Лекция 11. Модели управления запасами

1. Однопродуктовая модель с дефицитом

2. Модель с неравномерным спросом: постановка задачи

3. Решение для модели с неравномерным спросом и его анализ

Однопродуктовая модель с дефицитом

–постоянный спрос, и– те же константы модели,– период планирования. Подлежит определению:– оптимальный размер партий товаров,– число заказов,– интервал между заказами.

Разрешаем дефицит товара, то есть считается допустимым, что некоторое время товар на складе отсутствует. Вводим величину – максимальный уровень запаса на складе, тогдамаксимально допустимый дефицит.

(1)

–склад работает; – товара нет, склад не работает.

(2)

(3)

Схема работы склада

Введем константу - штраф за непоставку единицы товара в единицу времени. Общие издержки:,

где – общие издержки на заказ и доставку;

–общие издержки хранения; – общая сумма штрафов;

(4)

Найдем минимум функции издержек :

Координаты критической точки:

оптимальный размер партии

(5)

оптимальный максимальный запас

(6)

Введем специальное обозначение: – плотность убытков из-за неудовлетворённого спроса.

(7)

(8)

Это доля времени, когда на складе есть товар.

Если , то модель бездефицитная.

	(9)
	(10)

Если , то

При достаточно больших штрафах дефицит практически невозможен. Бездефицитная модель является предельным случаем модели с дефицитом.

Модель с неравномерным спросом

–спрос переменный, считаем эту функцию известной.

Введем в рассмотрение следующую функцию: общий спрос за период :

(11)

Задача.

Определить в какие моменты периода следует подавать заказ, и какими должны быть размеры партий, чтобы суммарные издержки были минимальны.

Упрощенный вариант задачи предполагает, что заранее известно число – количество партий (число заказов). Например, для планирования на год разрешается заказывать раз в месяц.

Обозначим моменты заказов и доставки товаров – .

Подсчитаем количество (объем партии):

–стоимость заказа и доставки.

Издержки хранения пропорциональны площади криволинейных треугольников.

Соберем издержки:

В этой сумме первое и третье слагаемое постоянны.

Задача – найти .

Найдём частные производные и приравняем их к нулю – необходимое условие экстремума. Запишем систему уравнений:

(13)

В общем случае эта система нелинейная. После нахождения точек определяются наилучшие размеры партий.

(14)

Некоторые рекомендации по выбору числа . Необходимо сравнить константы моделии. При относительно высоких значенияхчислодолжно быть невелико, при относительно большихрекомендуется большее значение. Можно выбрать два значенияи сделать по ним расчеты, в результате выбрать лучший вариант.

Контрольные вопросы

1. Каковы постановка задачи оптимизации для модели с дефицитом?

2. Как связаны оптимальные решения для моделей с дефицитом и без дефицита?

3. Какова постановка задачи для модели с неравномерным детерминированным спросом?

4. Как находятся оптимальное решение в этой задаче?