RGTA

многообразие многообразия M. Причем codimM = 1, т.е. Mn

Mn+1.

f

ковариантные производные.

f

Пусть так же D и D

f

1.1. Пусть m

M , u, v

T

m

M; U

m

= u, V

m

= v.

Определение e

ментальная

форма.

e

Замечание 1.1. Определение корректно, а II симметрична и

билинейна.

Замечание 1.2.

D

V )1 нормальная составляю-

щая.

II(u, v) = ( eU

m

Замечание 1.3. Для каждой точки m M существует

gradf

субмер-

4.

Упражнения

113

лы

Теорема 3.1 (Gauss). Для x, y, u, v TmM имеют место форму-

Ke

( )

R(x, y, u, v) = R(x, y, u, v) + l(x, y)l(y, v) − l(x, v)l(y, u)

(x, y) = K(x, y) + K(x, y).

{

i}i f 1

Замечание 3.1.

Если M =e(Rn+1, can), то K(x, y) =

K

(x, y).

Замечание 3.2.

λ

=1,...,n главные кривизны, т.е. собствен-

ные значения II или S(u), {λi− } главные радиусы кривизны.

Замечание 3.3. (Theorem Egregium) Пусть Mi

1

Rn+1, (i =

1,

2

=

: M1 → M2 изометрия. Тогда Km(u, v)

2), и φ

e

r

1

Значит, u T Srn и Duν = dν(u) = ur

,

S =

1 Id. Следовательно, ki =

1 , k−1

= ri = r, K =

1

. Далее, из

2

r

i

r

леммы 1.1 вытекает D

X

Y = D

Y

D

Y +

X, Y

i

ν.

eX

+ l(X, Y )ν = eX

r h

лей в (T

M)

, p

U

m

, S

(u) = (D

u

ν

)T ; l

(u, v) =

S

(u), v

i

. Тогда

f

p

i

e

i

i

h i

x, y, u, v TmM :

e

k

Xi

R(x, y, u, v) = R(x, y, u, v) + (li(x, u)li(y, v) − li(x, v)li(y, u)).

=1

Доказать.

Определение 4.1. M M вполне геодезическое, если любая

f

геодезическая

M есть

геодезическая M.

f

114

Глава IV. ПРИЛОЖЕНИЯ

Задача. Доказать, что M вполне геодезическое в M тогда и только

тогда, когда l(u, v) = 0.

f

σ

Задача. Пусть (M

n

, g) полное риманово

многообразие, K (M) >

что

−

e

u, ν) = Dl(y, x, u)

Dl(x, y, u).

R(x, y, f

Пусть

f

: U

R2

→

R3

вложение,

(x1, x2)

ли-

∂

∂f

нейные коэффициенты,

M

=

f(U).

=

df(ei)

=

;

∂xi

∂xi

∂

∂

1/D

∂f

E

∂f

∂f

N

∂f

gij

= g(

∂xi

,

∂xj

) =

∂xi

∂xi

, N =

∂x1

∂x2

; ν =

||N||

.

||

∂f

∂f

||

2

∂

∂

− D

∂

E

∂x

∂2f

∂2f

∂f ∂f

1/2

∂xi

− D

1

∂x2

= [det(gij )]

. lij

= l(

∂xi , ∂xj )

lij

=

ν, D

∂

∂xj

=

E

−2

Таким

ν, ∂xi∂xj

=

det( ∂xi∂xj , ∂x1 , ∂x2 )[detgkl]−

образом,

e

Kσ = K = l11l22 − l12.

Пример

2

[Геликоид]. f

: R2 → R3,

f(s, t)

=

(tcoss, tsins, bs).

