Основные понятия теории игр

Теорией игр называется теория математических моделей, в которой учитываются различные интересы участников.

Столкновение противоположных интересов приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Упрощенная модель конфликтной ситуации называется игрой. Конфликт развивается по определенным правилам (правила игры). Естественной базой теории игр являются конкретные игры: шашки, шахматы, карточные игры. Используется терминология: игроки (стороны конфликты) выигрыш, результат конфликта.

Неопределенность результата игры вызывается различными причинами:

1. Разнообразие вариантов (шахматы).

2. Влияние случайных факторов.

Если исход игры является неопределенным исключительно из-за случайных факторов, такие игры называются азартными.

3. Отсутствие информации о действиях противника и его планах – стратегические игры.

Рассмотрим более подробно стратегические игры. Если участников двое, то игра называется парной, если более двух – множественной.

Содержание игры: последовательность действий, по четко сформулированным правилам. Эти действия принято называть ходами .

Правила игры – возможные варианты действия игроков, информация одной стороны о действиях другой, результат игры после выполнения последовательности ходов.

Ход игрока – выбор один из разрешенных правил действий и его осуществление.

Последовательность ходов будет называться стратегией.

Оптимальной стратегией называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры, обеспечивают игроку максимально возможный средний выигрыш.

Предположим, что интересы участников игры описывается количественно, то есть результатом игры является число (выигрыш).

Простейшим видом стратегической игры является парная игра с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок выбирает один из своих возможных стратегий,, игроквыбирает одну из своих возможных стратегий,; при полном незнании выбора другого игрока.

Задаются две функции:

–выигрыш игрока А.

–выигрыш игрока В.

.

Оставим одну функцию .

Цель игры: для игрока А - получить max φ, а для игрока В – получить min φ.

; ; .

- матрица игры или платёжная матрица.

_{Пример.}

Игрок А играет "строками", а игрок В – "столбцами".

Контрольные вопросы

1. Какие случайные величины присутствуют в вероятностных моделях управления запасами?

2. Какова цель резервного запаса? Как расчитать этот запас?

3. Что называется игрой? Что такое ход, стратегия, выигрыши?

4. Что такое матрица игры для конечной парной игры с нулевой суммой?

Лекция 14. Матричные игры

1. Решение матричной игры

2. Игры в смешанных стратегиях

3. Решение игры в смешанных стратегиях для квадратной матрицы второго порядка

4. Графический метод решение игры: случаи

Решение матричной игры

Рассмотрим конечную парную игру двух игроков Задана функция,,.

−матрица игры (платежная матрица). Предположим, что игрок выбрал стратегию, тогда в самом худшем варианте игры его выигрыш составит минимум.

Предвидя такую возможность, игрок старается получить максимально возможный выигрыш.

(1)

Такая стратегия , обеспечивающая величину выигрышаназываетсямаксиминной, число называетсянижней ценой игры. Если игрок сделал выборв самом худшем варианте он проиграет величину. Предвидя это, игрокстарается уменьшить свой возможный проигрыш.

(2)

Стратегия , на которой достигается эта величина называетсяминимаксной, а число называетсяверхней ценой игры.

Фактически выигрыш игрока (проигрыш игрока) ограничен нижней и верхней ценой игры при разумных действиях партнера (интервал).

Если , то это общее значение обозначается буквой.

(3)

Это значение игры, а сама игра называется вполне определенной.

Для матрицы это число называется седловой точкой.

(4)

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого игрока отклонение от его оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Рассмотрим пример конкретной матрицы, для которой найдем значение игры и оптимальные стратегии игроков.

Пример.

Найдем нижнюю цену игры:

гарантированный выигрыш при правильной игре составляет 2 ед.

Найдем верхнюю цену игры:

гарантированный проигрыш игрока .

; игра вполне определенная, – седловая точка; оптимальные стратегии –