Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

RGTA

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
14.05.2015
Размер:
745.05 Кб
Скачать

. Задачи к главе 1

41

44.Перемножить тензоры из предыдущей задачи в порядке, противоположном заданному.

45.Дан тензор:

T111 = x1 + (x2)2, T112 = x1 + x2, T121 = x1x2, T122 = 1,

T 11 = x2 + (x1)2, T 12 = x1 − x2, T 21 = x1 , T 22 = 0. 2 2 2 x2 2

1) Свернуть его по нижнему и второму верхнему индексам. 2)Свернуть его по нижнему и первому верхнему индексам.

46.Даны тензоры aij и bklm.Построить из них путем одного умножения и свертывания тензоры первой, третьей и пятой валентности. Сколько их будет?

47.Пусть даны тензор третьей валентности aijk и тензор второй валентности bim. Получить из них путем умножения и свертывания тензор пятой валентности, тензоры третьей валентности, тензоры первой валентности.

48.Показать что тензор второй валентности zij тогда и только тогда есть произведение тензоров первой валентности, когда его координаты удовлетворяют уравнениям

zklzij − zlizkj = 0

49.Построить инвариант путем свертывания индексов у тензора aij , компоненты которого – элементы матрицы:

 

3

−5

6

 

 

2

1

0

 

−7

0

4

50.Даны тензор второй валентности aij , матрица которого в некотором базисе равна

(aij ) =

2

0

3

 

5

1

2

4

5

7

и тензоры первой валентности xi и yi, которые в том же базисе имеют компоненты:

(xi) = (2, 1, 4),

42

Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

 

(yi) = (3, 7, −1).

 

 

 

 

 

 

Найти:

 

 

 

 

 

 

aij xj , aij xi, aij yj , aij yi, aij xiyj, aij yixj , aij δij , aij

2

δij all, (aij

 

52 δij all)xi, (aij 52 δij all)xiyj .

5

 

51. Образовать скаляры путем свертывания тензоров, матрицы ко-

торых имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6

3

 

;

 

3

6

3

 

;

 

4

4

4

.

 

 

 

2

4

3

 

4

5

4

 

3

2

6

 

 

 

 

1

0

5

 

 

 

5

0

1

 

 

 

3

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52. Найти

вектор, образованный умножением тензора T

на век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

тор Ai с последующим свертыванием по индексу вектора и: а. первому индексу тензора, б. второму индексу тензора, если:

 

 

 

 

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

 

||

 

 

1

3

4

 

 

 

Tik

 

=

 

3

4

1

 

; A = i1 + 2i2 + 3i3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53.Найти скаляр, образованный умножением тензора Tik на векторы A и B, с последующим свертыванием по индексу вектора A и первому индексу тензора и по индексу B и второму индексу тензора, если Tik и A заданы условием предыдущей задачи, а

B = 4i1 + 5i2 + 6i3.

54. Доказать, что если (0, 3)-тензор aijk симметричен по i, j , то

a(ijk) = 13 (aijk + akij + ajki)

55.Доказать, что если (0, 3)-тензор aijk кососимметричен по i, j , то

a[ijk] = 13 (aijk + akij + ajki)

56.При каких значениях c возможно соотношение aijk = akji для любых i, j, k 1, n

57.Доказать, что при повторной альтернации внутренние скобки альтернирования можно снять. Например, a[[ij]k] = a[ijk]. i, j, k = 1, n

58.Если тензор ti1 ...ir ...is ...it...ip симметричен по индексам ir, is и кососимметричен по is, it, то он равен нулю. Доказать.

59.Расписать двойное альтернирование a[i[j bk]m]

60.Доказать, что если тензор aij имет вид aij = u[ivj], то aij akl +

aikalj + ailajk = 0

. Задачи к главе 1

43

61.Найти условие при котором вектор v параллелен 2-мерному направлению, определенному бивектором p.

62.Доказать, что при n = 3 всякий кососимметричный тензор a Λ2V 3 является бивектором.

63.Выписать соотношения, связывающие между собой компоненты 3-вектора в V 5.

64.Доказать, что m векторов v1, ..., vm линейно зависимы в V n тогда и только тогда, когда v1 ... vm = 0.

65.Найти уравнение гиперплоскости в V 4, определяемой 3-вектором.

p123 = −1, p124 = 1, p134 = 1, p234 = 1

.

