RGTA

§2 Полилинейные функции (функционалы)

Определение и простейшие свойства полилинейных функционалов.

1.2.1. Определение. Пусть x1, x2, ..., xp и y1, y2, ..., yq - p элементов (векторов) пространства X и q элементов (ковекторов) пространства Y . Обозначим через A(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq) функционал со значениями во множестве вещественных чисел R.

Функционал A называется полилинейным, если он линеен по каждому своему аргументу. Более подробно это значит, что выполняются равенства (2.1) и (2.2). Пусть 1 ≤ i ≤ p - произвольное целое число, z и z - два вектора (элементы пространства X), а λ и λ два произвольных вещественных числа.

Аналогично для второй группы аргументов. Пусть 1 ≤ j ≤ q - произвольное целое число, w и w ковекторы, а µ и µ произвольные вещественные числа. Тогда

Про функционал A(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq) говорят, что он имеет строение (p, q) и ранг p + q.

Пример 1. Проверим, является ли функция f(x, y) = 3x1y2 + 2 билинейным функционалом.

Решение: Проверим аддитивность по первому и второму аргументу: f(x+z, y) = 3(x1+z1)y2+2, f(x, y)+f(z, y) = (3x1y2+2)+(3z1y2+2) 6=

6= f(x + z, y),

Этого уже достаточно чтобы сказать, что функция не является билинейным функционалом. Не выполняется и свойство однородности:

1.2.2. Замечание: Множество полилинейных функционалов одного строения (p, q) образует линейное пространство, если сложение и умножение на число ввести следующим образом. Пусть A1 и A2 - два полилинейных функционала одного и того же строения (p, q), а λ1 и λ2 - два вещественных числа, функционал λ1A1 + λ2A2 определяется формулой

Замечание. Во множестве всех полилинейных функционалов можно ввести умножение. Пусть A1- полилинейный функционал строения (p1, q1), а A2 – строения (p2, q2). Тогда полилинейный функционал A1 · A2 определяется формулой

(A1 · A2)(x1, x2, ..., xp1 +p2 , y1, y2, ..., yq1+q2 ) =

A1(x1, x2, ..., xp1 , y1, y2, ..., yq1 ) · A2(xp1 +1, ..., xp1 +p2 , yq1+1, ..., yq1 +q2 )).

(2.4)

1.2.3. Пусть A - полилинейный функционал строения (p, q), а {e1, e2, ..., en}

– произвольный базис в пространстве X, {e1, e2, ..., en} – базис в пространстве Y = X , сопряженный данному. Если x1, x2, ..., xp - век-

торы, xk = xikk eik , а y1, y2, ..., yq - ковекторы yr = yjrr ejr , то в силу линейности функционала A имеем

описанные в п.1.2.3. называются координатами, или компонентами полилинейного функционала A относительно базиса {e1, e2, ..., en}.

Замечание. Значение функционала A на векторах x1, ..., xp и на ковекторах y1, ..., yq выражается формулой

Напомню, что суммирование здесь идет по всем индексам i1, ..., ip, j1...jq от 1 до n.

Наоборот, если в некоторой системе координат, определенной базисом

{e1, e2, ..., en}, задана система чисел Aji11,......j,iqp , i1, ..., ip, j1...jq = 1, .., n, то формула (2.7) определяет функционал A, полилинейность которо-

го следует из (2.7) и из известных свойств вещественных чисел. Таким образом, мы получили, что при фиксированном базисе в X полилинейный функционал однозначно определяется своими координатами.

Пример 2. Рассмотрим произвольный полилинейный функционал A строения (p, 0). Возьмем любые линейные функционалы e1, ..., en в числе n при единственном условии их линейной независимости. Численное значение A(x1, ..., xk) функционала A может быть представлено в виде X

A(x1, ..., xk) = Aj1 ...jk ej1 (x1)... ejk (xk) ( )

где Aj1 ...jk - коэффициенты которые определяются данным функционалом A, а также выбором линейно независимых функционалов e1, ..., en.

Замечание. Число координат полилинейного функционала A ранга k равно nk. В частности, если k = 1, то A имеет n компонент и, значит, может быть интерпретирован либо как вектор (при p = 0, q = 1), либо как ковектор (при p = 1, q = 0). При k = 2 число координат равно n2 и в этом случае полилинейной функции A можно сопоставить квадратную матрицу n × n.

Пример 3. Скалярное произведение.

