RGTA

58.Вычислить векторы повижного ортонормироанного репера для полярных координат в E2.

59.Вычислить векторы повижного ортонормироанного репера для полярно-сферических координат в E3.

61.Вычислить векторы повижного ортонормироанного репера для полярно-цилиндрических координат в E3.

62.Записать уравнение Пфаффа ω = xdx + ydy + zdz = 0 в E3 в полярно-сферических координатах.

63.Найти выражение для 3-формы в E3 ω = dx dy dz в полярносферических координатах.

64.Найти скалярные поля в E3, производная которых в направлении векторного поля v = (−y, x, 0) равна нулю.

65.Пусть v - векторное поле на плоскости. Выбрав полярные координаты, найдите координаты векторного поля.

66.В Ekn с метрикой gij найти производную скалярного поля в направлении его градиента.

67.В E3 в прямоугольных координатах дана 2-форма:

xdy dz + ydz dx + zdx dy ω = (x2 + y2 + z2) 32

Записать ее в полярно-сферических координатах.

68.Найти полярные координаты следующих тезоров, заданных своими прямоугольными координатами:

69. В прямоугольных координатах в евклидовом E3 в точке x =

√

(1, 1, 2) задан вектор v = (0, 1, 1 ). Найти координаты вектора

√

2

v в полярно-сферической системе координат. p

70.Записать 2-форму ω = x2 + y2dx dy в E2 в полярных координатах.

71. Векторное поле v в E3 имеет полярно-сферические координаты:

Показать, что оно потенциально и найти потенциал.

72.Найти уравнение произвольной конической поверхности с вершиной в начале координат в полярно-сферической системе.

73.Вычислить формы и компоненты связности псевдоевклидова E23 в псевдосферических координатах.

74.Найти выражения для символов Кристоффеля в En в ортогональных координатах, используя коэффициенты Ламе.

75.Доказать свойство ковариантной производной:

w(ui + vi) = wui + wvi

где w, u, v - векторные поля.

76. Доказать свойство ковариантной производной:

w1+w2 ui = w1 ui + w2 ui

где w, u, v - векторные поля.

77. Доказать свойство ковариантной производной:

ϕwui = ϕ wui

где w, u, v - векторные поля, ϕ - гладкая функция. 78. Доказать свойство ковариантной производной:

w(ϕui) = ϕ wui + w(ϕ)ui

где w, u, v - векторные поля, ϕ - гладкая функция.

79.Найти гармонические функции f : f = 0, инвариантные относительно вращений евклидова пространства E3 вокруг начала координат.

80.Пусть v - векторное поле в E2. Найти координаты тензоров

j vj , (j vi), [j vi]

в полярных координатах.

81.Показать, что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:

v(t1 + t2) = vt1 + vt2

для любого гладкого векторного поля v, тензорных полей t1, t2.

82.Показать что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:

v1 +v2 t = v1 t + v2 t

для любых гладких векторных полей v1, v2, тензорного поля t

83.Показать что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:

v(ϕt) = ϕ vt + v(φ)t

для любого гладкого векторного поля v, тензорного поля t и функции ϕ

84.Показать что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:

ϕvt = ϕ vt

для любого гладкого векторного поля v1, v2, тензорного поля t

ифункции ϕ

85.На плоскости E2 заданы полярные координаты (r, ϕ). Перенести

параллельно вектор v0 = (v01, v02) вдоль кривой r = 2 из точки ϕ = 0 в точку ϕ = π2 .

86.Показать, что бесконечно малом параллельном перенесении вектора v его компоненты изменятся следующим образом:

vi = vi − ijkvj dxk + O(|dx|).

87.В Ekn с метрикой gij найти производную скалярного поля в направлении его градиента.

88.Доказать, что если векторное поле потенциально v = gradϕ, то оно не имеет замкнутых интегральных линий.

85

Глава III

РИМАНОВА

ГЕОМЕТРИЯ

§1 Определение основных понятий римановой геометрии

Определение 3.1.1. Пусть в некоторой области G En задано поле дважды ковариантного симметрического невырожденного тензора gij . Тензор gij называется невырожденным, если определитель |gij | отличен от нуля.

Замечание. Если тензор gij положительно определен, то мы будем говорить, что в области G задана риманова метрика, а сам тензор будем называть метрическим тензором.

Определение 3.1.2. Тензор gij называется положительно определенным, если порожденная им полилинейная функция (билинейная функция) есть положительно определенная функция, то есть

рица gij не выпрождена, но неположительна. Значит данная метрика

86 Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

не является римановой. Такие метрики принято называть псевдори-

вырожденности метрики. Поэтому соответствующая метрика не является римановой.

В дальнейшем мы будем предполагать, что компоненты тензора gij суть дважды непрерывно дифференцируемые от координат

(u1, ..., un).

Замечание. Если тензор gij знакопеременен и невырожден, то тогда говорят что задана псевдориманова метрика. Мы ограничимся рассмотрением только римановой метрики (собственно римановой).

С помощью тензора gij можно определить скалярное произведение двух векторов λ : (λi), µ : (µi) формулой

(λ, µ) = gikλiµk,

где

gij = (∂i, ∂j ),

так как ∂i : (0, ..., 1, ..., 0), ∂j : (0, ..., 1, ..., 0).

Определение 3.1.3. Пусть ui = ui(t), a ≤ t ≤ b – уравнения некоторой гладкой кривой γ. Обозначим через r(t) касательный вектор к кривой в точке γ(t)

dui r(t) = dt ∂i.

Длиной l кривой γ(t) назовем число l(γ) определенное формулой

Определение 3.1.4. Пусть D есть некоторая область, лежащая в области G. Объемом V области D называется число V (D), определенное формулой

V (α) = Z √gdu1 · · · dun, где g = |gij |.