66.Найти компоненты тензоров: а). a[klij], б). aij[kl], в).a[[ijkl]], где тензор aijkl определен в задаче 40.

67.Тензор aijk задан равенствами:

a111

= 2,

a121

= 4,

a131

= 6,

a112

= 4,

a122

= 6,

a132

= 2,

a113 = 6,

a123 = 8, a133 = 4, a211 = 6,

a221 = 2,

a231 = 8,

a212 = 2,

a222

= 6,

a232 = 4,

a213 = 4,

a223 = 6,

a233 = 2,

a311

= 4,

a321

= 6,

a331

= 2,

a312

= 6,

a322

= 2,

a323

= 4,

a313 = 2,

a323 = 4,

 

a333 = 62.

 

 

 

 

 

Найти компоненты тензоров: a[ijk],

 

a(ijk).

 

 

 

 

 

 

68. Доказать, что a[i1,...,ik] = δi1 ,...,ik aj1 ,...,jk , b[i ,...,i

] = δj1 ,...,jk bj

,...,j

,

 

 

j1 ,...,jk

 

 

 

 

 

1

k

i1 ,...,ik 1

 

k

где тензор δj1 ,...,jk определен в задаче 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

i1,...,ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69. Метрический тензор gij

и тензор aij

заданы матрицами:

 

 

 

3

5

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

,

 

9

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.j

ik

 

ij

 

 

 

 

 

 

i

 

ik

aij , a

.i

 

ajk, a

.

 

 

Найти матрицы тензоров: a.j

= g

 

 

= g

 

 

 

 

70.Верно ли утверждение: если матрица тензора aij симметрична, то симметричны и матрицы тензоров:aij ?

44

 

Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

71. Дан тензор:

 

 

 

 

T111 = sinx1 + cosx2, T121 = x1, T211 = (x1)2, T221 = x1x2,

T112 = sinx1

− cosx2

, T122 = x2, T212 = (x2)2, T222 =

x1

 

.

x2

1) Симметрировать его по нижним индексам. 2) Альтернировать его по тем же индексам.

72. Дан четырехвалентный тензор

T1111 = 1, T1112 = x1, T1121 = x2, T1122 = x1 + x2,

T1211 = x1 − x2, T1212 = 2, T1222 = 1, T2ijk = 0,

и симмметричный дважды ковариантный тензор

a11 = 0, a12 = a21 = x1x2, a22 = 1.

Опустить средний индекс у тензора Tqijk, умножив его слева(справа) на тензор apj . Зависит ли результат от порядка сомножителей?

73. Дан трехвалентный тензор:

T111 = 0, T121 = x1x2, T211 = x1 + x2, T221 = 1,

T112 = 1, T122 = x1 − x2, T212 = x1 + x2, T222 = 0,

и симметричный дважды контравариантный тензор

a11 = x1, a12 = a21 = x1 + x2, a22 = x2.

Поднять первый нижний индекс у тензора Tijk , умножив его слева(справа) на тензор aiq. Зависит ли результат от порядка сомножителей?

74.Показать, что если трехвалентный ковариантный тензор удовлетворяет условиям:

Tijk = Tjik, Tijkuiuj uk = 0

при любом выборе контравариантного вектора ul, то компоненты этого тензора удовлетворяют условию:

Tijk = Tjki = Tkij .

. Задачи к главе 1

45

75. Доказать, что если тензор Tijkl удовлетворяет соотношению

 

Tijkluivj ukvl = 0

 

при любом выборе векторов ui и vi, то

 

Tijkl = Tkjil = Tilkj = Tklij

 

при дополнительных условиях

 

Tijkl + Tjikl = 0, Tijkl + Tijlk = 0, Tijkl + Tjkil + Tkijl = 0,

тензор равен нулю. 76. Доказать, что:

1

a[α[βbγ]δ] = 4 (aαβ bγδ aαγ bβδ aδβ bγα + aδγ bβα)

77.Доказать, что если aij uiuj есть инвариант преобразования xi= λiixi, при котором ui = λiiui а aij – симметричный объект относитель-

но этого же преобразования, то aij есть тензор, т.е.

aij= λiiλjj

aij , λiiλjj

 

= δij

78.Доказать, что если aij = aji - невырожденный дважды ковариантный тензор (|aij | 6= 0), то объект, определяемый системой уравнений

aij aik = δjk

есть симметричный дважды контравариантный тензор.

