Матика 2 курс / Дифференциальные уравнения 2б
.pdf
151
Sq(S) q0 p(S);
Sp(S) p0 2q(S) 2 p(S) f (S)
изапишем систему неоднородных алгебраических уравнений для
нахождения Лаплас-образов q, p в матричной форме:
|
|
|
S |
|
1 |
q |
|
|
|
q |
|
|
|||
|
|
|
|
S 2 |
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|||
. |
|
|
2 |
p |
|
p |
|
|
f |
(П. 5.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
Решение системы (П. 5.5) получаем методом обратной матрицы: |
|||||||||||||||
q(S) |
|
1 |
|
(S 2 ) |
|
1 |
|
|
q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(П. 5.6) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
S 2 2 S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
. |
||
p(S) |
|
2 |
|
|
|
|
p0 f |
|
|||||||
Обратную матрицу G(S) называют Лаплас-образом фундаменталь-
ного решения или матрицей Грина
|
1 |
(S 2 ) |
1 |
|
|
||
G(S) |
|
|
|
2 |
|
. |
(П. 5.7) |
|
|
|
|||||
|
S 2 2 S 2 |
|
|
S |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Как видно из (П. 5.7), эта матрица определяется только уравнения-
ми движения и не зависит от начальных условий q0, p0 и внешней
силы f(t). Другими словами, |
зная матрицу G(S), можно найти |
Лаплас-образы q(S), p(S) |
при любых внешних силах и началь- |
ных условиях.
Обратное преобразование Лапласа для матрицы G(S)
g11(t) G(t)
g21(t)
g (t) |
|
|
12 |
|
(П. 5.8) |
|
|
|
g22 (t) |
|
|
называется матричной функцией отклика, фундаментальным реше-
нием или матричной функцией Грина. Матричные элементы
G S i, j являются Лаплас-образами матричных элементов gi, j (t) ,
152
которые, например при γ < ω, имеют вид (см. табл. П. 5.1)
g (t) e t cos t ( / )e t sin t ; |
|
||
11 |
|
|
|
g (t) (1/ )e t sin t ; |
|
||
12 |
|
|
(П. 5.9) |
|
|
(t) 2g (t); |
|
g |
21 |
|
|
|
12 |
|
|
g22 (t) e t cos t ( / )e t sin t.
Здесь 2 2 2 . Отметим, что матричные элементы удовле-
Ответ на этот вопрос гласит: |
|
|
- Постоянная A является Лаплас-образом функции |
Aδ(t), где |
|
δ(t) – дельта функция Дирака, определяемая формулами: |
|
|
(t t0 ) 0 при |
t t0 |
|
|
|
|
(t) (t t0 )dt |
(t0 ). |
(П. 5.11) |
|
|
|
Входящая в (П. 5.11) произвольная |
функция (t) должна обра- |
|
щаться в нуль на бесконечности. В частности, если (t) (t)e St ,
где
|
153 |
|
|
|
1, |
t 0 |
|
||
(t) |
t 0 |
, |
||
0, |
|
|||
- функция Хевисайда, из второй формулы (П. 5.10) получаем
L t t0 t t0 e St (t)dt (t0 )e St ,
|
|
|
(П. 5.11) |
L t |
|
|
|
lim (t |
0 |
)e St 1. |
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
В силу определения свертки любой функции с δ – функцией
(t1)F (t t1)dt1 F (t).
