2.2. Теоретико-множественный уровень описания системы - у2

Система как множество правильных высказываний X мо­жет быть представлена в виде разбиения исходных множеств на подмножества:

X = ;

Каждое подмножество X_iтакже представляет собой систе­му элементов х_iХ_iсо своими свойствами и отношениями.

Из множества систем можно сформировать в общем случае систему Х_s, как собственное подмножество указан­ных множеств:

M_s M=Х₁X₂…Х_n={(X)}, (2.1)

где Х = (х₁, х₂, ... х_n);

X - кортеж, вектор, последовательность (в зависимости от свойств объекта).

Объект X может быть точкой в n-мерном пространстве (математический объект) или описанием конкретного объекта по множеству признаков (быть базой для идентификации объекта).

Итак, система на уровне абстрагирования У₂представляет собой собственное подмножество (М_S) множества М, определен­ного на прямом произведении множеств Х₁; Х₂; …Хn. При этом решается задача распознавания и классификации термов на уров­не множеств. Функторы определяются в отношениях на множест­вах. Вводится соответствующая система обозначений множеств и их элементов.

Задачи и упражнения

1. Определите на примере таблицы Жукова (см. упр. п.2.1) базовые множества видаХ₁  Х₂ и возможные подмножестваХ_s X₁ Х₂. В чем проявляется сходство описаний таблицыЖукова и индикатора символов с числом ячеекm  n?.

2. Известно определение множества по Н. Бурбаки: "Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношениях между со­бой или с элементами других множеств".

Пусть объект представляет собой индикатор для визуализа­ции множества символов размера 7  5. Подобные индикаторы применяются в различных реальных устройствах. Множество элементов индикатора равно 35 и упорядочено в пространстве5  7, как показано на рисунке.

Х₂

1	2	3	4	5
1	2	3	4	5	1
6	7	8	9	10	2	X1
11	12	13	14	15	3
16	17	18	19	20	4
21	22	23	24	25	5
26	27	28	29	30	6
31	32	33	34	35	7

X₃

а. Опишите работу одного из этих устройств в виде системы правильных высказываний.

б. Определите свойства элементов для выделенных на ин­дикаторе трех множеств Х₁ = {1; …7}; Х₂ = {1;...5}; Х₃={1;...35}.

в. Приведите содержательное описание систем типа М_S  Х₁  X₂  …Х_n, в которых используется индикатор симво­лов.

г. Понятие "множество" (по Бурбаки) является системой. Проиллюстрируйте это с помощью понятия "граф". Для этого термы определите как вершины графа, а функторы - как петли, ребра или дуги графа.

3. Дано Х = Х₁  X₂  …Х_n = {(х₁;х₂;...х_n)}, определите значение понятий:

Пр_iX; Пр_jХ; Пр_i,l,kХ , здесь Пр - проекция.

2.3. Абстрактно - алгебраический уровень описания - у3

Этот уровень абстрагирования - конкретизации связан с математическими объектами типа:

Г: М₁М₂...М_nМ_n+1; МN,

где Г- обозначение математической структуры и алгебраи­ческой операции(в зависимости от смыслового оттенка утвер­ждения);

{М}- базовые множестваГ структуры (носители структуры);

{; }- обозначение системы отношений, определенной на базовых множествах (произведение множеств и следование);

N - упорядоченное множество элементов, например, множе­ство натуральных чисел, кортеж событий, алфавит символов....

Конкретизируя систему свойств и отношений, например, в виде наборов постулатов (системы аксиом) получим, в частности, абстрактно-алгебраические структуры типов: группоида, полу­группы, группы, кольца, модуля, тела, поля, решетки ...., которыеопределяют целые классы формальных систем вида:

S = (M₁; M₂;;p₁;p₂; ;₁; ₂);

здесь:

S- алгебраическая система (математическая структура);

{М}- базовые множества определения системы;

{р}- отношения, определенные на элементах множества;

{}- свойства, образующие систему аксиомК() или систе­му истинных утверждений (теорию в смысле лингвистического подхода).

Система отношений {р} может определяться на множествах:R₁;R₂;R₃;...R_n типов отношений, где индекс обозначает "арность" или "местность" отношения:

R₁- множество унарных / одноместных отношений;

R₂ - множество бинарных / двухместных отношений;

…

R_n- множествоэнарных / энместных отношений.