79.Если aij - компоненты тензора, а a и b инварианты и baij + caij = 0 то либо b = −c и aij симметричный тензор, либо b = c а aij кососимметричный тензор. Доказать это.

80.Доказать, что ранг тензора aij = aibj равен 1, а ранг тензора aibj + aj bi равен 2.

(Рангом двухвалентного тензора называют ранг определителя, составленного из компонент этого тензора.)

81.Доказать, что если тензор Tijk симметричен относительлно ин-

дексов i, j, то

1

T(ijk) = 3 (Tijk + Tjki + Tkij )

82.Доказать, что если тензор Tijk кососимметричен относительно индексов i, j, то

1

T[ijk] = 3 (Tijk + Tjki + Tkij )

83.Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам и кососимметричен по второму и третьему, то он равен нулю.

84.Пусть тензор Thijk обладает свойствами:

Thijk + Thikj = 0, Thijk + Thjki + Thkij = 0

1)Если Thijk − Thjki = 0, то тензор Thijk = 0.

2)Если Thijk + Thjki = 0, то тензор Thijk = 0.

85.Доказать, что если aij - симметрический, а bij - кососимметрический, то aij bij = 0.

86.Разложить тензор aij , матрица которого

 

 

2

3

2

 

 

4

−4

0

(aij ) =

 

5

7

−2

 

на симметричный и кососимметричный тензоры. Найти:

aij cij , bij cij , cij δij , cij xi (xi = (2, 3, −4)), cij xixj , bij δij , blj xi, bij xixj .

47

Глава II

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

§1 Криволинейные координаты

2.1.1. Определение Пусть En- n-мерное евклидово пространство. Областью (открытым множеством) в евклидовом пространстве называется такое множество его точек, что вместе с каждой своей точкой x = (x1, ..., xn) оно содержит и любую точку y = (y1, .., yn), для которой

|yi − xi| < δ(i = 1, ..., n),

где δ – некоторое положительное число (выбор которого зависит от точки x)

2.1.2. Криволинейные координаты.

Пусть в En зафиксирована некоторая декартова прямоугольная система координат (x1, x2, ..., xn), а (e1, e2, ..., en) – ортонормированный базис, порождающий эту координатную систему . Возьмем вспомогательное евклидово пространство En, в котором также зафиксирована некоторая декартова прямоугольная система координат (u1, u2, ..., un). Пусть G – некоторая открытая область пространства En, G En а f

– взаимнооднозначное непрерывное в обе стороны отображение области G в En; f : G → En. Образ области G мы обозначим через G, так как f взаимнооднозначно, то определено обратное отображение f−1 области G на G; f−1(G) = G.

Мы будем говорить, что в области G задана криволинейная система координат (u1, u2, ..., un), если отображение f дифференцируемо и его

48

Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

якобиан J(f) в каждой точке области G отличен от нуля. Последнее условие гарантирует нам, что обратное отображение f−1 : G → G также является дифференцируемым отображением и J(f−1) 6= 0 в каждой точке области G En. Запишем отображения f и f−1 в координатной форме:

 

 

x1

=

x1

(u1

, u2

, ..., un),

 

f :

x2

=

x2

(u1

, u2

, ..., un),

(1.1)

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

1

2

n

 

 

 

 

=

);

 

 

x

x

(u

, u

, ..., u

 

u1 = u1(x1, x2, ..., xn),

f−1 : u2 = u2(x1, x2, ..., xn), (1.2)

...

un = un(x1, x2, ..., xn);

Из (1.2) видно, что каждой точке M области G сопоставляется упорядоченный набор чисел (u1, u2, ..., un), причем разным точкам области G соответствуют разные наборы чисел (u1, u2, ..., un) и наоборот, разным наборам чисел (u1, u2, ..., un) соответствуют разные точки области G. Таким образом, зная набор чисел (u1, u2, ..., un) , мы можем найти числа (x1, x2, ..., xn), которые определяют некоторую точку M области G. Поэтому набор чисел (u1, u2, ..., un) называют криволинейными координатами точки M, M : (u1, u2, ..., un).

