RGTA

Далее, координаты косого произведения

(ξ η)ij = 2ξ[iηj] = (ξiηj − ξj ηi)

образуют матрицу

Поэтому по базису ei ej (i < j) форма ξ η раскладывается так:

ξη = 3e1 e2 − 2e1 e3 + 3e2 e3.

1.5.3.Задача: Доказать, что симметрическое тензорное произведение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно:

s s s

t1 (t2 + t3) = t1 t2 + t1 t3,

s s s

(λt1) t2 = t1 λt2 = λ(t1 t2).

1. 5.4. Свойства внешнего произведения.

Внешнее произведение есть косой тензор, поскольку в правой части произведение A B проальтернировано.Из свойств альтернации следуют свойства внешнего произведения:

Для A T0k, B T0l верно:

а) (αA B) = A (αB) = α(A B) α R

б) (A + B) C = A C + B C

c)A B = (−1)klA B.

д) (A B)C = A (B C)

32 Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

1.5.5. Задача: Докажите эти свойства.

Замечание. Если l = k нечетное и A = B , то A B = 0.

1.5.6.Задача. Найти размерность пространства k.

1.5.7.Бивектор, тривектор, поливектор.

1) Пусть λi1иλi2 - два вектора пространства X. Возьмем их произведение.Получим дважды контравариантный тензор Aij = λi1λi2 и проальтернируем его:

A[ij] = 12 (Aij − Aji) = 12 (λi1λj2 − λj1λi2)

Полученный тензор называется простым бивектором. В случае трехмерного евклидова пространства мы получаем:

A[11] = A[22] = A[33] = 0, 2A[12] = −2A[21] = λ11λ22 − λ21λ12, 2A[31] = −2A[13] = λ31λ12 − λ11λ32, 2A[23] = −2A[32] = λ21λ32 − λ31λ12

то есть из девяти компонент тензора A[ij] только три компоненты A[12], A[31] и A[23] независимы, а остальные или равны нулю, или выражаются через A[12], A[31], A[23]. Вспомним формулу для векторного произведения векторов λ1 и λ2 в ортонормированном базисе:

Таким образом, мы видим, что векторное произведение векторов λ1 и λ2 и есть бивектор, о чем говорит и размерность [λ1 × λ2] .

2) Пусть теперь вектор λ1 : (λi1), λ2 : (λj1) и λ3 : (λk1 ) суть векторы трехмерного евклидова пространства. Возьмем тензор Aijk = λi1λj2λk3 и проальтернируем его. Получим

A[123] = A[321] = A[231] = −A[213] = −A[321] = −A[132],

а остальные компоненты равны нулю. Таким образом, у тензора A[ijk] есть только одна независимая компонента a[123], а остальные - либо выражаются через A[123], либо равны нулю. Полученный тензор называется тривектором. Вспомнив формулу для смешанного произведения трех векторов в ортонормированном базисе, будем иметь

торы m-мерного евклидова пространства. Проальтернируем тензор

Другими словами, мы перемножаем в заданном порядке тензоры λi11 , λi22 ... λimm , образованные координатами наших векторов, и результат альтернируем по всем индексам i1, i2, ..., im.

Нужно помнить при этом, что нижние индексы здесь не тензорные, а номера заданных векторов. Альтернация, разумеется, к ним относиться не может.

Пример(Вычисление одночленных форм).

Разложим векторы x1, ..., xk по базису e1, ..., en:

x1 = x11e1 + ... + xn1 en

............

............

xk = x1ke1 + ... + xnk en

Базисные k-тензора e1, ..., en, как и раньше, возьмем так, что ei(x) равна i−й координате аргумента x.

Пусть i1 < i2 < ... < ik, тогда

минор V i1 ,...,ik определен столбцами, номера которых суть i1, ..., ik.

Замечание. Если пространство евклидово и e1, ..., en - ортонормированный базис, то число V i1 ,...,ik есть k-мерный ориентированный объем k-мерного параллелепипеда, который построен на проекциях векторов x1, ..., xk на k-мерную координатную плоскость базисных векторов ei1 , ..., eik .

Задачи к главе 1

1.Доказать, что все многочлены степени ≤ n от одного неизвестного с коэффициентами из поля K образуют векторное пространство над K, если за операции взять сложение многочленов и умножение многочленов на число. Найти базис и размерность этого пространства.