D

§2 Абсолютная производная векторных и тензорных полей.Параллельный перенос и геодезические линии

Определение 3.2.1. Абсолютной производной векторного поля λ = λi∂i в направлении вектора Z = Zi∂i мы назовем вектор, определенный формулой

Z λ = h dλi + i λj Zki∂i,

duk jk

где ijk – определяются формулами

и называются символами Кристоффеля первого рода, а

kij = gkr ij,r

именуются символами Кристоффеля второго рода.

Определение 3.2.2. Абсолютной производной ковекторного поля µ : (µi) в направлении вектора Z мы назовем:

Z µ = h dudµki + rikµr Zki∂i.

Определение 3.2.3. Ковариантные производные векторного и ковекторного полей определяются формулами

и

µi,k = dudµki − jikµj

Определение 3.2.4. Ковариантная производная произволь-

ного тензора Aj1 ,...,jq строения (p, q) определяется формулой

i1 ,...,ip

Замечание. Если λ : (λi) есть поле параллельных векторов, то все его ковариантные производные должны обращаться в нуль.

Замечание. В произвольной римановой метрике не существует, как говорят, абсолютного параллелизма. Однако, можно определить параллельное перенесение вдоль некоторой кривой.

Определение 3.2.5. Пусть γ(t) : ui = ui(t), a ≤ t ≤ b, есть дифференцируемая (гладкая) кривая. Будем говорить, что векторное поле λ : (λi) вдоль кривой γ есть поле параллельных векторов, если rλ = 0 в каждой точке γ(t) кривой γ, то есть

Замечание. Система обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях λi(a) = λi0 ввиду сделанных выше предположений о гладкости компонент метрического тензора gij и кривой ui = ui(t) имеет единственное решение λ(t). О векторе λ(b) : (λi(b)) говорят, что он есть результат параллельного переноса вектора λ0 : (λi(a)) вдоль кривой γ.

Замечание. Если взять другую кривую σ(t), соединяющую те же точки γ(a) и γ(b), то результат параллельного перенесения вектора λ0 вдоль σ(t) – вектор λσ (b), вообще говоря не совпадает с результатом параллельного перенесения вдоль γ, то есть λ(b) 6= λσ (b). Именно в этом месте и проявляется существенное отличие римановой метрики от евклидовой метрики.

Определение 3.2.6. Дважды непрерывно дифференцируемую линию γ(t) : ui = ui(t), a ≤ t ≤ b мы назовем геодезической линией, если поле векторов r(t), касательных к кривой γ(t) есть поле параллельных векторов rr = 0:

Замечание. Система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеет единственное решение ui = ui(t), если в точке γ(a) заданы начальные условия:

Геометрически это означает, что через каждую точку M в направлении произвольного вектора λ0 можно провести единственную геодезическую линию γ(t) : ui = ui(t).

Теорема 3.2.1. Пусть γ(t), a ≤ t ≤ b – геодезическая линия и

γ(t0) – произвольная точка γ(t). Тогда существует такое ε(t0) > 0, что дуга (γ(t0 −ε), γ(t0 +ε)) геодезической γ(t) начинающаяся в точке

γ(t0−ε) и заканчивающаяся в точке γ(t0+ε) есть кратчайшая линия.

Замечание. Напоминаем, что кратчайшей называется линия, которая короче (не длиннее) любой другой кривой, соединяющей те же самые точки (имеющие те же самые концы). Можно также доказать и обратное: каждая кратчайшая есть дуга некоторой геодезической линии.

Теорема 3.2.2. Пусть λ(t) и µ(t) – два параллельных векторных поля вдоль кривой γ(t) : ui = ui(t). Справедливо равенство:

dtd (λ(t), µ(t)) ≡ 0.

Доказательство. Истинность данного утверждения следует из ра-

венства (λ(t), µ(t)) = gij (u1, ..., ur)λi(t)µj (t) и условия параллельности векторных полей λ(t) и µ(t).

Замечание. Равенство можно переписать так: (λ(t), µ(t)) ≡ C.

Замечание. Геометрический смысл заключается в том, что при параллельном переносе вектора вдоль λ(t) сохраняется его длина, а при параллельном переносе двух векторов сохраняется угол между ними. В самом деле, если в положить λ(t) = µ(t) , мы получим, что |λ(t)|2 = C, то есть длина λ(t) постоянна и от t не зависит. Затем, учитывая, что (λ(t), µ(t)) = |λ(t)||µ(t)|cosϕ(t) и уже доказанные свойства |λ(t)| = C1 и |µ(t)| = C2, мы получаем, что ϕ(t) постоянно и от t не зависит.

Пример. Эти геометрические свойства позволяют описать построение поля параллельных векторов вдоль геодезической линии в двумерном случае. Действительно, так как по определению геодезической, поле касательных к ней векторов есть поле параллельных векторов, и, учитывая доказанные выше свойства параллельного перенесения, для построения параллельного поля вдоль n-геодезической достаточно взять в каждой точке вектор одной и той же длины r, образующий один и тот же угол с касательным вектором к геодезической линии, отсчитываемый от касательного вектора в одну и туже сторону (например, против часовой стрелки). В двумерном случае существует единственный вектор в каждой точке геодезической, с указанными выше свойствами.

Пример. Пусть в области, определенной неравенствами −∞ < u1 <

+∞, 0 < u2 < 2π, задан метрический тензор g11 = g22 = 1/(u2)2, g12 = g22 = 0. Вычисли символы Кристоффеля 1 и 2 рода. Вычисления про-

изведем в следующем порядке.

1) Сначала находим элементы gij :