Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матика 2 курс / Дифференциальные уравнения 2б

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

В результате получаем, что решение неоднородной системы

(3.29) имеет вид

				t
		X eAt X 0 eAt e A F ( )d .			(3.30)
				0
Решение (3.30) состоит из двух частей:
X	00	eAt X	0	- общего решения однородной системы и
	00		0

X ч.н. e At e A F ( )d - частного решения неоднородной си-

стемы, зависящего от функций f1(t), f2 (t) .

Этот результат является общим. Сформулируем его как тео-

рему.

Теорема о структуре решения линейной неоднородной системы.

Решение неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений (или равносильного системе дифференциального урав-

нения) равно сумме общего решения однородной системы (уравне-

ния) и какого-либо частного решения неоднородной системы

(уравнения).

ПРИМЕР 3.8. Решение неоднородной системы по формуле

(3.30) подразумевает, что матрица e A t по алгоритму из примера

(3.7) уже получена. Поэтому для решения системы

dx1

2x 9x

e5t

dx2

при

начальных

условиях

матрицах

	2	9			5t
A			;	F (t) e		прежде всего находим собственные зна-
	1	8				прежде всего находим собственные зна-
	1	8			0

чения		матрицы		A :	1 2 0	5;	матрицу перехо-
		3 4				T 1	1	4
да	T			и обратную матрицу		T 1
да		1	1	и обратную матрицу			1	3	.
		1	1				1	3

Тогда матричная экспонента имеет вид
		3t	9t
e At TeJtT 1	1			.
	e5t
		t
			1 3t

Общее решение однородной системы:

X e At

1 3t

e5t

1 3t

Для

нахождения

X ч.н. найдем

обратную

матрицу e At заменой

на t

в выражении для матричной экспоненты

e A t

5t 1 3t

1 3t

Затем преобразуем подынтегральное выражение

				1 3	9	e	5	1 3
	A		5			e
e	A	F ( ) e	5
e		F ( ) e				0
					1 3	0

и находим интеграл

							3		2
t		t	1	3			3
t		t
	e A F ( )d							2
	e A F ( )d				d			2
								2
0		0
						2

В результате частное решение имеет вид

				3t		2
t	t


					2
0		t			2		.
		t

			2

1 3t

eAt

e5t

ч.н.

e A F ( )d e5t

1 3t

Полное решение исходной системы записывается в виде

					3t	2
1			t		3t
		3t	t
		3t			2		e5t
X (t)		e5t			2		e5t
	t			t	2
	t			t

				2

или

						3t			2
x t e5t 1			2t			3t				,
x t e5t 1			2t							,
1							2

				t	2
x		t e5t t		t				.
x		t e5t t		2				.
	2			2
	2

ЗАДАЧА 3.4. Найти решение системы

dx1 / dt 2x1 2x2 et dx2 / dt x1

по формуле (3.30).

3.6. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Это один из методов нахождения частного решения неодно-

родного уравнения в случае, если правая часть уравнения имеет вид

f (t) Asin( t ) ,	(3.31а)
f (t) Acos( t ).	(3.31б)

Рассмотрим вспомогательную функцию комплексного переменного

f (t) Aei( t ) A(cos( t ) i sin( t )),

где Re f (t) Acos( t ), Im f (t) Asin( t ).

При этом, если i не является корнем характеристиче-

ского уравнения, то частное решение подбираем в виде

Zч.н. Z ei t.

Здесь Z - комплексная амплитуда, которую нужно определить.

Если i является корнем характеристического уравнения кратности r , то частное решение подбирают в виде

Zч.н. tr Zei t .

При этом, если правая часть уравнения имеет вид (3.31а), то

Yч.н. Im Zч.н.

Если правая часть уравнения имеет вид (3.31б), то

Yч.н. Re Zч.н.

ПРИМЕР 3.9. Найдем решение уравнения

d 2 y 4 y cos 2t . dt 2

Шаг 1. Решаем соответствующее однородное уравнение


	d 2 y	4 y 0
		4 y 0
	dt 2
2 4 0;			2i.
Шаг 2. В данной задаче f t cos 2t и поэтому вспомога-
тельная функция f t e2it ; i 2i - корень кратности				r 1. По-
этому частное решение подбираем в виде

Zч.н. t Z e2it

dZч.н. Z e2it Z t 2i e2it dt

d 2Zч.н. 2iZe2it 2iZe2it 4Z t e2it . d t 2

Подставляя Zч.н. и d 2Zч.н. / dt 2 в исходное уравнение, и сокращая на

e2it 0, получаем

2iZ 2iZ 4Zt 4Zt 1

4iZ 1

Z 41i 4i .

Поэтому

Z		ti	2it	ti cos 2t i sin 2t	t sin 2t i cos 2t
Z	ч.н.	e				.
	ч.н.	4		4	4	.
		4		4	4

Поскольку правая часть уравнения имеет вид (3.31б), то полу-

чаем

Yч.н. Re Zч.н. 4t sin 2t ,

a решение уравнения запишем в виде

y t C1 cos 2t C2 sin 2t t / 4 sin 2t.

