Матика 2 курс / Дифференциальные уравнения 2б

121

ее характеристического уравнения.

ПРИМЕР П. 1.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

которая имеет множество решений. Обозначая x1 C , где C - про-

Поэтому в качестве второго собственного вектора можно взять век-

Справедлива теорема: матрицы, связанные преобразованием

подобия (эквивалентные матрицы), имеют одинаковые собственные значения. Другими словами, собственные значения матрицы явля-

ются основной характеристикой матрицы, которая не изменяется при переходе от одного базиса к другому. При этом простейший вид J , к которому может быть приведена матрица A при выборе соответствующего базиса, определяется характером собственных значений матрицы A и называется жордановой формой J матрицы

A. Матрицы A и J связаны преобразованием подобия

123

При этом возможны случаи:

0. Корни 1 2 действительные и раз-

ществует действительная матрица Т (DetT ≠ 0 ), переводящая мат-

рицу A к жордановой форме J . При этом вид матрицы J определя-

ется характером собственных значений матрицы A, согласно (П.

1.8) по таблице П.1.1

Таблица П.1.1. Действительные жордановы формы матрицы

n 2

Приравнивая элементы матрицы, стоящие на одинаковых местах,

получаем систему решений

Правильность нахождения Т можно проверить подстановкой в уравнение J= T-1AT.

126

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА n 2

Для определения произвольных постоянных C1,C2 ,. , Cn и

нахождения частного решения задают n начальных условий

В некоторых случаях порядок уравнения может быть понижен

путем введения новой переменной. Так если уравнение явно не со-

держит функцию y , то порядок легко понижается введением z y 1 t . Если уравнение явно не содержит независимую пере-

менную t , то для понижения порядка делаем подстановку y 1 z y dydt ;

y 2 dydz dydt z dydz .

ПРИМЕР П. 2.1. Дифференциальное уравнение порядка n 3

приводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися пе-

ременными zdz y 3dy ,

решением которого является функция:

Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

(2C1 y 2 1)1 (t C2 ). 2C1

ПРИМЕР П. 2.4. В уравнении третьего порядка

правую и левую часть уравнений можно представить как производ-

ные некоторых функций

Полученное уравнение второго порядка не содержит явно перемен-

ную у и приводится к уравнению первого порядка подстановкой y 1 z t ; y 2 z 1 t .

129

Покажите самостоятельно, что общее решение уравнения имеет вид

Общее решение однородного линейного уравнения порядка n с

постоянными коэффициентами:

e t (C1 cos t C2 sin t) .

Если комплексно-сопряженные корни имеют кратность r , то в общем решении присутствует слагаемое

130

e t Pr 1 t cos t Qr 1 t sin t .

ПРИМЕР П. 2.5. Найти решение уравнения

y 3 y 1 0

при условии y 0 3; y 1 0 1; y 2 0 1. Все корни характери-

стического уравнения действительные и различные

3 1 1 0;

1 0; 2 1; 3 1.

Поэтому общее решение имеет вид

yoo C1 C2et C3e. t

Покажите, что с учетом начальных условий частное решение имеет вид

yoo 2 e t .

ПРИМЕР П. 2.6. Для уравнения

y 3 3y 2 3y 1 y 0

характеристическое уравнение

3 32 3 1 1 3 0

yoo (C0 C1t C2t 2 )e t .

ПРИМЕР П. 2.7. Для уравнения y 4 y 0 характеристическое

уравнение