С помощью R₁, в частности, описывается общее свойство элементов из данного множества-универсума по выделенному свойству.

Примерами бинарных отношений являются композиции, соответствия, отношения, отображения, в которых паре элементов ставится в соответствие третий элемент [2].

Функции (функционалы, операторы) являются классами объектов, определяемых на различных уровнях отношений:

У = f(x) илиf(x,У) = 0 - двухместное отношение;

z = f(x,У) илиf(x,У,z) = 0 - трехместное отношение;

q = f(x,У,z) илиf(x,У,z,q) = 0 - четырехместное отношение.

Схема представления функции имеет вид направленной или ненаправленной кибернетической системы:

Итак, понятие системы на абстрактно-алгебраическом уров­не конкретизируется с учетом уровней У₁ и У₂. На уровнеУ₁ оп­ределяется теория, как множество правильных высказываний о свойствах объекта исследований{}. На уровнеУ₂ конкретизиру­ется множество элементов и их отношений{М}. Множество под­множеств{М} выбирается в качестве базы. На уровне У_Зконкре­тизируется понятие алгебраической операции в виде системы от­ношений{р}.

Задачи и упражнения

1. Свойствами математических объектов, в частности, яв­ляются: рефлексивность (1), антирефлексивность (2), симметрич­ность (3),антисимметричность (4), несимметричность (5), транзи­тивность (6): {р₁;р₂; ... р₆} [2].

Проиллюстрируйте указанные свойства в виде систем от­ношений на графах и на матрицах для множества из 4-х элемен­тов{а,b,с,d}.

2. Известны системы отношений: эквивалентность (1), предпорядок (2), порядок нестрогий (3), строгий порядок (4), то­лерантность (5), доминирование (6).

а. Составьте таблицу свойств для этих отношений в виде алгебраической абстракции операций вида Х  Y  А иY  X  В приХ = У = {1,2,3,4,5,6}, если принять, что X - свойства,У - отношения,А = В = {0;1} в смысле "быть или не быть" свойству в данном отношении.

б. Сравните свойства таблиц А и В.

в. Определите модели систем, представляющие указанные отношения на графах и матрицах.

3. В понятиях групповых структур одинакового порядка изоморфизм определяется наличием двух свойств одновременно: инъекции и сюръекции. Говорят в этом случае обиективном (двойном) отображении.

Гомоморфизм имеет место при наблюдении одного из ука­занных свойств и разделяется на мономорфизм (при инъекции) илиэпиморфизм (присюръекции).

Определите изоморфизм понятий и схему соответствий для физических и математических систем, описываемых уравнениями:

L+Ri=V- электрическаясистема;

ma+kv+ws= F - механическая система;

= f(x) - математическая система.

Определите понятие модели на основе свойства изоморфизма.

4. Для групповых операций мультипликативности и адди­тивности на множестве{а,b,с} запишите алгебраические законы: сочетательный (ассоциативный),переместительный (коммутативный) и распределительный (дистрибутивный). Опре­делите понятия нейтрального и обратного (противоположного) элементов.

5. Алгебраическая система задана таблицей: ХУ  У₁

	1	2	3	4	5	6
1	1	0	3	0	0	6
2	1	0	0	0	0	6
3	0	2	0	0	5	6
4	1	0	0	4	0	6
5	1	0	3	0	0	0
6	0	2	0	0	5	0

Здесь Х = У = У₁ = {0,1,2,...6}.

Мощность множеств равна:

= =6

Таблицу можно рассматривать как одно из возможных вы­сказываний. Какова мощность источника высказываний для сис­темы аргументов X и У?

6. Определите классы отношений и их интерпретацию для системы знаков:

{} .

Дополните систему знаков известными Вам и выделите не­известные.

7. Алгебраическая система типа Т: АА А называется ком­позицией объектов. Композиция может быть представлена таб­лицей или графом композиции, например:

Т0	a	b	c
a	b	c	a
b	c	c	b
c	b	b	c

Постройте граф композиции для следующего комплекса систем Т:

Т1

a

b

c

d

e

T2

b

c

T3

a

b

c

a

e

a

e

a

a

a

c

b

a

b

c

a

b

c

c

b

c

d

b

b

a

b

c

a

b

c

e

d

d

d

b

b

a

c

c

a

b

c

d

b

d

b

b

a

e

c

b

d

e

a

К какому классу алгебраических систем относятся системы Т₁, Т₂, Т₃?