Лекция 9. Системы массового обслуживания с потерями

1. СМО с ограниченной длиной очереди

2. СМО с ограничением на время пребывая в очереди.

3. СМО с отказами

Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

Разрешена очередь с максимальной длиной .,- число каналов,- интенсивность потока,– интенсивность обслуживания; – напряженность обслуживания.

Возможное число заявок в системе:

.

Максимальное количество заявок в системе

Вероятности состояний находим по формулам:

	(1)
	(2)
	(3)

- вероятность отказа.

Средняя длина очереди: .

(4)

Пример.

Имеется автозаправка с тремя бензоколонками, площадка ожидания рассчитана на 3 машины. На заправку прибывает в среднем две машины в минуту. Среднее время заправки одной машины – 1 минута. Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.

Решение:

мин.

Вероятность состояния "свободно" равна 0,122

В среднем 5% машин не имеют возможности заправиться.

Смо с ограничением на время пребывания в очереди

Считаем, что время ожидания в очереди ограничено случайной величиной , среднее значение которойсчитается известным. Интенсивность потока требований, покидающих систему не дождавшись обслуживания.

Вероятности состояний системы:

(5)

(6)

(7)

Пропускная способность

Пример.

В пункте химчистки имеется 3 аппарата. В среднем в химчистку приходят 6 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента 20 минут. Среднее количество клиентов покидающих очередь, не дождавшись обслуживания – один человек в час. Найти абсолютную пропускную способность пункта химчистки.

Решение:

Пропускная способность химчистки:

человек в час.

Смо с отказами

Очередь запрещена, в системе количество заявок не больше числа каналов . Это самая простая модель, она была изучена первой.

Число заявок в системе

Вероятности состояний

(8)

(9)

Вероятность отказа:

(10)

Дополнительные показатели.

Среднее число занятых каналов.

(11)

Среднее число свободных каналов:

(12)

Коэффициент занятости:

(13)

Коэффициент простоя:

(14)

Относительная пропускная способность: .

Абсолютная пропускная способность: .

Пример.

Справочная телефонная служба имеет 3 параллельно работающих телефона (), в некоторый интервал времени поступает 0,5 звонка в минуту, (). Интенсивность обслуживаниязвонка в минуту. Рассчитать вероятности всех состояний и определить коэффициенты занятости, простоя и пропускную способность.

_{Решение:}

Вероятность отказа , каждый пятый звонок не обслуживается.

Среднее число занятых каналов:

_{Соответственно} ;;

.

Контрольные вопросы.

1. Как описывается в общем виде работа СМО с ограничением на длину очереди?

2. Какими параметрами задается СМО с этим ограничением?

3. Как рассчитывается вероятности состояний системы?

4. Какими параметрами задается СМО с ограничением на время пребывания в очереди?

5. Каковы характеристики качества обслуживания в этой системе?

6. Какими параметрами задается СМО с отказами?

7. Каковы характеристики качества работы этой системы?