4.2. Свойства меры нечеткости

Мера нечеткости была предложена как функция для решения общей задачи

H:P[0,] ,

где H- шенноновская энтропия,

P– множество всех распределений вероятностей, которые могут быть определены на конечных множествах альтернативных (взаимно-исключающих) выходах:

P= 0 для детерминированного случая;

иначе P; подобно множеству точек отрезка [0,1], любая из которых может быть принята за разделительную для выделения отрезкаP_i.

P₁P₂P_iP_n

[0;1]

Сравнение по нечеткости множеств альтернатив разбиения универсума [0,1] на части целого {[P_i]} определяется в общем виде функциейH:

.

Это единственная известная функция, удовлетворяющая системе из пяти аксиом:

К() = (₁;₂;₃;₄;₅)^H,

где

₁^H - симметричность: нечеткость инвариантна отно­сительно перестановки вероятностей;

₂^H - расширяемость: нечеткость не меняется при до­бавлении к рассматриваемомумножеству выходов с нулевой веро­ятностью;

₃^H -квазиаддитивность: нечеткость совместного рас­пределения вероятностей не более суммы нечеткостей соответст­вующих безусловных распределений его компонентов;

₄^H - аддитивность: для распределения вероятностей любых 2-х независимых множеств выходов нечеткость совмест­ного распределения вероятностей равна сумме нечеткостей от­дельных распределений вероятностей;

₅^H - непрерывность: нечеткость это непрерывная функция на всех своих аргументах.

Функция f(х) определяет нечеткость (в частности, веро­ятность) для конечного множества альтернативх  X.

Коэффициенты "a" и "b" вH являютсяконституэнтами: значение "а" используется на практике в качестве нормирую­щего коэффициента, значение "b" (основание логарифма) опреде­ляет единицу измерения при передаче информации (бит... дит...).

Нормализующее свойство меры нечеткости иллюстри­руется нечеткостью 2-х равновероятных исходов, когдаH = 1.

Чтобы нормализовать для произвольного множества исходов при наихудшем равновероятном случае альтернатив значение H нормируют по величине

 ld X, гдеX- мощность (число) альтернатив;

Значения нормы сведены в таблицу.

 X 	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ld  X 	0	1	1.58	2	2.32	2.58	2.8	3	3.16	3.32

Упражнения

1. Система имеет два взаимоисключающих выхода на множестве альтернатив {0;1}. Определить норму.

2. Повторить для X= {3,4,5}.

3. Определить энтропию и нормализовать ее для следующих механизмов случайного выбора (МСВ).

а.

МСВ	X1	X2
МСВ-R1	0.1	0.9
МСВ-R2	0.3	0.7
МСВ-R3	0.5	0.5

б.

X	0	1	2	3	4
P1	0.6	0.3	0.09	0.01	-
P2	0.37	0.37	0.19	0.06	0.01

в.

T	5	10	15	20	25	30	35
P	0.01	0.06	0.24	0.38	0.24	0.06	0.01

4. В приложении 5 приведены вероятности появления букв в русском языке, а также один из возможных вариантов МСВ для имитационного моделирования процесса появления букв. “Переведите” на русский язык фрагмент таблицы случайных чисел (см. П.4), предварительно группируя числа в виде четырехзначных последовательностей.

5. Определите нечеткость преобразования последовательности символов “Основы теории систем “, используя данные приложения 6.

6. В приложении 6 приведена топология пишущей машинки с разметкой по частоте отдельных символов (см.П5).

а. Определите систему двухбуквенных сочетаний, используя отношение соседства на клавиатуре.

б. Оцените соответствие найденных соседств фонетическому строю русских слов. Приведите конкретные примеры в подтверждение типовых буквосочетаний и оцените удобство их печатания в данной топологии расположения символов: при печатании одним пальцем и при многопальцевой системе.

7. В приложении 7 приведена топология клавиатуры персо­нального компьютера (ПК). Определите системы соответствий между топологиями пишущей машинки и ПК. Какое лингвистическое и программно-математическое обеспечение потребуется для решения подобной задачи?