Матика 2 курс / Дифференциальные уравнения 2б

21

откуда с учетом начального условия:

Окончательное решение линейного уравнения (1.14) записывается в виде:

ЗАДАЧА 1.1.

Нарисовать качественный вид фазовых траекторий и инте-

гральных кривых уравнения

dXdt X 1- X - C

в зависимости от значения параметра C 0.

ЗАДАЧА 1.2.

Среди приведенных уравнений найти качественно эквива-

лентные:

а) dX / dt = (X - a)3 ; б) dX / dt = -X 2 ; в) dX / dt = sh (X 2 -1);

г) dX / dt = X ; д) dX / dt = X (1- X ) ; е) dX / dt X ( X 2 -1) .

22

ЗАДАЧА 1.3.

Построив фазовый портрет и интегральные кривые, рассмот-

реть, как нарушается единственность решения уравнений:

ЗАДАЧА 1.4.

Проинтегрировать неавтономные уравнения, предварительно

определив их тип:

а) dX / dt kta X b ; б) dX/dt X / t (X/t)2 ;

в) dX / dt = X sin( t); г) dX / dt = - X +sin( t) .

23

2. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

(дифференциальные уравнения второго порядка)

Система уравнений первого порядка вида: dXdt1 V1(x1,x2 );

называется автономной системой порядка n = 2.

Состояние системы, описываемой уравнениями (2.1) полно-

стью определяется заданием пары функций x1(t), x2 (t) или, что то же самое, заданием вектора на плоскости: X (t) = (x1(t), x2 (t)) .

Следовательно, фазовое пространство системы - двумерная плоскость (называемая далее фазовой плоскостью).

Поле направлений

также является вектором на плоскости, координатные функции ко-

торого зависят от состояния - положения точки на фазовой плоско-

сти. В частном случае

24

содержащему одну искомую функцию x1 и ее производные до вто-

рого порядка включительно, называемому дифференциальным уравнением второго порядка.

Следовательно, исследование систем вида (2.1) включает, как частный случай, и исследование дифференциальных уравнений второго порядка (2.4).

Основной задачей решения системы (2.1) является нахожде-

ние зависимости состояния от времени X (t) по известному полю направления V (X) и известному начальному состоянию X (t0) = X0.

Задачей качественного анализа системы (2.1) является изучение ви-

да траекторий состояния системы на фазовой плоскости - фазовых портретов системы.

В силу основной теоремы, через каждую точку фазовой плос-

кости проходит единственная траектория только тогда, когда поле направлений является гладким (т. е. координатные функции V1, V2

дифференцируемы). Интегральными кривыми системы (2.1) явля-

ются линии в трехмерном пространстве, а фазовые траектории -

двумерные проекции интегральных кривых на фазовую плоскость.

Особой разновидностью интегральных кривых и фазовых тра-

екторий являются положения равновесия системы - точки на фазо-

вой плоскости Xeq , в которых фазовая скорость обращается в нуль:

V (X еq ) 0 .

Согласно (2.1) положения равновесия (иначе называемые не-

подвижными точками) находятся путем решения системы уравне-

ний:

25

V1(x1, x2 ) 0 ;

плоскости, а соответствующая интегральная кривая – прямая, про-

ходящая через X eq , параллельная оси t в расширенном фазовом пространстве.

Из системы (2.1) путем деления одного уравнения на другое

которое в некоторых случаях удается проинтегрировать явно, как дифференциальное уравнение первого порядка, и найти фазовые траектории как его решения. Однако явное интегрирование (2.6)

часто оказывается невозможным и поэтому приходится прибегать к исследованию особенностей поведения исходной системы (2.1) при помощи качественных методов, т.е. методов, не использующих аналитические решения.

Основой качественных методов является разбиение состояний системы X на два типа:

1 точки общего положения, где V(X) 0;

2 особые точки (неподвижные точки) или положение равно-

весия, в которых V(X) = 0.

Это разбиение важно по следующей причине. В точке общего положения смещение точки за малый промежуток времени опреде-

то есть вблизи точки общего положения изменение состояния пол-

ностью описывается в линейным приближением, которое при необ-

ходимости может быть уточнено. В противоположность этому вблизи особой точки описание поведения системы требует суще-

ственно большей информации о поведении поля направлений.

Главным методом изучения поведения системы в окрестности положений равновесия является метод линеаризации - метод при-

ближенной замены точной системы (2.1) вблизи неподвижной точ-

ки на линейную систему (подробнее см. в главе 3 раздел 8).

Рассмотрим вопрос о фазовых траекториях линейной системы

вида:

и представляют собой непересекающиеся линии на плоскости

(x1, x2).

2. Фазовые траектории являются линиями постоянного уровня

H (x1, x2 ) const , так называемого первого интеграла - решения од-

нородного уравнения (2.9), которое получают последующему алго-

27

ритму.

Шаг 1.

Вводим новую переменную x1 / x2 , dx1 / dx2 x2d / dx2

и переписываем уравнение (2.9) в виде уравнения с разделяющими-

ся переменными

где С - постоянная, определяемая начальным состоянием.

Шаг 3.

Подставляя в (2.11) φ = x1 / x2 , получаем явный вид функции

H(x1, x2) - первого интеграла. Термин «первый интеграл» сложился исторически. Он отражает тот факт, что значение функции, первого интеграла, не изменяется вдоль фазовой траектории системы в про-

цессе эволюции. Другими словами, если функция H(x1, x2) является первым интегралом (2.1), то ее производная во времени равна ну-

лю:

29

(ось t перпендикулярна фазовой плоскости). Положение равновесия системы, состояние покоя p = q = 0 - начало координат фазовой плоскости. Соответствующая интегральная кривая - ось t в про-

странстве.

Уравнение фазовых траекторий, согласно (2.6), имеет вид:

и является уравнением с разделяющимися переменными. Его реше-

ние может быть записано в виде:

p2 2q2 H0 const , 2

где значение постоянной определяется начальным состоянием

(q0, p0):

H0 p02 2q02 . 2

Следовательно, фазовые траектории системы - линии уровня первого интеграла:

H (q, p) p2 2q2 , 2

называемого интегралом энергии.

30

t

q p

Рис. 2.1. Фазовые траектории и интегральные кривые для уравне-

ния гармонических колебаний

Фазовые траектории - эллипсы на плоскости q, p , образуют фазовый портрет типа «центр», а интегральные кривые - проекти-

рующиеся на эти эллипсы винтовые линии с шагом T = 2π / ω

(рис. 2.1).

ПРИМЕР 2.2. Найти фазовые траектории (фазовый портрет)

системы:

dxdt1 x1

Выражая x1 из второго уравнения системы и подставляя в пер-

вое уравнение, получаем уравнение второго порядка, равносильное системе