Лекция 7. Модели массового обслуживания

1. Основные понятия теории массового обслуживания.

2. Классификация систем массового обслуживания.

3. Основные элементы СМО и их характеристики.

Основные понятия теории массового обслуживания

Реальные задачи, связанные с массовым обслуживанием встречаются в быту и в различных отраслях производства (транспорт, бытовое обслуживание, связь и тому подобное). Общее во всех этих задачах дало возможность построить особый класс математических моделей, которые называются модели (системы) массового обслуживания.

Постановка задачи.

Имеется некоторый прибор (канал), который осуществляет обслуживание (некоторые действия). На этот прибор поступают заявки (требования) на обслуживание. Требуется обеспечить соответствующее качество обслуживания. Модели являются вероятностными, так как в них участвуют случайные величины (количество заявок на обслуживание, временные интервалы между поступлениями заявок, длительность обслуживания).

Естественной базой для этой теории является теория вероятностей.

Основные элементы системы массового обслуживания

Конкретные варианты системы обслуживания могут изменить или дополнять данную схему. Если в системе массового обслуживания очередь возможна это системы с ожиданием, если очередь невозможна (запрещена) –системы с отказами. Промежуточное положение занимают системы с ограничениями на очередь (на длину очереди или на время пребывания в очереди). По количеству каналов, работающих параллельно, различаютодноканальные имногоканальныесистемы.

Обслуживание в общем виде понимается как удовлетворение некоторой потребности. Качество обслуживания здесь понимается как качество работы системы (величина очереди, полнота загрузки каналов, количество необслуженных требований покидающих систему).

Входящий поток требований

Чаще всего в моделях рассматривается так называемый простейший поток, задаваемый законом Пуассона (Пуассоновский поток).

(1)

Вероятность того, что за время в систему поступаеттребований,, играет роль параметра, смысл этого параметра плотность или интенсивность потока требований – это среднее количество требований на обслуживание поступающих в единицу времени.

Рассмотрим случайную величину - количество требований, поступающих в систему за время. Это дискретная случайная величина, составим закон распределения:

Вероятности расчитываются по формуле (1), при этом

Расчитаем математическое ожидание:

Среднее число заявок поступивших в систему за время равно.

Плотность или интенсивность входящего потока требований:

(2)

Простейший поток требований обладает тремя основными свойствами:

1. стационарность,

2. отсутствие последействия,

3. ординарность.

Стационарность – вероятность поступления определенного количества требований в определенный интервал времени зависит от величины интервала и не зависит от его расположения на оси времени.

Отсутствие последействия – взаимная независимость протекания процесса в непересекающихся промежутках времени.

Ординарность – практическая невозможность одновременного поступления двух или более требований в один момент времени.

Реальные потоки требований не всегда имеют эти свойства. Однако важность изучения простейшего потока поясняется следующими причинами:

• если система массового обслуживания рассчитана на простейший поток, то обслуживание других потоков с той же интенсивностью будет достаточно надежным.

• При сложении нескольких случайных потоков образуется суммарный поток близкий к простейшему.

Если для реального потока интенсивность не является константой, целесообразно весь интервал работы системы массового обслуживания (СМО) разбить на отрезки, в пределах которых с заданной погрешностью можно считать интенсивность постоянной.

Проверку (оценку) соответствия реального потока требований свойствам простейшего потока, проводят статистическими методами (критерий ).