ip

- некоторый тензор. Если q ≥ 1, то можно определить новый тензор формулой

Утверждение, что Bi1 ,...,ip+1 есть тензор, следует из того факта,

что он получен из тензоров Aj1 ...jq и gij умножением с последующей

i1 ,...,ip

сверткой. Эта операция называется операцией опускания индекса и

переводит тензор строения (p, q) в тензор строения (p + 1, q − 1).

Если обозначить через gij матрицу, обратную к матрице kgij k, то ее элементы образуют дважды контравариантный тензор. Доказательство этого факта оставляется читателю.

Пусть теперь p ≥ 1. Тогда для произвольного числа 1 ≤ k ≤ p можно определить тензор

Данная операция называется операцией подъема индекса и переводит тензор строения (p, q) в тензор строения (p − 1, q + 1).

Пример: В V 2 дан тензор tkij с координатами

Вычислить координаты ковекторов ξi = tkik, ηi = tkki.

Решение: По определению, ξi = t1i1 +t2i2, т.к. k = 2. Значит, координаты

тензора ξ есть: ξ1 = t111 + t212 = 0 + (−1) = −1, ξ2 = t121 + t222 = 2 + 0 = 2.

Аналогично находим: η = (2, 1).

Ответ: ξ(−1, 2), η(2, 1).

1.4.5. Линейные операторы и тензоры

Если f : X → V - линейный оператор, то с ним можно связать линейный оператор между TqpX и TqpV в следующих случаях:

а) p = 0. Определен линейный оператор f : Tq0V → Tq0X, f t(x1, ..., xq) = = t(f(x1), ..., f(xq));

б) q = 0. Определен линейный оператор f : T0pV → T0pX, f t(y1, ..., yp) = = t(f (y1), ..., f (yp)), где f - сопряженный оператор к оператору f.

В координатах эти операторы записываются следующим образом: если {ei} - базис X, {gα} - базис V , f(ei) = fiαgα, то

(f a)11 = f11f11a11 + f11f12a12 + f12f11a21 + f12f12a22 =

=1 · 1 · 1 + 1 · 2 · (−1) + 0 + 2 · 2 · 1 = 1 − 2 + 4 = 3.

Витоге получим:

§4 Симметричные и кососимметричные тензоры. Операции альтернации и симметрирования

1.4.1. Определение (Симметрический тензор): Тензор Aj1 ...jq

i1 ,...,ip

называется симметрическим по верхним индексам (или по нижним индексам), если при любой перестановке этих индексов компоненты

ная перестановка индексов j1, j2, ..., jq.

Пример 1. Очевидно, Aij – симметрический тензор, если Aij = Aji,

или Aij симметричен, если Aij = Aji. Пример симметричного дважды ковариантного тензора мы уже приводили – это метрический тензор gij = (ei, ej) = (ej , ei) = gji.

1.4.2. Определение (Кососимметрические тензоры): Кососимметрическим (знакопеременным, антисимметрическим) тензором называется тензор, компоненты которого меняют знак при перемене местами любых двух индексов, если оба эти индексы верхние или нижние.

Для произвольного антисимметрического тензора верны следую-

перестановка индексов j1, j2, ..., jq, причем знак (+) берется тогда, когда эта перестановка четная и (-) в противоположном случае.

Пример 2. Тензор Aji кососимметричен, если Aij = −Aji.

Замечание: Учитывая определение тензора как полилинейной функции, определение симметрического и кососимметрического тензора можно дать следующим образом:

1.4.3.Определение: Тензор называется симметричным по данной паре аргументов, если их перестановка не меняет значения тензора. Тензор называется симметричным, если он симметричен по каждой паре аргументов.

1.4.4.Определение: Тензор называется кососимметричным по данной паре аргументов, если их перестановка меняет знак тензора. Тензор называется кососимметричным или косым, если он кососимметричен по каждой паре аргументов (индексов).

