3.1.1. Метрические пространства(гильбертово пространство)

Для метрического пространства вводятся свойства мет­рикив виде системы аксиом() :

1. (x,у)0;(x,x) =(y,у) = 0.

2. (x,у) = (y,x) - симметричность.

3. (x,у) (y,x) + (y,z) - свойство треугольника.

П = (М;); х,уМ,R.

Частные случаи отношений для метрических пространств:

_(x,у) =- расстояние вn-мерном пространстве.

_(x,у) =- расстояние по сумме разностей координат.

_ = mах - максимальное расстояние между грани­цами пространства, используется для перехода к нормированным метрическим пространствам.

3.1.2. Топологические пространства

Пусть М - множество,V_m - система подмножеств множест­ваМ.

Система V_m называется топологией вМ и имеет следующие свойства:

1. М  V_m; I  V_m; 2.  (G_i  G_k)  V_m; 3.  (G_i)V_m.

Пример

Рассмотрим топологию базовых множеств: М = {Г;П;В}: Г - группа;П – пространство; В - время.

Топология для базирования объектов определяется множе­ством суммой множеств М.

Множества, принадлежащие системе V_m, называются от­крытыми множествами пространства(М; V_m).

Одно и то же М может порождать ряд топологий, а следо­вательно, и топологических пространств:

,

V =  - отсутствие топологии.

Тривиальная топология - пространство слипшихся точек.

Дискретная топология, если открыто любое подмножество М.

3.1.3. Линейные пространства

Введем математические объекты: S- множество векторов:х,y,z....; К - множество скаляров:,, ..;

Линейное пространство Sнад полем К определяется как система:

Р = (S, К;,),

где : S  S  S- внутренний закон композиции (аддитивный),Sобразуетабелеву группу, т.е. коммутативную, ассоциативную, с нейтральным (нулевым) и обратным(-х) элемен­тами;

: K  S  S- внешний закон композиции со свойствами:

а) дистрибутивности относительно внутреннего закона сло­жения векторов: (х + у)= x+y;

б) дистрибутивности относительно аддитивного закона поля К (сложения скаляров): ( + )x = x + х,

в) ассоциативности относительно мультипликативного за­кона поля К: ()x = (x);

г) наличие нейтрального элемента() относительно умно­жения в поле К: x=x.

Линейные пространства Sнад полем К могут быть действи­тельными или комплексными, если К соответственно поле дейст­вительных или комплексных чисел.

Примеры

1. 3-мерные векторых(х₁;х₂;х₃) образуют действительное линейное пространство: х + у= z;:x.

2. Если S= К, то любое поле К можно рассматривать как векторное пространство над самим собой:: (+); :(*).

3. S= {а, b, c}; :S  S  S;   (+).

	a	b	c
a	b	c	a
b	c	a	b
c	a	b	c

Здесь С - нейтральный элемент. Структура типа "абелева группа".

Постройте граф отношения для заданного .

4. S= {а, b, с), К= {1, 2, 3} - имеем поле вычетов по модулю.

Поле вычетов можно задать в виде таблиц отношений:

*	a	b	c	(+)	0	1	2	(*)	0	1	2
0	c	c	c	0	0	1	2	0	0	0	0
1	a	b	c	1	1	2	0	1	0	1	2
2	b	a	c	2	2	0	1	2	0	2	1
K  S  S				K  K  K