Матика 2 курс / Специальные главы математики 140410(ЭАб)
.pdf1
Министерство образования и науки Российской федерации
Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Кузбасский государственный технический университет им. Т.Ф. Горбачева»
Г.А. Казунина
Специальные главы математики. 3 семестр: учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 140400.62, « Электроэнергетика и электротехника»,
профиль 140410 «Электропривод и автоматика»
Рекомендовано в качестве учебного пособия учебно-методической комиссией направления 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника» профиль 140410 « Электропривод и автоматика»
Кемерово 2012
2
Рецензенты:
Жирнова Т.С. – доцент кафедры математики
Каширских В.Г. – председатель УМК направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»
Казунина Галина Алексеевна. Специальные главы математики. 3 семестр: учебное пособие для самостоятельной студентов направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электропривод и автоматика» [Электронный ресурс] / Г.А. Казунина - Электрон.дан.- Кемерово: КузГТУ, 2012.- 1электрон.опт.диск(CD-ROM); 12 см.- Систем. требования: любой компьютер, поддерживающий Microsoft Windows –97 и выше, мышь.- Загл. с экрана.
Приводятся элементы теории, примеры решения задач и содержание самостоятельной работы студентов по темам курса «Специальные главы математики», который согласно рабочей программе изучается в 3 семестре. Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов
КузГТУ
Казунина Г.А.
.
3
Контрольная точка 1 (РГР 1,2,3,4)
1.Характеристики динамических звеньев
2.Z – преобразования и решение разностных уравнений
3.Случайные процессы. Корреляционная теория.
Контрольная точка 2 (РГР 5,6)
1.Качественная теория решений ДУ. Фазовые портреты
2.Матричный способ решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений порядка n 2
3.Матричный способ решения систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений порядка n 2
4.Анализ систем линейных ДУ порядка n 2
Контрольная точка 3 (РГР 7,8)
1. Анализ устойчивости линейных систем (критерии Гурвица, Михайлова) 2.Устойчивость нелинейных систем по первому приближению.
Геометрические методы анализа.
Контрольная точка 4 (РГР 10, 11)
1.Элементы вариационного исчисления. Вариационные задачи с закрепленными и подвижными границами 2. Принцип максимума Понтрягина
4
РГР 1. Характеристики динамических звеньев
Литература
1.Казунина Г.А. и др. Дискретные и интегральные преобразования: КузГТУ.
– 1999
2.Казунина Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие [электронный ресурс].- КузГТУ.- 2009
Для динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями, найти следующие характеристики:
1. Передаточную функцию H ( p) Y ( p) - отношение изображения по
X ( p)
Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях
2. Импульсную переходную характеристику систем
( реакцию системы на импульсное входное воздействие) w(t) H ( p) 3. Переходную характеристику системы (реакцию системы на ступенчатое
t
воздействие) h(t) w( )d
0
4.Найти реакцию системы на входное воздействие двумя способами а)
операторным методом, б) методом свертки
А) x(t) eat (t)
|
0, |
t 0 |
|
|
|
0 t |
T |
В) |
x(t) E, |
||
|
0, |
t T |
|
|
|
|
|
5. Найти частотную передаточную функцию
S( ) H (i ) A( )ei ( ) U ( ) iV ( ), а также А) амплитудно – частотную характеристику
A( ) H (i ) 
U 2 V 2 
H (i )H ( i )
В) фазово-частотную характеристику
V ( ) |
|
( ) аrctg |
. |
U ( )
5
С) Постройте графики функций
( , A( )), ( , ( )), (U ( ), V ( )) . Примечание: последний график можно построить как функцию параметра ω, используя компьютер.
Пример выполнения задания (вариант 10).
1.Из уравнения Ty (t) y(t) kx (t) , переходя к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, находим передаточную функцию:
TpY ( p) Y ( p) k p X ( p)
Y ( p)(Tp 1) k p X ( p) |
|
|
|
|
|||||
H ( p) |
Y ( p) |
|
kp |
|
kp |
||||
|
|
|
|
. |
|||||
X ( p) |
Tp 1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
T ( p |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|||
2.Поскольку передаточная функция не является правильной дробью, то для перехода к оригиналу выделяем целую часть и остаток
|
k |
|
p |
|
|
|
k |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
k |
e |
t |
|
H ( p) |
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
(t) |
|
(t) w(t) |
||||||||
|
|
|
|
|
) |
T |
|||||||||||||||
T p |
1 |
|
T |
T |
p |
1 |
|
T |
T 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.