ЗАДАЧА 3.5. Покажите методом комплексных амплитуд, что частное решение уравнения

d 2 y	2	dy	y sin t
dt 2		dt

имеет вид

cos t

Yч.н. 2 .

ЗАДАЧА 3.6. Покажите, что решение уравнения

y(4) y(2) _	2cos t

при условиях y 0 2; y 0 1;	y 0 y	0 0 имеет вид

y t t t sin t 2 cos t .

ЗАДАЧА 3.7. Найдите частное решение уравнения вынужден-

ных колебаний

d 2x 2 dx 2 x Acos t dt2 dt 0

методом комплексных амплитуд в случае, если iω не является кор-

нем характеристического уравнения. Покажите что

X ч.н. Re Zч.н. A sin t 1 ,

где амплитуда вынужденного колебания

A					A


		(	2		2	)	2			2 2 ,
			2		2		2			2 2 ,
								4
	0
a фазовый сдвиг
						2			2
	arctg			0						.
1						2
						2

Постройте зависимость амплитуды вынужденных колебаний
от частоты внешнего воздействия :								A , которую называют ре-

зонансной кривой.

Обобщением метода комплексных амплитуд является метод подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части неоднородного уравнения f t . Как по виду функции f t

подобрать частное решение, показано в таблице 3.3.

Таблица 3.3. Подбор частного решения

Вид f t	Правило выбора		Вид Y t
			Вид Y t
	вида	Y	ч.н.
		ч.н.

а) λ = 0 – не является

корнем характери-

а) Q (t) b b t b t n

Pn t a0 a1t

стического уравне-

t n

ния

б) t rQ

(t)

б) λ = 0 – корень

кратности r

а) λ = α - не является

t e t

корнем характери-

а) Q

P t e t

стического уравне-

ния

t e t

б) t r Q

б) λ = α – корень

кратности r

а) λ=α ± ίβ - не явля-

ется корнем харак-

а) Qk (t) cos t

Qk (t)sin t

теристического

P t cos t

б)t

уравнения

(Qk (t) cos t

Pm t sin t

Qk (t)sin t)

б) λ= ± ίβ – корень

k max( m, n)

кратности r

а) λ= ± ίβ - не явля-

ется корнем харак-

(t) cos t

а) e t

теристического

(t) sin t

at Pn t cos t

уравнения

б) t

r t (Qk (t) cos t

e P t sin t

(t) sin t)

б) λ=α ± ίβ - корни

характеристического

k max( n, m)

уравнения кратности

При этом для линейных систем справедлив принцип супер-

позиции, который заключается в следующем. Если правая часть является суммой нескольких функций специального вида

f1 t f2 t f (t) ,

то X ч.н. X ч(1.н). X ч(.2н). ,

где

X ч(1.н). и

X ч(.2н). подбираются отдельно.

Так частное решение уравнения

d 2 X

X sin t t f

t f

dt 2

следует искать как сумму

Xч.н. t ( Asin t B cos t) Ct D,

где решения

X (1)

t(Asin t Bcos t);

X (2)

Ct D

ч.н.

находятся из уравнений

d 2 X

X sin t f

t ,

dt 2

d 2 X

X t f

dt 2

ПРИМЕР 3.10. Решить уравнение

d 2 X

2 X te t

dt 2

X (0)

dX (0)

Шаг 1. Решаем однородное уравнение

d 2 X

2 X 0 ;

dt 2

2 2 2 0;

1,2

1 i ;

e t (C

cos t C

sin t) .

Шаг 2. По виду правой части

f t te t P t e t ;

со-

гласно табл. 3.3 подбираем частное решение в виде

Xч.н. Q1(t)e t

( At B) e t ,

так как 1 не корень характеристического уравнения.

Для нахождения коэффициентов А, В находим

dX ч.н. / dt и

d 2 Xч.н. / dt 2 , подставляем

X ч.н. (t) ,

dX ч.н. (t) / dt , d 2 X ч.н. (t) / dt 2 в ис-

ходное уравнение. В результате после тождественных преобразова-

ний получаем

		At B t.
Откуда A 1,	B 0	и X ч.н. te t .

Шаг 3. Решение исходного уравнения записываем в виде

X X 00 X ч.н. e t (C1 cos t C2 sin t) te t .

Постоянные C1 и C2 находим из начальных условий. Оконча-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Матика 2 курс

#
10.05.20152.24 Mб22Дифференциальные уравнения 2б.pdf
#
10.05.20151.59 Mб38Специальные главы математики 140410(ЭАб).pdf
#
10.05.201521.98 Кб11структура и содержание дисциплины.docx
#
10.05.20154.36 Mб43Фурье Лаплас.doc
#
10.05.2015266.24 Кб26ЭА спец глав матем практика.docx