RGTA

2)каждое ограниченное подмножество многообразия M имеет компактное замыкание;

3)каждая фундаментальная последовательность (последовательность Коши) сходится.

§7 Пространство путей гладкого многообразия

Пусть M – гладкое многообразие, p и q – две (не обязательно различные) точки в M. Кусочно-гладким путем из p в q будем называть

такое отображение ω : [0, 1] → M, что

1)существует разбиение 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 отрезка [0, 1], для которого каждое отображение w|[ti−1 ,ti] гладкое класса C∞,

2)ω(0) = p, ω(1) = q.

Множество всех кусочно-гладких путей из p в q будем обозначать через Ωp,q или Ω.

Определение 3.7.1. Касательным пространством к Ω в

точке ω Ω называется векторное пространство, состоящее из кусочно-гладких векторных полей W вдоль пути ω, для которых W (0) = 0 и W (1) = 0. Будем обозначать это пространство через TωΩ, а его элементы называть касательными векторами.

Определение 3.7.2. Вариацией пути ω Ω называется отображение α : (−ε, ε) → Ω, определенная при некотором ε > 0 и такая, что

1)α(0) = ω;

2)существует разбиение 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 отрезка [0, 1], для которого отображение

α: (−ε, ε) × [0, 1] → M,

определяемое формулой α(u, t) = α(u)(t), на каждой полосе (−ε, ε) × [ti−1, ti], i = 1, ..k, принадлежит классу C∞;

3) α(u, 0) = p, α(u, 1) = q при всех u (−ε, ε).

Под вариацией в дальнейшем будем понимать либо α, либо α. В общем случае, вместо интервала (−ε, ε) можно рассматривать окрестность 0 Rn, а α ( или α ) при этом называют n-параметрической вариацией w.

Теперь α можно рассматривать как "гладкий путь"в Ω. Его "вектором скорости"α TwΩ по определению является векторное поле W

Доказательство теорем 3.7.1-3.7.2 может быть найдено, например, в [6].

§8 Поля Якоби

Пусть M – риманово многообразие, γ – геодезическая на M.

Определение 3.8.1. Векторное поле J вдоль геодезической γ называется полем Якоби, если оно удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению Якоби

D2J

dt2 + R(V, J)V = 0,

где V = dγdt .

Ясно, что поле Якоби J полностью определяется начальными усло-

виями J(0), DJdt (0).

Упражнение. Найти все поля Якоби плоского риманова многообразия.

Пусть p = γ(a) и q = γ(b) – две точки геодезической γ и a 6= b.

Определение 3.8.2. Точки p и q называются сопряженными

вдоль геодезической γ, если существует нетривиальное поле Якоби, которое обращается в нуль в этих точках. При этом размерность пространства всех таких полей называется кратностью сопряженных точек.

Упражнение. Доказать, что на цилиндре нет сопряженных точек. Пусть теперь γ – геодезическая из Ωp,q, α(u1, u2, t) – двупараметри-

ческая вариация, W 1, W2 Tγ Ω. Определим гессиан E (W 1, W2) =

Теорема 3.8.1. Векторное поле W Tγ Ω принадлежит нулевому пространству гессиана тогда и только тогда, когда оно является полем Якоби.

Следствие 3.8.1. Степень вырождения гессиана ν (т.е. размерность его нулевого пространства) совпадает с кратностью сопряженных точек p и q.

Упражнение. Доказать, что 0 ≤ ν < n.

§9 Симметрические пространства

Определение 3.9.1. Связное риманово многообразие M называется римановым симметрическим пространством, если для любой точки p из M существует изометрия Ip : M → M, такая,

что:

(1.a) Ip(p) = p,

(1.b) Ip(γ(t)) = γ(−t), где γ – некоторая геодезическая и γ(0) = p.

Иными словами, изометрия Ip оставляет точку p M на месте и переворачивает проходящие через p геодезические.

Симметрическое пространство можно определить еще и так:

Определение 3.9.2. Связное риманово многообразие M называется симметрическим пространством, если для любой точки p из M существует изометрия Ip : M → M, такая, что:

(2.a) Ip2 = Id (т.е. Ip – инволютивная изометрия),

(2.b) p – изолированная неподвижная точка Ip, (т.е. существует окрестность точки p, такая что для любой точки x 6= p из данной окрестности выполняется неравенство: Ip(x) 6= x).

Теорема 3.9.1. Определения 3.9.1 и 3.9.2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть имеет место определение 3.9.1, покажем истинность определения 3.9.2.

Свойство (2.a) очевидно следует из (1.b).