Пусть в линейном векторном пространстве X задано скалярное произведение (x1, x2). Из алгебраических свойств скалярного произведения следует, что мы имеем полилинейную функцию g(x, y) строения (2.0) и если {e1, e2, ..., en} - базис в X, то координаты g = gik = (ei, ek) образуют матрицу, которая называется матрицей Грама.

Введем формулы, связывающие новые и старые координаты функционала A. По определению,

Формула (2.12) показывает, что координаты полилинейного функционала преобразуются по такому закону: каждый нижний индекс преоб-

Пусть каждому базису {e1, e2, ..., en} сопоставлена система чисел Aji11,......j,iqp , которые связаны между собой формулой (2.12). Тогда мы можем определить полилинейную функцию A формулой

1.2.7. Формула (2.13) дает алгоритм построения полилинейных функ-

ционалов. Пусть {e1, e2, ..., en} - некоторый базис в X. Возьмем произвольный набор np+q чисел Aji11,......j,iqp , i1, ..., ip, j1...jq = 1, ..., n и определим функцию A(x1, ..., xp, y1, ..., yq) формулой (2.13)

A(x1, ..., xp, y1, ..., yq) = Aji11,......j,iqp xi11 , ..., xipp , yj11 , ..., yjqq ,

должны вычислять по формуле (2.12). Заметим, что часто используется такое обозначение

(As1 ...sq )′ = As′1 ...s′q r1 ,...,rp r1′ ,...,rp′

Пример 5. Пусть E - евклидово вещественное векторное пространство и × - векторное произведение. Положим

T : X3 × X3 × (X3) → R,

T (u, v, y) = y(u × v) - функция от двух векторных и одного ковекторного аргумента. Покажем, что t - полилинейная функция. Действительно,

T (u1 + u2, v, y) = y((u1 + u2) × v) = y(u1 × v) + y(u2 × v) =

= T (u1, v, y) + T (u2, v, y);

T (λu, v, y) = y((λu) × v) = y(λ(u × v)) = λy(u × v) = λT (u, v, y).

Таким образом, T линейна по первому векторному аргументу. Линейность по второму аргументу доказывается аналогично. Покажем линейность по ковекторному аргументу:

T (u, v, y1+y2) = (y1+y2)(u×v) = y1(u×v)+y2(u×v) = T (u, v, y1)+T (u, v, y2);

T (u, v, λy) = (λy)(u × v) = λy(u × v) = λT (u, v, y).

Итак, T - полилинейный функционал.

Пусть e1, e2, e3 - орторепер и e1 × e2 = e3, e3 × e1 = e2, e2 × e3 = e1. Найдем координаты полилинейного функционала в этом базисе.

T111 = T (e1, e1, e1) = e1(e1 × e1) = 0, T112 = T113 = 0,

T121 = T (e1, e2, e1) = e1(e1 × e2) = e1(e3) = 0,

T123 = T (e1, e2, e3) = e3(e1 × e2) = e3(e3) = 1.

Заметим, что T (u, v, y) = −T (v, u, y). Учитывая формулы для векторного произведения, мы имеем Tijk = 0, если хотя бы два индекса среди i, j, k совпадают и

T123 = −T213 = 1, T312 = −T132 = 1, T231 = −T321 = 1.

Пример 6. Пусть A - полилинейный функционал строения (2, 0) и в базисе e1, e2 имеет координаты A11 = 1, A12 = 2, A21 = −1, A22 = 0. Найдем его координаты в базисе e1′ = 2e1 + e2, e2′ = e1 + e2.

Способ 1. Используя формулу Ai′ j′ = Pii′ Pjj′ Aij , получим:

A1′1′ = P11′ P11′ A11 + P11′ P12′ A12 + P12′ P11′ A21 + P12′ P12′ A22 =

= 2 · 2 · 1 + 2 · 1 · 2 + 1 · 2 · (−1) + 1 · 1 · 0 = 6;

A1′2′ = P11′ P21′ A11 + P11′ P22′ A12 + P12′ P21′ A21 + P12′ P22′ A22 =

= 2 · 1 · 1 + 2 · 1 · 2 + 2 · 1 · (−1) + 1 · 1 · 0 = 5;

A2′1′ = P21′ P11′ A11 + P21′ P12′ A12 + P22′ P11′ A21 + P22′ P12′ A22 =

= 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 2 · (−1) = 2;

A2′2′ = P21′ P21′ A11 + P21′ P22′ A12 + P22′ P21′ A21 + P22′ P22′ A22 =

= 1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · (−1) + 1 · 1 · 0 = 2;

§3 Определение тензора. Алгебра тензоров

1.3.1. Определение: Если каждой системе координат (каждому ба-

зису) в n-мерном линейном пространстве X отнесена система np+q чисел Aji11,......j,iqp , i1, ..., ip, j1...jq = 1, ..., n, причем при переходе от одной системы координат к другой (от одного базиса к другому) эти чис-

ла преобразуются по формуле (2.12), то мы говорим, что нам задан тензор. Этот тензор называется p раз ковариантным и q раз контравариантным. Число p + q называется рангом (валентностью) тензора.