2.Найти координаты многочлена f(x) = a0 + a1x + ... + anxn в базисе 1, x, ..., xn.

3.Найти координаты многочлена f(x) = a0 + a1x + ... + anxn в базисе 1, x − α, (x − α)2, ..., (x − α)n.

4.Доказать, что множество M(n; K) всех квадратных матриц порядка n с элементами из поля K есть векторное пространство над этим полем, если за операции взять сложение двух матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.

5.Доказать, что множество L всех действительных непрерывных на τ1 ≤ τ ≤ τ2 функций с линейными операциями

x + y = {x(τ) + y(τ)}, αx = {αx(α)}

есть линейное векторное пространство. (Элементы x, y L будем считать равными в том и только том случае, когда x(τ) ≡ y(τ), т.е. когда x(τ) и y(τ) совпадают в любой точке τ сегмента τ1 ≤ τ ≤ τ2.)

6.Пусть L - множество всех упоряджоченных наборов действительных чисел по n(n > 1) чисел в каждом. Определим сумму двух элементов из L следующим образом:

x + y = {x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn.}

Умножение x на α пусть дается правилом:

αx = {αx1, x2, ..., xn}.

Является ли L линейным пространством?

14.Доказать, что любому элементу a A сопоставляется ковектор

ξa (FK (A)) таким образом: ξa(f) = f(a). Если множество A конечно, то такие ковекторы образуют базис (FK (A)) .

15.Определим для любого векора v V функцию fv : V → R равенством fv(ξ) = ξ(v). Доказать что а) fv - ковектор, т.е.f (V ) ;

б) соответствие v → fv - инъективно;

Таким образом существует вложение V → (V ) . Доказать, что если V конечномерно, то это вложение есть изоморфизм.

16.Доказать, что если ξ1, . . . , ξp - набор линейно независимых ковекторов, то kerξ1 ∩ kerξ2∩, . . . , ∩kerξp- (n − p)-мерное подпространство в V n.

17.Пусть ковекторы ξ1, . . . , ξp задают подпространство W n−p V n (см. задачу 10). Найти базис W n−p, если

а)ξ1 = (−1, 0, 2, 1), ξ2 = (0, 1, 3, 2); б)ξ1 = (2, −1, 1, −1, 1); в)ξ1 = (2, 1, 3), ξ2 = (0, −1, 1).

18.Доказать, что если ξ1, . . . , ξp и η1, . . . , ηp - две системы линейно независимых ковекторов, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда.

kerξ1 ∩ . . . ∩ kerξp = kerη1 ∩ . . . ∩ kerηl

19.Пусть f : V → W - линейный оператор. Доказать, что dimImf = dimY mf ;

20.Пусть f : V → W - линейный оператор. Доказать, что dimkerf − dimkerf = dimV − dimW.

21.В некотором базисе e1, e2, ..., en заданы полилинейные функции:

a.f(x, y) = ξ1η3;

Xn

b.f(x, y) = ξiηi.

1

указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе e1, e2, ..., en .

22.Тензор θ тип (2,0) имеет в базисе e1, ..., en компоненты θkl = δkli0 j0

(i0, j0 - фиксированные числа, 0 ≤ i0 ≤ n, 0 ≤ j0 ≤ n). Символ δkli0 j0 определен в задаче 8. Найти компоненты тензора θ в базисе e′1, ..., e′n, e′i = Cikek.

23.Зная компоненты тензоров в системе координат xy, найти их компоненты в системе x′y′(x = x1, y = y1, x′ = x′1, y′ = y′1):

24.Доказать, что ранг двухвалентного тензора инвариантен относительно преобразования координат.

25.Какому условию должен удовлетворять тензор aij , для того чтобы он имел вид aij = aibj .

26.Пусть xi′ = ai′ (xi) - преобразование координат. Функция J называется относительным инвариантом веса K, если

Пусть aij , aij , aji – двухвалентные тензоры. Доказать, что |aij | есть относительный инвариант веса 2, |aij | – относительный инвариант веса 2, |aji | – абсолютный инвариант(вес равен нулю).

27.Тензор aij является произведением двух векторов(т.е. aij = ±λiλj ) тогда и только тогда, когда его компоненты удовлетворяют соотношениям: aij akl = aikajl.