Докажем (2.b). Пусть p не является изолированной неподвижной точкой Ip, тогда в любой окрестности точки p существует точка x, такая что Ip(x) = x. Поскольку M – риманово многообразие, то существует такая окрестность Up точки p, что любые две точки x и y из этой окрестности могут быть соединены единственной геодезической γ длины не превосходящей некоторого числа ε > 0 и эта геодезическая кратчайшая (см. [6]).

Рассмотрим Up и x Up со свойством Ip(x) = x. Соединим p и x кратчайшей γ. Тогда Ip(x) = x и Ip(p) = p. Пусть Ip(γ) = γ0. Так как

Ip – изометрия, то γ0 – кратчайшая, соединяющая p и x. Из единственности такой кратчайшей следует, что γ = γ0, т.е. Ip не переворачивает геодезическую γ. Но это противоречит свойству (1.b) и, следовательно, доказывает первую часть теоремы.

Пусть теперь имеет место определение 3.9.2, покажем истинность определения 3.9.1.

Свойство (1.a) очевидно следует из (2.b).

Докажем (1.b). Рассмотрим геодезическую γ, проходящую через точку p. Так как Ip – изометрия, то Ip(γ) = γ0 – геодезическая.

Рассмотрим дифференциал dIp : TpM → TpM. Тогда (dIp)2 = Id, поскольку (Ip)2 = Id. В силу того, что (dIp)2 – линейное тождественное отображение, собственные значения дифференциала dIp равны 1 и −1, и значит TpM = V1 V−1.

Пусть V+1 не пусто, т.е. существует вектор X TpM такой, что dIp(X) = X. Построим в направлении X геодезическую γ. Рассмотрим Ip : M → M. Так как dIp(X) = X, то Ip(γ) = γ, но это противоречит (2.b). Отсюда следует, что V+1 пусто и TpM = V−1, т.е.

V−1 = {Y TpM : I (Y ) = −Y }.

Итак, Ip(γ(t)) = γ(−t), где γ(t) – геодезическая в направлении Y, проходящая через точку p.

Лемма 3.9.1. Пусть γ(t) – геодезическая некоторого симметрического пространства M и γ(0) = p, γ(c) = q. Тогда Iq ◦ Ip(γ(t)) = γ(t+ 2 ·c) (в предположении, что γ(t) и γ(t+ 2 ·c) определены). Кроме того, Iq ◦ Ip сохраняет параллельные векторные поля вдоль γ.

Доказательство. Рассмотрим геодезическую γ′(t) = γ(t + c). Заме-

тим, что γ′(0) = γ(c) = q. Тогда Iq ◦ Ip(γ(t)) = Iq(γ(−t)) = Iq(γ′(−t − c)) = γ′(t + c) = γ(t + 2c).

Необходимо доказать, что d(Iq ◦ Ip)V (t) = V (t + 2c). Действительно, если векторное поле V параллельно вдоль γ, то

dIp(V ) параллельно (т.к. Ip – изометрия), dIp(V (0)) = −V (0) и dIp(V (t)) =

−V (−t). Откуда d(Iq ◦ Ip)V (t) = dIq ◦ dIp(V (t)) = dIq (−V (−t)) =

V (t + 2c).

Следствие 3.9.1. Изометрия Ip единственна.

Доказательство. Предположим, что есть две симметрии. Но тогда их образы обязаны совпадать, ибо каждая точка соединена с p единственной геодезической.

Теорема 3.9.2. Любое риманово симметрическое пространство M геодезически полно.

106 Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

Доказательство. Согласно лемме 3.9.1 каждый отрезок геодезической может быть продолжен неограничено.

Пусть G – группа, действующая на M(т.е., если f : M → M, то G = {f}). Говорят, что это действие транзитивно, если для любых

точек p, q M найдется такое f G, что f(p) = q.

Определение 3.9.3. Многообразие M называется однородным пространством, если группа его изометрий действует на нем транзитивно.

Следствие 3.9.2. Риманово симметрическое пространство M однородно.

Доказательство. Из теоремы 3.9.2 следует, что многообразие M полно. Кроме того, для любых точек y, z M симметрия относительно середины любого геодезического отрезка, соединяющего y и z, переставляет точки y и z. Таким образом, группа изометрий действует транзитивно.

Следствие 3.9.3. Симметрическое пространство M является полным в смысле римановой метрики, т.е. любая фундаментальная последовательность Коши сходится в M.

Доказательство. вытекает теоремы 3.9.2 и теоремы Хопфа-Ринова.

Лемма 3.9.2. Пусть M – симметрическое пространство, γ(t)

– геодезическая, причем γ(0) = p, а γ(c) = q. Пусть так же U, V , W и X – параллельные векторные поля вдоль γ. Тогда hR(U, V )W, Xi есть величина постоянная вдоль γ.