Решение уравнения затухающих вынужденных колебаний оконча-
тельно имеет вид
t
q(t) q11(t)q0 q12 (t)P0 q12 (t t1) f (t1)dt1;
0
t |
(П. 5.12) |
|
p(t) q21(t)q0 q22 (t) p0 q22 (t t1) f (t1)dt1. |
||
|
||
0 |
|
|
Формулы (П. 5.12) называются формулами (интегралами) |
||
Дюамеля. |
|
|
|
|
|
|
154 |
|
Таблица П. 5.1. Основные преобразования Лапласа |
|||||
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
f (S) = L (f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(t) |
1, t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 / S |
|
|
0, t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 / S |
|
|
|
|
||
(t) 0 |
при |
t 0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
1/(S ) |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
/(S 2 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
S /(S 2 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
f (S) = L (f) |
|
|
|
|
|
|
|
sh t |
|
|
|
/(S 2 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
ch t |
|
|
|
S /(S 2 2 ) |
|
e t sin t |
|
|
|
/ S 2 2 |
|
e t cos t |
|
S / S 2 2 |
|||
|
t |
|
|
|
1 / S2 |
|
|
|
|
|
|
|
t n |
|
|
|
n ! / S n+1 |
|
|
|
|
|
|
t n e α t |
|
|
|
n ! / (S – a) n+1 |
|
t sin t |
|
|
|
2S /(S 2 2 )2 |
|
|
|
|
|
||
t cos t |
|
|
(S 2 2 ) /(S 2 2 )2 |
||
|
|
|
|
||
(sin t t cos t) / 2 |
|
|
1/(S 2 1)2 |
||
e t sin( t ) |
cos S sin / S 2 2 |
||||
|
|
155 |
|
|
|
e t cos( t ) |
S cos sin / S 2 2 |
||||
df (t) / dt |
|
|
S F (S ) f (0) |
||
|
|
|
|||
d 2 f (t) / dt2 |
|
S 2 f (S) Sf (0) df (0) / dt |
|||
|
|
||||
d 3 f (t) / dt3 |
S3 f (S) S 2 f (0) Sdf (0) / dt d 2 f (0) / dt2 |
||||
|
|
||||
f (n) (t) |
S n f (S) S n 1 f (0) S n 2df (0)dt ... f (n 1) (0) |
||||
|
|
|
|
|
|
f (t ) |
|
|
e |
S |
f (S) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
e t f (t) |
|
|
f (S a) |
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
f (t1)g(t t1)dt1 |
|
|
f (S)g(S) |
||
0 |
|
|
|
|
|
f (0)g(t) |
Sf (P)g(P) |
t |
|
f ( )g(t )d |
|
0 |
|
156
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1.Романко, В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариаци-
онного исчисления [Текст]/В.К. Романко.- Москва-Санкт- Пе-
тербург: ФИЗМАТЛИТ, Невский Диалект, Лаборатория Базо-
вых Знаний, 2001.- 344с.
2.Романко, В.К. Сборник задач по дифференциальным уравне-
ниям и вариационному исчислению [Текст]/В.К. Романко,
Н.Х.Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко. - М: Лаборатория Базовых Знаний, ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, ФИЗМАТЛИТ, 2002.-
255с.
3.Эроусмит, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Качественная теория с приложениями /Д. Эроусмит, К.
Плейс.- М: Мир, 1986.- 241с.
4.Боголюбов, Н. Н. Митропольский Ю. А. Асимптотические ме-
тоды в теории нелинейных колебаний /Н.Н. Боголюбов, Ю.А.
Митропольский.- М.: Наука , 1978.- 340 с.
5.Мун, Ф. Хаотические колебания /Ф. Мун.-М.: Мир, 1990.-243
с.
|
157 |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
||
Введение |
3 |
||
1. Автономные уравнения первого порядка |
9 |
||
2. Автономные системы на плоскости |
|
||
(дифференциальные уравнения второго порядка) |
23 |
||
3. Линейные дифференциальные уравнения второго |
35 |
||
порядка с постоянными коэффициентами |
|
||
(системы линейных дифференциальных уравнений) |
|
||
3.1. Эквивалентность системы уравнений и |
|
||
дифференциального уравнения второго порядка |
35 |
||
3.2. Матричная запись системы линейных |
|
||
дифференциальных уравнений. Понятие |
|
||
качественной эквивалентности |
38 |
||
3.3. Исследование качественно различных типов |
|
||
линейных систем |
46 |
||
3.4. Алгоритм решения однородной системы |
64 |
||
3.5. Неоднородные системы |
69 |
||
3.6. Метод комплексных амплитуд |
74 |
||
3.7. Понятие об устойчивости решений |
|
||
линейных систем дифференциальных уравнений |
81 |
||
3.8. Нелинейные системы. Устойчивость по первому при- |
|
||
ближению |
87 |
||
4. Примеры анализа нелинейных уравнений порядка n 2 |
|
||
4.1. Осциллятор Ван дер Поля |
97 |
||
4.2. Вынужденные колебания в симметричном двухъямном |
|||
потенциале при наличии затухания |
108 |
||
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Некоторые сведения из линейной алгебры |
118 |
||
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. |
Дифференциальные уравнения и системы уравне |
|
ний порядка n 2 |
126 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. |
Комплексные числа |
138 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. |
Метод Хевисайда решения неоднородных |
|
линейных дифференциальных уравнений с постоянными |
|
|
коэффициентами |
143 |
|
158
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
156 |