Матика 2 курс / Дифференциальные уравнения 2б

31

Фазовое пространство системы (2.16) – плоскость (x1, x2), рас-

ширенное фазовое пространство - (x1, x2, t). При этом ось t перпен-

дикулярна фазовой плоскости.

Неподвижная точка (положение равновесия системы) x1= x2= 0 - начало координат фазовой плоскости, является особой фазовой траекторией. Соответствующая ей интегральная кривая - ось t в

пространстве.

Уравнение фазовой траектории, согласно (2.6) или (2.9), имеет

вид:

нение d dx1 / x1, решением которого являются кривые ln( Cx1)

или x2 x1 ln( Cx1) . Полученные фазовые траектории образуют фа-

зовый портрет типа «неустойчивый вырожденный узел». Решение уравнения (2.17), записанное в виде

x2 ln x1 ln C const C1, x1

задает первый интеграл системы:

где значение С определяется начальным состоянием системы

32

x0

H0 2 ln x10. x10

Поэтому фазовые траектории - линии уровня функции H(x1,x2).

Направление движения точки по фазовой траектории при возраста-

нии параметра t определяется непосредственно по направлению

x2

V

x1

Рис. 2.2. Фазовые траектории системы (2.16) (фазовые портреты типа «неустойчивый вырожденный узел»)

Направление движения «от неподвижной точки» свидетель-

ствует о неустойчивом характере положении равновесия.

ЗАДАЧА 2.1. Показать, что

1. Уравнения фазовых траекторий системы dxdt1 x1

33

dx2 2x2 dt

в окрестности неподвижной точки x1 = x2 = 0 имеют вид y = Cx2;

2.Первый интеграл системы H (x1, x2) = y / x2;

3.Фазовый портрет имеет тип «устойчивого узла» (рис 2.3).

x2

x1

Рис. 2.3. Фазовый портрет типа «устойчивый узел»

ЗАДАЧА 2.2. Показать, что

1. Уравнение фазовых траекторий системы dxdt1 x2

dx2 x1 dt

в окрестности неподвижной точки x1 = x2 = 0 имеет вид

x22 – x12 = C;

2. Первый интеграл системы H (x1, x2) = x22 – x12; 3. Фазовый портрет имеет тип «седло» (рис 2.4).

34

x2

x1

Рис. 2.4. Фазовый портрет типа «седло»

35

3.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

(Системы линейных дифференциальных уравнений)

3.1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим однородную линейную систему дифференциаль-

ных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

a11, a12, a21, a22:

dx1 a11x1 a12x2 d t

Покажем, что система (3.1) равносильна дифференциальному уравнению второго порядка. Выразим x 1 из второго уравнения си-

стемы:

и подставим в первое уравнение. Тогда первое уравнение примет вид

36

то есть является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

ПРИМЕР 3.1. Записать систему

dx2 x1 dt

в виде эквивалентного ей дифференциального уравнения.

Выражая x1, dx1 /dt из второго уравнения и подставляя в пер-

вое, имеем:

Покажем, что дифференциальное уравнение второго порядка эквивалентно системе двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение

Введем новую переменную dx2 / dt x1 , тогда

d 2x2 dx1 . dt 2 dt

37

Подставляя в исходное уравнение, получим

Тогда система, равносильная исходному уравнению, имеет вид

dx2 x1. dt

ПРИМЕР 3.2. Найти систему дифференциальных уравнений,

эквивалентную уравнению

d 2x2 2 dx2 x2 0 . dt2 dt

Обозначая dx2 / dt = x1 ; d 2x2 / dt2 dx1 / dt , получаем: dxdt1 2x1 x2

dx2 x1. dt