3. В результате импульсная переходная характеристика имеет вид
|
k |
|
k |
|
|
t |
|
||
w(t) |
(t) |
|
|
(t) |
|
||||
e |
T |
. |
|||||||
|
T 2 |
||||||||
|
T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь обязательно надо повторить по указанным выше учебным пособиям свойства импульсной функции Дирака и ступенчатой функции Хевисайда. Переходную характеристику находим как интеграл от импульсной переходной характеристики:
6
|
|
t |
|
|
k |
t |
|
|
|
k |
t |
|
|
k |
|
k |
|
|
t |
|
|||
h(t) w( )d |
( )d ( |
e |
T d ) (t) |
(t) |
(e |
T 1) (t) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
T |
T |
2 |
|
T |
T |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k |
(1 e |
t |
|
|
|
k |
e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
T |
T (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.Реакцию системы на внешнее воздействие находим двумя способами. Так для
сигнала x(t) eat |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Способ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y ( p) H ( p) X ( p) |
k |
|
p |
|
|
|
1 |
|
k |
( |
pe pt |
|
p |
1 |
pe pt |
|
|
|
p a |
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
1 |
|
|
p a |
|
T p a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
T |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
kae |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ke |
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ta) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T (1 |
|
1 |
aT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Способ 2 Используем формулу свертки с импульсной переходной или переходной характеристикой, например, формулу Дюамеля:
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
aea e T |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y(t) x(0)h(t) x ( )h (t |
)d |
T |
|
e |
(t) |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
aT 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k |
|
|
a k e |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ke |
|
|
T |
|
|
|
|
|
kae |
at |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
e |
T |
(t) |
|
|
|
e |
T |
d |
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ta) |
|
|
at |
|||||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (1 |
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (t)
(t)
|
0, |
t 0 |
|
|
|
0 t |
T получаем: |
Для входного сигнала |
x(t) E, |
||
|
0, |
t T |
|
|
|
|
|
7
Способ1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kE p |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
kE |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Y ( p) H ( p) X ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pT |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
p p |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
kE |
|
t |
|
|
t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e T (t) e |
|
|
T (t T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Способ 2.
y(t) h (t)x(0) (t)
|
|
|
|
t |
|
|
|
kE |
e |
T |
(t) |
k |
|
|
|
|||||
|
T |
|
|
T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x(T )h (t T ) (t |
T ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x ( )h(t )d (t) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
t T |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t T |
|
|
|
|
|
T |
|
kE |
|
T |
|
kE |
|
T |
|
|
T |
|
||||||
0 e |
|
d (t) |
|
e |
|
|
(t T ) |
|
|
e |
|
|
(t) |
e |
|
|
(t T ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Находим частотную переходную характеристику
H (i ) |
|
k i |
|
k i (1 T i) |
|
kT 2 k i |
; |
|
T i |
1 T 2 2 |
1 T 2 2 |
||||
1 |
|
|
|
||||
U ( ) Re H (i ) |
|
|
kT 2 |
|
V ( ) Im H (i ) |
k |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
1 T 2 2 |
|
1 T 2 2 |
||||||||||||||||||||
А) Амплитудно-частотная характеристика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k i |
|
k i |
|
|
|
|
|
|||||||
A( ) H (i ) H ( i ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i T |
1 i T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 T 2 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Б) Фазово-частотная характеристика
( ) arctg V ( ) arctg 1 U ( ) T
( )
ω
С) Амплитудно-фазовая характеристика строится как кривая в координатах (U,V ) . Кривую можно построить аналитически, исключив параметр ω из системы уравнений:
U |
|
kT 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
T |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
|
k |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
U |
|
|
|
2 2 |
kU |
|
2 |
U 2 |
|
2 2 |
kU |
|
||
|
|
|
k V (T 1) |
|
|
|
|
|
V U |
V |
|
0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
TV |
TV |
V T |
|
2 2 |
|
T |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T V |
|
|
|
|
|||
Окончательно получаем смещенную окружность
|
k 2 |
|
U |
|
|
|
||
|
2T |
|
V
U
V 2 |
|
k |
|
|
|||
4T 2 |
|||
|
|
ВАРИАНТЫ
9
1) Ty y kx(t) ,
3) y 5y 6y kx(t)
5) y 2y y kx(t)
7) Ty y kx(t)
9) y kx (t)
2)y 2y 2 y kx(t)
4)y a2 y kx(t)
6)y kx(t)
8)y kx(t) k1 x (t) 10) Ty y kx (t)
РГР 2. Z – преобразования и разностные уравнения
Литература
1.Казунина Г.А. и др. Дискретные и интегральные преобразования: КузГТУ.
– 1999
2.Казунина Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие [электронный ресурс].- КузГТУ.- 2009
Z -преобразованием для числовой (действительной или комплексной) |
||||||||||||||||||||
бесконечной последовательности an |
x n |
называют функцию комплексной |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
которая определяется |
как разложение |
|
в |
|
ряд |
Лорана в |
|||||||||
переменной X (z), |
|
|
||||||||||||||||||
окрестности бесконечно удаленной точки z |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (z) |
z |
n . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
функция |
x n |
является |
решетчатой функцией |
|
и |
|
удовлетворяет |
|||||||||||
условию |
|
|
|
|
Me |
n |
, |
то ряд Лорана |
сходится в области |
|
z |
|
e |
|
, то есть |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
вне круга с центром в начале координат и радиусом R e |
|
. Функция |
|
|
X (z) |
||
является в этой области аналитической функцией. |
|
|
|
Пример 1. Найти Z-преобразование функции x n A n , n 0 .
Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:
n
X (z) A zn
n 0
|
|
|
n |
|
|
||
A |
. |
||
n 0 |
|
z |
|
Так как данный ряд является геометрической |
прогрессией со знаменателем |
||||||
q |
|
и первым членом прогрессии, равным A |
|
|
|||
z |
, то сумма ряда равна: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Az |
|
|
|
X (z) |
z . |
||||
|
|
|
1 z |
|
|
||
Область сходимости ряда: z .
В дальнейшем будем обозначать соответствие между решетчатой функцией и ее Z- преобразованием следующим образом:
|
|
|
n |
|
Az |
|
X n X (z); A |
|
|
. |
|||
|
z |
|||||
Пример 2. Найти Z-преобразование для функции x n 1.
Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
z |
|
. |
X (z) |
zn |
1 |
z 1 |
|||||||
|
n 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||
1
Область сходимости ряда определяется соотношением: z 1 или
Полную таблицу преобразований найдете в указанной выше литературе.