Пример 3. Тензор строения (p, 0) A(x1, x2, x3, ..., xn) симметричен по первому и третьему аргументам, если

A(x1, x2, x3, ..., xn) = A(x3, x2, x1, ..., xn)

при любых x1, x2, x3, ..., xn L.

Тензор строения (p, 0) A(x1, x2, x3, ..., xn) кососимметричен по первому и третьему аргументам, если

A(x1, x2, x3, ..., xn) = −A(x3, x2, x1, ..., xn)

при любых x1, x2, x3, ..., xn L.

Замечание: Косой тензор не меняет своего числового значения при любой четной перестановке его аргументов (индексов). При любой нечетной перестановке аргументов (индексов) косой тензор умножается на минус единицу.

1.4.5.Задача. Доказать равносильность определений 1.4.1. и 1.4.3.

1.4.6.Определение(Симметрирование). Пусть Ai1 ,...,ip – p раз

ковариантный тензор. Определим симметрический тензор A(i1 ,...,ip)

Если тензор Ai1 ,...,ip был уже симметричным, то A(i1 ,...,ip) = Ai1 ,...,ip , так как число перестановок из p чисел равно p ! .

Пример 4. Для тензора ранга два операция симметрирования в таком случае выглядит так:

1

Aij = 2 (Aij + Aji)

или

Aij = 12 (Aij + Aji).

Иначе определение симметрирования можно дать так:

1.4.7. Определение: Если A(x1, x2, x3, ..., xn) - произвольный тензор, то с ним по определенному стандарту может быть сопоставлен симметричный тензор от тех же аргументов.

1 X

(A(x1, x2, x3, ..., xn)) = m! σ A(σ(x1), σ(x2), σ(x3), ..., σ(xm))

где сумма справа берется по всем перестановкам σ символов x1, x2, x3, ..., xn; m - число этих символов (число аргументов). Эта операция называ-

ется симметрированием и обозначается круглыми скобками.

Пример 5. В частных случаях m = 2 и m = 3 имеем.

1

(A(x1, x2)) = 2! (A(x1, x2) + A(x2, x1)),

1

(A(x1, x2, x3)) = 3!(A(x1, x2, x3) + A(x2, x3, x1) + A(x3, x1, x2)+

1.4.8. Определение (Альтернирование): Пусть Ai1 ,...,ip – p раз ковариантный тензор. Определим теперь для любого тензора A(i1 ,...,ip) антисимметричный тензор A[i1 ,...,ip] равенствами

1 X

A[i1 ,...,ip] = p ! ±Ar1,...,rp

где r1, ..., rp есть произвольная перестановка индексов i1, ..., ip, причем знак (+) берется, если она четная, а знак (-), если нечетная. Аналогично, для контрвариантных тензоров операция альтернирования задается формулой.

A[i1 ,...,iq] = q1! X ±As1,...,sq .

§4. Симметричные и кососимметричные тензоры. Операции

1.4.9. Определение: Операция альтернирования заключается в том, что с произвольным тензором A(x1, x2, x3, ..., xn) по определенному стандарту сопоставляется кососимметричный (косой) тензор от тех же аргументов. Он обозначается квадратными скобками и определяется равенством

1 X

[A(x1, x2, x3, ..., xn)] = m! ( σ A(σ(x1), σ(x2), σ(x3), ..., σ(xn))−

X

−A(τ(x1), τ(x2), τ(x3), ..., τ(xn)))

τ

где первая сумма берется по всем четным перестановкам σ символов x1, x2, x3, ..., xn, вторая по всем нечетным τ.

Можно также написать и так:

здесь сумма справа берется по всем индексам j1...jn, каждый из которых независимо от остальных пробегает все значения от 1 до n;

δi1 ...in = +1, если j1...jn есть четная перестановка набора чисел 1, ..., n;

1...n

δi1 ...in = −1, если j1...jn есть нечетная перестановка набора чисел

1...n

1, ..., n; δi1 ...in = 0, если среди значений j1...jn имеется пара одинако-

1...n

вых.