K =

2−b

2

2

, λ1

=

b

, λ2 =

2−b

2

2 2

(b +t )

b +t

b +t

Пример

[Гиперболоид].

f(s, t)

=

(acoss, bsins, 0)

+

x2

y2

z2

1

x2

y2

z2 −2

t( asins, bcoss, c) (

+

− c2

= 1) K =

−a2+b2 +c2 a4

+ 4

+

4

−

a2

b2

b3

c

Пример [Поверхность вращения]. f

: I × R

→ R

, f(s, θ) =

(c1(s)cosθ, c1(s)sinθ, c2(s))

Если c

= (c1, c2) параметризация длиной

дуги, то g = ds

2

2

2

, K = −

c1′′

+ c1(s)dθ

.

c1

Пример

[Тор].

=

(a + bcoss)cosθ, (a + bcoss)sinθ, bsins

,

1

f(s, θ)

coss{

coss

}

λ1 = b

(меридиан); λ2 =

; K =

.

a+bcoss

b(a+bcoss)

6. Кривизна и выпуклость

115

Пример [Еще гиперболоид ].Рассмотрим поверхность x2 +y2−z2 =

√

−1, z >20.

Параметризуем: (s, θ)

→

2

).

(scosθ, ssinθ,

1 + s

2

+ z

2

K = (x + y

) > 0. Эта поверхность полная, некомпактная.

K

→

0

при

x, y, z

→

∞,

но

vol(H)

=

∞ 2π

∞ 2π

√

1/2

2

[det(gij )]

dsdθ =

s

1+2s

dsdθ = ∞.

√

0

0

1+s2

0

0

R

R

R

R

Субмерсии:

Пусть

f

:

U

R3

→

R(df

= 0), M =

f−1(0) с индуциро-

gradf

6

[

∂f

∂f

∂f

]

ванной

метрикой ν

=

=

∂x1

∂x2

∂x3

. Для

||gradf||

[(

∂f

)2 +(

∂f

)2+(

∂f

)2 ]1/2

∂x1

∂x2

∂x3

u, v

TmM

имеем:

Duν

=

1

(Dugradf) + u

1

gradf

||gradf||

||gradf||

l(u, v) =

Duν, v

=

1

Dugradf, v

=

1

. Если

{

e1, e2, e3

}

||

gradf

||

||

gradf

||

e

e

ортонормированный, то

D e

E

D e

E

1

s

∂f

u

=

uiei, v

=

viei; l(u, v) =

u(

) =

j

P∂2 f

P

||gradf|| j=1

∂x

1

1

P

uivj

l(u, v) =

Hessf(u, v).

||gradf||

ij

∂xi∂xj

||gradf||

Пример.P

Кривизна не определяет метрику, даже локально! Дей-

ствительно, рассмотрим M

1

R3 : f(s, θ)

=

(ssinθ, scosθ, Logs)

и

M2

3

3

R

: g(s, θ)

=

(ssinθ, scosθ, s). Эти метрики индуцированы

из R .

Пусть F : M1

→ M2||F (f(s, θ))

=

g(s, θ). Тогда: M1 по-

верхность вращения кривой c(s)

=

(s, Logs)

вокруг Oz. Следова-

тельно, K1

=

−12

2

. Далее, M2

геликоид, т.е. K2 =

−12

2

. Но

(1+s )

(1+s )

T F (

∂f ) =

∂g

;

∂f

= (sinθ, cosθ,

1 ),

∂g

= (sinθ, cosθ, 1) А значит, F

не

∂θ

∂θ

∂θ

s

∂θ

§6

Полные римановы многообразия . . . . . . . . . . . . .

99

§7

Пространство путей гладкого многообразия . . . . . . .

101

§8

Поля Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

§9

Симметрические пространства . . . . . . . . . . . . . .

104

§11

Поля Якоби на симметрических пространствах . . . . .

107

§12

Экспоненциальное отображение и сопряженные точки

108

§13

Теорема Майерса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

IV ПРИЛОЖЕНИЯ

111

1

Вторая фундаментальная форма . . . . . . . . . . . . .

111

3

Кривизна подмногообразий . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6

Кривизна и выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115