Лекция 6. Динамические модели

1. Многоэтапные модели. Принцип Беллмана.

2. Задача распределения средств (ресурсов).

3. Задача добычи полезного ископаемого.

Экономико-математические модели называются динамическими, если в них учитывается развитие процесса во времени.

Решение таких задач разбивается на ряд этапов(шагов), поэтому их называют многоэтапными, или многошаговыми.

В процессе решения необходимо найти последовательность оптимальных воздействий (управлений). Основным принципом решения является принцип Беллмана – если некоторая последовательность решений оптимальна, то отдельные решения внутри неё оптимальны по отношению к предыдущим решениям. Оптимальная стратегия решения многоэтапной задачи состоит из оптимальных решений для каждого отдельного этапа.

начальное множество состояний;

некоторое множество конечных состояний

Нужно управлять в моменты .

Динамические задачи решаются специфическим образом, начиная с последнего этапа.

Задача распределения средств (ресурсов)

Постановка задачи.

Имеется некоторое количество средств , которые могут быть вложены в два различных предприятия (проекта). Каждое предприятие отличается своими условиями производства и имеет свою функцию доходности. Требуется распределить средства так, чтобы общий доход был максимальный.

Предположим, есть вариант распределения: y и (x-y) соответственно.

Функции доходности: и.

Общий доход: .

(1)

Смысл: наибольшее значение на отрезке.

Общая постановка задачи предполагает планирование распределения средств на несколько этапов. Требуются дополнительные данные. Заданы коэффициенты ,возврата средств по окончании этапа,.

Рассмотрим простейший случай, планирование на два этапа. Нужно посчитать количество средств доступных для инвестиций после окончания первого этапа.

–уже получено.

Планируется первый этап с учетом наилучшего второго этапа.

(2)

Для трех этапов:

(3)

Пример.

Требуется составить план распределения средств на два этапа.

Составим функцию дохода:

, – граничные точки.

Выбор наибольшего значения:

.

Получили при – для второго этапа.

Соберем доход за два этапа, с учетом оставшегося количества средств.

Функция дохода:

– возможный доход за первый этап и наилучший за следующий.

–наибольшее значение.

Оптимальный план распределения средств: на первом этапе все средства направляются в первое предприятие, после окончания этапа оставшиеся средства вкладываются во второе предприятие.

Цепочка управлений

Максимальный общий доход .

Задача добычи полезного ископаемого

Постановка задачи.

Имеется два месторождения с запасамиисоответственно. Имеется 1 машина (комплекс), которая может работать только на одном из месторождений. Заданыи- доли добычи запаса за один период (сезон). Заданы вероятности безаварийной работы на каждом месторожденииисоответственно. Если машина работает второй период на том же месторождении, то она добывает остаток запасаили.

Требуется спланировать применение машины, чтобы обеспечить максимальную общую добычу за два периода.

Начинаем решение со второго этапа.

Если на первом этапе машина работала на, то осталось:;:;

Строится функция:

Если на первом этапе было , то осталось:;:

Переходим к планированию первого этапа с учетом оптимального выбора на втором.

В общем случае то же делается для этапов.

Модель достаточно груба, так как не учитывает многих реальных особенностей добычи сырья.

Контрольные вопросы.

1. Какая задача (модель) называется динамической.

2. В чем состоит принцип Беллмана?

3. Какова особенность решения задачи распределения ресурсов?

4. В чем специфика постановки задачи добычи полезного ископаемого?