Матика 2 курс / Специальные главы математики 140410(ЭАб)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y ln(1 9x ay)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

x tg(z y) 2x

11)y 9 12x 3e yz 3y

		x e x e3z

12)	y 4z 3sin(x y)
12)		z ln(1 z 3x)

2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение системы

является устойчивым

ВАРИАНТЫ

x y sin x

1)y ax by y2

x ax 2 y x2

2)y x y xy

x ln( e ax) e y

4)y bx tgy

РГР 10. Элементы вариационного исчисления. Экстремали.

Литература

Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс] / Н. М.

Гюнтер. – СПб.: Лань, 2009. – 320 с.

1. Задачи с закрепленными границами

Простейшей вариационной задачей называют задачу нахождения экстремума функционала

J ( y(x)) F(x, y(x), y (x)) dx

на множестве непрерывно дифференцируемых функций y (x) , заданных на отрезке a, b и удовлетворяющих условиям y (a) A, y (b) B .

Функция, которая доставляет экстремум функционалу, называется экстремалью. Если функция y (x) дважды непрерывно дифференцируема на

a, b и является экстремалью, то она необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера:

F d F 0 .

y dx y

В некоторых случаях решение уравнения Эйлера упрощается по сравнению с общим случаем

1.Функция F(x, y) в выражении для функционала явно не зависит от y : F(x, y) 0 ( это уравнение не является дифференциальным) ;

2.	Функция F( y ) зависит только от	y :		2 F	y 0 . Общим решением
2.	Функция F( y ) зависит только от	y :		y 2	y 0 . Общим решением
				y 2
	этого уравнения являются прямые линии y C1x C2

3.	Функция F(x, y ) не зависит от y :		F ( x, y )		C1
3.	Функция F(x, y ) не зависит от y :			y	C1
				y
4.	Функция явно F( y, y ) не зависит от x :

		F ( y, y )
	F ( y, y ) y				C1 .
	F ( y, y ) y		y		C1 .
			y

ВАРИАНТЫ (в скобках ответы)

Найти экстремали функционала, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

				2	y			y(0) y( ) 0
1)				2		2	)dx,
1)	I ( y) (4 y cos x ( y )						)dx,
	0
( y sin x(C x) )
	e		2
2)	I ( y) (2 y x	2	2	dx,	y(1) e, y(e) 0
2)	I ( y) (2 y x		( y )	dx,	y(1) e, y(e) 0

( y

ln x )

12xy)dx,

y(0) y(1) 0

3) I ( y) (( y )

( y x3 x )

ln 2

2 x

y(0) 0, y(ln 2)

15/ 8

I ( y) (( y )

dx,

( y e x e 3x )

Материальная

точка

перемещается

вдоль

плоской кривой y y(x),

соединяющей

точки

M 0 (0,0) и

M1 (1,1) со

скоростью v x . Найдите

кривую, двигаясь по которой материальная точка попадет из одной точки в

другую за наименьшее время. (Ответ: y

1 x 2

2.Задача о брахистохроне. Найдите плоскую кривую, соединяющую точки M 0 (0,0) и M1 (x1 , y1 ) , при скатывании вдоль которой под действием силы

тяжести материальная точка

наименьшее время. Ответ:

перемещается из M 0 (0,0) в M1 (x1 , y1 ) за

	C
x		(t sin t)
x	2	(t sin t)
	2
	C
y	C	(1 cost)
y		(1 cost)
	2

2.Задачи с подвижными границами

Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами состоит в определении функции , принадлежащей отрезку и точек

для которых функционал

достигает экстремума при условиях , Эту задачу можно сформулировать также следующим образом. Пусть на плоскости заданы гладкие кривые

Требуется найти такую гладкую кривую которая соединяет какуюлибо точку кривой с какой-либо точкой кривой и доставляет экстремум функционалу.

Рис 1.

Рассмотренная ранее задача, когда граничные условия были зафиксированы :

является частным случаем задачи с подвижными границами.

Поэтому искомая кривая должна быть экстремалью, то есть должна удовлетворять уравнению Эйлера :

Однако, в задаче с подвижными границами одно из условий

или оба эти условия отсутствуют. Поэтому для определения произвольных постоянных, возникающих при решении задачи, необходимы некоторые условия. Условия для нахождения произвольных постоянных в

задаче с подвижными границами называют условиями трансверсальности.

Найдем эти условия, взяв за основу необходимое условие существования экстремума функционала :

При этом будем считать, что кривая		является экстремалью.
Рассмотрим случай, когда одна из граничных точек закреплена :				а
другая может перемещаться вдоль кривой		Пусть	– кривая, близкая к
искомой	.
Запишем приращение функционала при переходе от			к точке

9x)

Рис.2.

Второй интеграл в этой сумме оценим по теореме о среднем

Приближенно можно считать

(2)

В первом интеграле этой суммы заменим приращение по переменным дифференциалом (или представим по формуле Тейлора для функции двух

переменных с точностью до линейных слагаемых):

С учетом того, что точка закреплена а искомая кривая удовлетворяет уравнению Эйлера :

получаем для вариации фукнционала выражение

С учетом того, что

Таким образом, необходимые условия существования экстремума

функционала записываются в виде:

(4)

При условии перемещения правой граничной точки по кривой получаем для вариации функции

Поэтому условия (4) имеют вид:

(5)

Полученное условие и называют условием трансверсальности.

Если левая граничная точка также перемещается по кривой , то добавляется аналогичное условие

(5a)

Частные случаи условий трансверсальности

1.Если одна из граничных точек, например, правая перемещается по горизонтальной прямой то и условие трансверсальности записываем как

(6)

2. Если задана абсцисса одного из концов, а граничное условие отсутствует,

то это	означает, что граничная	точка	может	перемещаться по
вертикальной прямой, например,		.	Тогда	вместо условия
трансверсальности записывают условие