−A(x2, x1, x3) − A(x1, x3, x2) − A(x3, x2, x1)).

28 Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

Равенство (4.1) надлежит понимать с учетом следующего условия: если те же аргументы слева написаны в другом (не натуральном) порядке, то в таком же порядке должны быть написаны нижние индексы альтернатора справа.

Найти координаты тензора A[ij].

Решение:

A[ij] = 12 (Aij − Aji); A[11] = A[22] = A[33] = 0; A[12] = −A[21] =

Пример 10. Доказать, что если векторы x1, x2, x3, ..., xm, являющиеся аргументами тензора, линейно зависимы, то

[A(x1, x2, x3, ..., xm)] = 0.

Доказательство:

В самом деле, предполагая для простоты, что x1, x2, x3, ..., xk является максимальной независимой подсистемой системы векторов x1, x2, x3, ..., xm имеем xk+1 = α1x1 + ... + αkxk. Но отсюда по свойству линейности получаем

[A(x1, x2, x3, ..., xm)] = α1[A(x1, ..., xk, x1, ..., xm)] + ...

... + αk[A(x1, ..., xk, xk, ..., xm)] = 0

1.4.10. Задача: Доказать свойства альтернации:

а). Любой тензор ранга 2 можно разложить в прямую сумму симметрического и кососимметрического тензоров.

б). Альтернация тензора есть тензор.

в). Альтернация тензора кососимметрична по любой паре аргументов.

г). Если среди аргументов тензора имеется пара одинаковых, то альтернация тензора равна нулю.

Будем далее предполагать, что наше пространство является n-мерным.

д). Если число аргументов тензора m > n, то альтернация тензора равна нулю.

е). Для любого тензора повторная альтернация совпадает с однократной.

§5 Симметрическое и внешнее произведение тензоров

1.5.1. Операции симметрического и внешнего произведений тензоров.

Пользуясь операциями симметрирования и альтернирования можно определить операции симметрического A ◦ B и внешнего A B произведений тензоров A и B по формулам:

где A Sm(X), B Sn(X).

где A Λm(X), B Λn(X).

1.5.2. Симметричные и кососимметричные алгебры.

В случае (5.1) (соответственно (5.3)) симметрическое произведе-

ние превращает прямую сумму

S (X) = P Sm(X) (соответственно S (X) = P Sm(X)) в коммута-

тивную алгебру, изоморфную алгебре многочленов от переменных.

Аналогично, в случае (5.2) мы получаем алгебру Λ (X) = P Λm(X).

m≥0

Причем Λ0(X) = R,

Λm(X) = 0 при m > n = dimX.

Элементы ei1 ... eim , 1 ≤ i1 < i2 < ... < im ≤ n, образуют базис в Λm(X).

Поэтому всякий m-вектор A Λm(X) однозначно представим в виде

A= Ai1 ...im ei1 ... eim

Вслучае (5.4), действуя аналогично, мы получим грассманову, или внешнюю алгебру

Элементы пространства Λm(X) принято называть m-формами. Базис в Λm(X) имеет вид ej1 ... ejm ,1 ≤ j1 < j2 < ... < jm ≤ n, поэтому всякая m-форма B Λm(X) представима в виде

B = Bj1 ...jm ej1 ... ejm

Пример 1. Пусть e1, e2, e3 - базис V 3, ξ = e1 −e2 +e3, η = e1 +2e2 −e3.

Найти координаты тензоров ξ ◦ η, ξ η.

Решение. В базисе {ei} ξ1 = 1, ξ2 = −1, ξ3 = 1, η1 = 1, η2 = 2, η3 = −1. Поэтому

1

(ξ ◦ η)ij = ξ(iηj) = 2 (ξiηj + ξj ηi)

и координаты ξ ◦ η в базисе ei ej образуют матрицу