29. Метод интегрированной аппроксимации (на примере системы с реле)

Рассмотрим метод интегрированной аппроксимации на примере системы с реле, назовем ее релейной системой автоматического регулирования. В состав, которой входит безынерционное усилительное звено с релейной характеристикой:

Покажем что зависимость U=f(x) – зависимость релейного типа. Выражение для этой кривой:

Срабатывание реле происходит при одном и том же токе, т.е. коэффициент возврата равен λ=1 сплошная линия на рисунке. Т.к. λ<1 отпускание реле происходит при x< λδ прямая обратного хода показана пунктиром. Тогда U=f(x) (характеристика нелинейного усилителя) становится неоднозначной, что приводит к неустойчивости системы.В системах релейного типа возможно достижение минимального времени регулирования, меньше чем в линейных системах.

30. Второй метод Ляпунова

Общий метод исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений:

получивший в дальнейшем название второго или прямого метода Ляпунова.

Действительно, если  - расстояние от точки траектории до начала координат, то и Однако точка покоя может быть устойчивой и даже асимптотически устойчивой и при немонотонном приближении к ней точек траектории с возрастанием времени. Поэтому вместо функций  А.М. Ляпунов рассматривал некоторые функции V(t,x1,x2,...,xn), являющиеся в некотором смысле «обобщенными расстояниями» до начала координат

Прямой метод Ляпунова об изучении устойчивости сводится к построению таких функций V векторной переменной X( x1,...,x_n), полные производные которых по времени, вычисленные согласно (*), обладают некоторыми специфическими свойствами.

Всякую функцию V назовем знакопостоянной, если она, кроме нулевых значений, принимает всюду в области G значения только одного знака.

Всякую знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только в начале координат, назовем знакоопределенной и учитывая ее знак – определенно положительной или определенно отрицательной.

31. Частотный критерий устойчивости в. М. Попова.

Абсолютная устойчивость – это устойчивость в целом нелинейной системы при задании ее нелинейностей принадлежностью к определенному классу. Типичным случаем такого задания является задание статической нелинейной характеристики тем, что она должна находиться в пределах определенного угла между осью абсцисс и некоторой прямой, как показано на рис. характеристика, заданная в угле (0,k)

Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова относится к системам, которые можно представить в виде соединения линейной части с передаточной функцией Wл(s) и безынерционного нелинейного звена f(x). Wл*(s)

Характеристика нелинейного звена является однозначной и лежит в угле (0,k). Минус на входе W_л(s) показывает, что обратная связь в системе отрицательна. Для суждения об устойчивости по этому критерию используется преобразованная амплитудно-фазовая частотная характеристика W_л(j)=ReW_л(j)+ jIm W_л(j)

Эта характеристика получается из АФЧХ Wл(j) линейной части системы путем умножения ординат последней на текущее значение частоты . Нелинейная система абсолютно устойчива, если при устойчивой линейной части системы через точку (-1/k, j0) можно провести хотя бы одну прямую линию так, чтобы вся характеристика Wл*(j) находилась от нее справа. Такая линия называется линией Попова. На рисунке показан случай, когда имеет место абсолютная устойчивость.

Критерий В.М.Попова является достаточным, т.е. он дает часть области абсолютной устойчивости и его невыполнение может не означать отсутствия абсолютной устойчивости в какой – либо другой области.