Сами числа Aj1 ...jq , i1, ..., ip, j1...jq = 1, ..., n, называются координа-

i1 ,..., ip

тами (компонентами)тензора.

Именно такое определение тензора дается в большинстве учебников по физике и механике. Как видно из определения тензора и содержания предыдущего параграфа, каждому тензору однозначно соответствует полилинейная функция. Таким образом, иначе определение

1.3.2. Определение: Тензором, p раз ковариантным и q раз контравариантным (число p + q называется рангом (валентностью) тензора) называется полилинейное отображение прямого произведения

понентами) тензора.

Примеры.

1.Если каждой системе координат отнести одно и тоже число a, то его формально можно также считать тензором – тензором нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром.

2.Если каждому базису отнести n чисел xi, i = 1, ..., n, которые при

переходе от одного базиса к другому базису преобразуются по формулам: (xi)′ = xi′ = Bji xj , то тем самым задается контравариантный тензор ранга 1, который называется контравариантным вектором.

3.Числа ai, i = 1, ..., n, определяющие линейную функцию, преобразуются по формулам: (ai)′ = ai′ = Cij aj , и образуют ковариантный

тензор ранга 1, который называется ковариантным вектором.

4.Матрица линейного оператора Aij образует тензор один раз ковариантный и один раз контравариантный, что доказано в предыдущем параграфе (см. § 2.)

5.Если в пространстве X задано скалярное произведение, то есть если X есть евклидово пространство En, то каждому базису

{e1, e2, ..., en} можно сопоставить набор из n2 чисел gij следующим образом: gij = (ei, ej). То, что этот набор чисел действительно образует тензор, следует из того факта,что скалярное произведение есть били-

нейная функция, а gij - суть координаты этой билинейной функции. Впрочем, это легко сделать и непосредственно. В самом деле, если {e′1, e′2, ..., e′n} есть другой базис в En, то

(gij )′ = gi′j′ = (e′i, e′j ) = (Cirer, Cjses) = grsCirCjs

и, следовательно, мы доказали, что gij есть дважды ковариантный тензор. Этот тензор называется метрическим тензором.

6.Единичный тензор. Сопоставим каждой системе координат один

итот же набор n2 чисел.

Докажем, что этот набор чисел образует тензор, один раз ковариантный и один раз контравариантный. В самом деле,

(δji )′ = δji′′ = δrsCjrBsi = δji

Пример. Определить координаты линейного функционала

ϕ(x) = 3x1 + 2x3, (n = 3)

Решение: По определению ϕi = ϕ(ei), значит, ϕ1 = ϕ(e1) = 3 · 1 + 2 · 0 = 3, ϕ2 = ϕ(e2) = 3 · 0 + 2 · 0 = 0, ϕ3 = ϕ(e3) = 3 · 0 + 2 · 1 = 2, Ответ:

ϕ = (3, 0, 2).

1.4.2. Операции над тензорами

а). Сложение тензоров.

B. Корректность этого определения можно проверить непосредственно, исходя из определения тензора, или сослаться на связь между тензорами и полилинейными функциями.

б). Умножение на число.

называют произведением тензоров A1 и A2. Корректность этого определения можно проверить непосредственно или снова сослаться на связь между тензорами и полилинейными функциями.

В дальнейшем умножение тензоров A1 и A2 будем обозначать следующим образом:

A1 A2

Пример 1: Найти сумму тензоров в V 2, компоненты которых заданы матрицами:

Решение: По определению, Cij = Aij + Bij - координаты суммы двух тензоров равны сумме соответствующих координат этих тензоров. Т.е., например, C12 = A12 + B12 = 0 + 5 = 5. Получаем:

Пример 2: Найти тензорные произведения следующих тензоров:

ра на число превращают их совокупность в линейное пространство

Tpq(X). Причем T01(X) = X, T10(X) = X , T00(X) = R.

Если e1, ..., en – базис X, а e1, ..., en - кобазис в X , то ei1 ...

p