28.Написать законы преобразования тензоров первого, второго, третьего порядков, беря для каждого порядка все различные типы.

29.Найти какой-нибудь базис линейного пространства тензоров второй валентности.

30.Написать матрицу перехода от ортонормированного базиса

{e1, e2, e3} пространства L3 к другому ортонормированному базису {e1′ , e2′ , e3′ } если:

1.e1′ = e2, e2′ = e1, e3′ = e3, 2.e1′ = e3, e2′ = e1, e3′ = e3.

31.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

а. поменять местами два вектора первого базиса?

б. поменять местами два вектора второго базиса?

в. записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

32.Написать закон преобразования компонент тензора пятой валентности при замене базиса.

33.Из координат векторов u = {ui} и v = {vi} образованы числа tij = ui + vj . Являются ли они координатами тензора?

34.Показать, что сложение тензоров разной валентности не является тензорной операцией.

35.Найти разложение тензора t(u, v) = Rαu · v, где Rα оператор поворота евклидовой плоскости на угол α, по базису {ei ej}, где:

а)e1, e2 - орторепер;

б)|e1| = 1, |e2| = 2, e1be2 = π2 ; в)|e1| = 1, |e2| = 1, e1be2 = π6 .

36.Найти разложение тензора смешанного произведения ǫ(u, v, w) = = (u, v, w) по базису {ei ej ek}, если объем параллелепипеда, построенного на правой тройке векторов e1, e2, e3 равен а)1; б)3.

37.Верно ли, что:

а) ξ η = η ξ, ξ, η V ; б) v w = w v, w, v V ;

в) ξ (η ϕ) = (ξ η) ϕ, ξ, η, ϕ V ; г) v (w u) = (v w) u, u, v, w V ; д) (ξ + η) ϕ = ξ ϕ + η ϕ, ξ, η, ϕ V ; е) ξ (η + ϕ) = ξ η + ξ ϕ, ξ, η, ϕ V ;

ж) (v + w) u = v u + w u, u, v, w V ; з) v (w + u) = (v w) + v u, u, v, w V ;

и) ξ η(u, v) = u v(ξ, η) = u η(ξ, v), u, v V, ξ, η, V ; к) ξ u = u ξ, ξ V , u V ?

38.Доказать, что если ξ η = η ξ, ξ, η V , то ξ = λη.

39.Доказать, что ненулевой тензор aij является тензорным произведением ковекторов aij = ξiηj тогда и только тогда, когда aij akm − aimakj = 0, т.е. rank kaij k = 1.

40.Тензор aijkl задан равенствами:

a1111 = 1, a1121 = 2, a1112 = 3, a1122 = 4,

a2111 = −4, a2121 = 3, a2112 = −2, a2122 = −1, a1211 = −4, a1221 = −3, a1212 = −2, a1222 = −1, a2211 = 5, a2221 = 6, a2212 = 7, a2222 = 8.

Найти тензоры: а). aijil , б).aijkj , в).aijki, г).aijjl , д).aijij ,

41. Упростить выражения:

(aij gjk + δij agik)gks;

δji δlj gklaij ;

aij gjkgklgls.

42.Найти сумму тензоров:

1)a11 = x2 + y2, a12 = x, a21 = y, a22 = x2 − y2; b11 = xy, b12 = x, b21 = x, b22 = x2 − y2.

2)a11 = x, a21 = 0, a12 = 0, a22 = y;

b12 = xy, b21 = y, b11 = 0, b22 = 0.

3)a11 = x2, a12 = yx, a21 = xy2, a22 = y2; b11 = x2, b12 = y, b21 = x, b22 = y2.

4)a1 = 1, a2 = 2x, b1 = 2y, b2 = 1.

43.Перемножить тензоры в порядке их записи:

1)a21 = x, a12 = y, a22 = xy, a11 = xy ;

a1 = 1, a2 = x2 + y2.

2) b11 = x2, b21 = y, b12 = x, b22 = y2;

b21 = x, b22 = y, b12 = x − y, b11 = y − x.

3)c21 = x, c12 = y, c11 = 0, c22 = 0; c1 = 1, c2 = xy.

4)d21 = x3, d12 = y3, d11 = x2, d22 = y2, d2 = x, d1 = y.