Матика 2 курс / Дифференциальные уравнения 2б

1

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Кузбасский государственный технический университет»

Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина, Н.В. Трушникова, Н.М. Латыпова

МАТЕМАТИКА: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Рекомендовано в качестве учебного пособия учебно-методической комиссией специальности

140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»

Кемерово 2010

2

« Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»

Алексеев Дмитрий Валентинович, Казунина Галина Алексеевна, Трушникова Надежда Васильевна, Латыпова Наталья Минхадеевна. Математика: дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособие [электронный ресурс]: для организации самостоятельной работы студентов специальности 140604 « Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»/ Г.А. Казунина.- Электрон.дан.- Кемерово: КузГТУ, 2010.- 1 электрон. опт. диск (CDROM); 3в.; цв.; 12 см. – Систем. требования: Pentium IV; 0348 Мб; Windows 97-03; (CD-ROM дисковод); мышь. Загл. с экрана.

Последовательно и доступно изложен теоретический материал по обыкновенным дифференциальным уравнениям с элементами качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости для линейных и нелинейных систем согласно государственному образовательному стандарту и рабочим программам по дисциплинам « математика» и «специальные главы математики» для специальности 140604 « Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов». Теоретические положения сопровождаются большим количеством подробно разобранных задач.

ГУ КузГТУ

Алексеев Д.В. Казунина Г.А.

Трушникова Н.В. Латыпова Н.М.

3

ВВЕДЕНИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения - главный мост,

связывающий математику и ее приложения в технике и естествен-

ных науках.

Теория дифференциальных уравнений позволяет изучать все-

возможные процессы эволюции состояния изучаемой системы (во времени или в пространстве). В зависимости от конкретной иссле-

дуемой системы может встретиться один из двух принципиально различных случаев:

-число переменных, задание которых полностью определяет состояние системы, конечно;

-число переменных, задающих состояние системы, бесконеч-

но.

Второй случай является предметом теории дифференци-

альных уравнений в частных производных и далее не рассмат-

ривается. Первый случай служит предметом изучения излагаемой ниже теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Важность теории дифференциальных уравнений для приложе-

ний продиктована тем, что подавляющее большинство законов природы описывается математическими равенствами, содержа-

щими искомую функцию и ее производные. Например, закон

движения Ньютона

4

связывает искомую вектор-функцию, положение частицы X(t), и ее

d 2 X

dN (t)

производную по времени dt .

Равенства вида (В.1), (В.2) называются обыкновенными диф-

ференциальными уравнениями (строгое определение дается ниже).

ФАЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА,

ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Пусть состояние изучаемой системы полностью характеризу-

ется (в фиксированный момент времени) упорядоченным набором n функций X1 (t), X2 (t),…,Xn (t). Их можно считать координатами точки M (t) в n - мерном пространстве, положение которой и задается радиус-вектором X (t) = (X1 (t), X2 (t),…,Xn (t)).

Таким образом, имеем соответствие:

{состояние системы} {точка в пространстве}.

Пространство, точки которого изображают состояние систе-

мы, называется фазовым пространством.

В процессе эволюции системы точка в фазовом пространстве

5

совершает движение, описывающее изменение состояния системы.

Траектория точки в фазовом пространстве называется фазовой траекторией системы. Следовательно, фазовая траектория системы

задается некоторой вектор - функцией X (t) скалярного аргумента,

времени t.

Производная вектор-функции dX / dt X t , как хорошо из-

вестно, есть вектор скорости V, который является касательным век-

тором к траектории, годографу вектор - функции. Когда говорят о фазовом пространстве вектора скорости, принято использовать термин «фазовая скорость».

В общем случае фазовая скорость является функцией как состояния системы, так и времени, то есть V (X ,t). Такие функции называют векторным полем.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений – отыскание фазовой траектории системы по известному полю скоростей V (X ,t). Следовательно, значение в

фиксированный момент времени отождествляется с производной dX t / dt :

ражающей состояние системы в n-мерном фазовом пространстве, с n-мерным полем скоростей V (X ,t) называется дифференциаль-

ным уравнением порядка n.

6

Определение В.2.

Вектор-функция (t) , удовлетворяющая уравнениям:

называется решением дифференциального уравнения (В.3) с

начальным условием (t0 ) a .

Иногда для геометрической интерпретации решений диффе-

ренциальных уравнений бывает удобно расширить фазовое про-

странство на одно дополнительное измерение, добавив дополни-

тельную координату - время. Построенное таким образом n +1 -

мерное пространство, состоящее из точек X t , t , называется рас-

ширенным фазовым пространством.

Траектория состояния системы в расширенном фазовом про-

странстве называется интегральной кривой дифференциального

уравнения.

Суммируем изложенное:

-эволюция системы, описываемой обыкновенным диффе-

ренциальным уравнением, геометрически изображается движением точки в фазовом пространстве - фазовой траекторией, или в расши-

ренном фазовом пространстве - интегральной кривой;

-решить дифференциальное уравнение - значит найти фа-

зовую траекторию системы по заданному полю скоростей и извест-

ному начальному состоянию системы.

го фазового пространства соответствие между интегральными кри-

выми уравнения (В.5) и прямыми линиями, параллельными оси t,

интегральными кривыми уравнения (В.6). Однако, отыскание явно-

го вида преобразования координат Y X ,t эквивалентно реше-

нию исходного уравнения в явном виде (В.5) и является иногда за-

труднительным.

Важность данной теоремы состоит в том, что в случае выпол-

нения ее условий, гарантирующих непересечение фазовых траекто-

рий и интегральных кривых, можно на качественном уровне анали-

зировать общий вид решений дифференциальных уравнений, не прибегая непосредственно к аналитическому решению. Это осо-

бенно важно в тех случаях, когда исходное уравнение не может быть решено в замкнутой форме через известные функции и воз-

можно лишь его численное решение на ЭВМ.

9

1. АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Автономным уравнением первого порядка называется уравне-

ние

где X - обычная (скалярная) функция времени t.

Фазовое пространство такой системы - прямая линия (число-

вая ось ОХ), расширенное фазовое пространство - (t, X ) - плоскость,

фазовая траектория - отрезок фазовой прямой, интегральная кривая

- линия на плоскости (t, X ).

Фазовая скорость (поле направлений) V (X ) зависит только от состояния системы - положения точки на фазовой прямой. Если функция V (X ) дифференцируема - поле направлений гладкое.

ПРИМЕР 1.1. Проанализировать решение уравнения

функция. Согласно основной теореме, фазовые траектории и инте-

гральные кривые не пересекаются.

чем легко убедиться прямой подстановкой. Их фазовые траектории

- точки на фазовой оси, а интегральные кривые - прямые, парал-