2.1.3. Замечание. Формулы (1.1) и (1.2) часто записывают в краткой форме: xi = xi(uk), i, k = 1, ..., n и uk = uk(xi), i, k = 1, ..., n .

Пример 1. Полярная система координат на плоскости.

В этом случае область G определим неравенствами u1 > 0, 0 < u2 < 2π, а отображение f : G → G зададим формулами

x1 = u1cosu2, f : x2 = u1sinu2.

Область G = f(G) совпадает с плоскостью E2, из которой удалена положительная полуось x1. Обратное отображение f−1 задается формулами

 

 

u1 =

(x1)2 + (x2)2

= ρ,

 

 

f−1 :

u2

= p arccos(x1/ρ),

при x2

> 0,

 

 

 

 

при x2

< 0.

 

 

 

arccos( x1/ρ) + π,

§2. Координатные линии. Локальный базис.

49

Геометрический смысл координат u1 и u2 достаточно прост: u1 – расстояние от точки до начала координат, обычно обозначаемое через ρ, а u2 – угол, образованный прямой OM с осью x, отсчитываемый от оси x против часовой стрелки от 0 до 2π и обычно обозначаемый через σ. На практике иногда удобно к области G присоединять ее границу или часть границы. В нашем случае область G обычно задают неравенствами u1 > 0, 0 ≤ u2 ≤ 2π. Тогда область G в E2 определяется неравенством (x12 + x22) > 0. Необходимо только помнить, что тогда взаимная однозначность нарушается.

Пример 2. Цилиндрическая система координат в пространстве.

В этом случае область G определяется неравенствами u1 > 0, 0 < u2 < 2π,

−∞

< u3

<

, а отображения f и f−1 задаются формулами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

= u1cosu2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f : x2

= u1sinu2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

= u3.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

=

 

1 2

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ) + (x ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p(arccos(x1/ρ),

 

 

 

f−1 :

u2

при x2 > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos(

 

x1/ρ) + π,

при x2 < 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u3 = x3.

Ив этом случае обычно полагают u1 = ρ, u2 = ϕ, u3 = z, M(ρ, ϕ, z).

§2 Координатные линии. Локальный базис.

2.2.1. Определение. Кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат xi, а остальные остаются постоянными будем называть координатными линиями.

Пример. Если зафиксировать в G все криволинейные координаты кроме одной, то мы получим векторную функцию одного аргумента x(ui) = x(u10, ..., ui, ..., un0 ), задающую в G i-координатную линию. В области G координатными линиями являются прямые линии uk = ck, k 6= i, ui = t, где ck - некоторые постоянные, t – параметр. При отображении f : G → G они переходят в кривые линии γi, уравнения которых записываются так:

xr = xr(c1, ..., ci−1, t, ..., cn), r = 1, ..., n, i = 1, ..., n.

50 Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Эти линии называются координатными линиями области G в криволинейных координатах (u1, ..., un).

Рассмотрим, например, координатную линию x1. Это значит, что x2, ..., xn закреплены на постоянных значениях, так что радиус -вектор x остается функцией одного лишь x1; мы получаем кривую, отнесенную к параметру x1.

2.2.2. Замечание. Через каждую точку M(u1, ..., un) проходит n координатных линий γi(t), i = 1, ..., n.

Рис.1. Координатные линии и координатные поверхности.

2.2.3. Определение. Обозначим через ∂i(M) вектор, касательный к γi(t) в точке M. Введение криволинейной системы координат в области G индуцирует в каждой точке M базис

{∂1(M), ∂2(M), ..., ∂n(M)}, который называется локальным базисом в точке M. Касательные векторы ∂k = (∂kxi)ei координатных линий образуют вместе с точкой натуральный репер {x, ∂k}.

2.2.4. Замечание. Говорить о существовании локального базиса мы можем исходя из следующих соображений. Координаты вектора ∂i(M) относительно основного фиксированного базиса {e1, e2, ..., en} выражаются по формулам:

i(M) = ∂xk ek ∂ui

где производные ∂x∂uki , i, k = 1, ..., n вычисляются в точке f−1(M). Так

как якобиан J(f) отображения f равен определителю | ∂x∂uki |, i, k = 1, ..., n, и отличен от нуля, то система векторов (∂1, ∂2, ..., ∂n) образует базис.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]