Доказательство. Достаточно проверить, что

hR(Uq, Vq)Wq, Xqi = hR(Up, Vp)Wp, Xpi .

Рассмотрим изометрию T = Iγ(c/2) ◦ Ip = Iq′ ◦ Ip. Заметим, что она обладает свойством

T (p) = Iq′ ◦ Ip(γ(0)) = Iq′ (γ(0)) = (γ(c)) = q.

Тогда согласно лемме 3.9.1 имеем: dT (Up) = Uq, dT (Vp) = Vq ,dT (Wp) = Wq, dT (Xp) = Xq. Поэтому

hR(Uq, Vq)Wq , Xqi = hR(dT (Up), dT (Vp))dT (Wp), dT (Xp)i .

В виду того, что T – изометрия, отсюда получаем

hR (Uq, Vq) Wq, Xqi = hR(Up, Vp)Wp, Xpi .

Следствие 3.9.4. В условиях леммы 3.9.2 векторное поле R(U, V )W параллельно вдоль геодезической γ.

Доказательство. Рассмотрим некоторый ортобазис. С помощью параллельного переноса вдоль γ(t) получим ортонормированный базис векторных полей {P1, P2, · · · , Pn}. Тогда для векторного поля R(U, V )W имеет место разложение R(U, V )W = λiPi, где λi, вообще говоря, есть

функции, зависящие от t. Домножим скалярно на Pk. В результате

получим hR(U, V )W, Pki = λiPi, Pk = λk.

Отсюда, в виду леммы 3.9.2, заключаем λk = Const. Так как P1, P2, · · · , Pn

– параллельные векторные поля, то

dtD R(U, V )W = dtD λiPi = λi dtD Pi = 0,

где dtD означает ковариантное дифференцирование.

§11 Поля Якоби на симметрических пространствах

Пусть M – симметрическое пространство, γ(t) – геодезическая в M. Фиксируем точку p γ, тогда V = dγdt – поле скоростей.

Рассмотрим оператор KVp : TpM → TpM, определяемый равенством

Упражнение. Проверить, что оператор KVp самосопряжен. Поскольку оператор KVp самосопряжен, то в TpM существует ор-

тонормированный базис {Ui} такой, что

KV (Ui) = λiUi.

Фиксируем его и рассмотрим поле Якоби W . Тогда

ским в точке x M, если индуцированное отображение касательных пространств f : TxM → Tf(x)N не является взаимно однозначным.

Будем пользоваться следующей теоремой, которую примем без доказательства.

Теорема 3.12.1. (Сард) Если M1, M2 – дифференцируемые многообразия одинаковой размерности со счетным базисом и f : M1 → M2 принадлежит классу C1, то образ множества критических точек имеет в M2 меру нуль.

Предположим теперь, что M полно. Рассмотрим экспоненциальное отображение exp : TpM → M и фиксируем вектор v TpM. Тогда определено отображение exp : Tv(TpM) → Texp(v)M, и справедлива

Теорема 3.12.2. Точка p является критической точкой экспоненциального отображения тогда и только тогда, когда точка p сопряжена точке exp v вдоль геодезической γv = exp tv.

Следствие 3.12.1. Пусть p M. Тогда для почти всех q M точка p не является сопряженной с q ни вдоль какой геодезической.

§13 Теорема Майерса

Индекс λ гессиана E Tγ Ω × Tγ Ω → R определяется как максимальная размерность подпространств Tγ Ω, на которых форма E отрицательно определена.

Теорема 3.13.1. (Морс) Индекс λ гессиана равен числу точек геодезической γ(t), где t (0, 1), таких, что γ(t) сопряжена с γ(0) вдоль γ, если считать каждую сопряженную точку столько раз, какова ее кратность.

Теорема 3.13.2. (Майерс) Пусть для любой точки p M и любого единичного вектора U TpM кривизна Риччи K(r) удовлетворяет условию

n − 1 Kr(U) ≥ r2 ,

где r – положительная постоянная. Тогда каждая геодезическая γ(t) многообразия M, выходящая из точки p (т.е., γ(0) = p) длины больше πr содержит сопряженные точки (относительно p) и потому не является минимальной.

Пример. Если M – сфера радиуса r, то кривизна по любому двумерному направлению равна 1/r2. Поэтому Kr(U) имеет постоянное значение (n−1)/r2. Теорема Майерса утверждает, что каждая геодезическая линия длины больше πr имеет сопряженные точки; константа πr – наилучшая возможная.

Следствие 3.13.1. Если M полно и Kr(U) ≥ (n − 1)/r2 > 0 для всех единичных векторов U, то M компактно и диаметр M не превосходит πr.