8. Передаточная функция: определение и типы

Передаточная функция W(s) – отношение величины на выходе к величине на входе по преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях.

W(jw) – частотная передаточная функция звена. Это комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной величине.

W_p(s) – передаточная функция УУ

W_of(s) – передаточная функция ОУ по f

W_ou(s) – передаточная функция по U

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию:

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:

Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки:

Передаточная функция замкнутой системы относительно возмущающего воздействия:

9. Типовые звенья и их характеристики

Безынерционное звено

Апериодическое 1-го порядка

; ; ;;

Колебательное

; ;

Идеальное интегрирующие

; ; .

Идеальное дифференцирующие

10. Основные законы регулирования.

Замкнутая система управления

Пропорциональный закон или П-закон (П-регулятор)

Пропорционально-интегральный закон (ПИ-регулятор)

Пропорционально-дифференциальный закон (ПД-регулятор)

Пропорционально-интегро-дифференциальный закон (ПИД-регулятор)

11. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем

Устойчивая линейная система – если ее выходная переменная остается сколь угодно малой при любых достаточно малых по абсолютной величине входных возмущениях.

Необходимый критерий устойчивости. Характеристическое уравнение системы после определения его корней может быть представлено в виде. Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы:

в котором все коэффициенты а_i>0. i=1,2,...n. Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше нуля.

Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования.

Достаточный критерий устойчивости:

Алгебраический критерий устойчивости (Критерий устойчивости Рауса-Гурвица); Критерий устойчивости Михайлова; Критерий устойчивости Найквиста.

12. Алгебраический критерий устойчивости (Рауса-Гурвица)

Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:

1. по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов;

2. столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх - по возрастающим индексам;

3. места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.

Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка.

Характеристическое уравнение системы имеет вид где все коэффициенты строго больше нуля. Получим матрицу n.

Для того чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные либо вещественные части и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.

Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий

а_k>0, k=0,1,2,...5;

2 =а₁а₂ - а₀а₃>0;

3=а₃2 - а₁₂а₄>0; 4 =а₄3 -а₂а₅2 + а₀а₅(а₁а₄ - а₀а₅)>0; 5 =а₅4>0.

Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда а_n>0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до n-1 включительно. Доказано, что если n-1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия n-1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.