16

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Кузбасский государственный технический университет

имени Т. Ф. Горбачева»

Г. А. Казунина

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

направление подготовки 140400.62

профиль 140410 «Электропривод и автоматика»

Методические указания к практическим занятиям

Рекомендовано учебно-методической комиссией направления

140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»

Кемерово 2013

Рецензенты:

Жирнова Т. С. – доцент кафедры математики

Каширских В. Г. – председатель учебно-методической комиссии направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»

Казунина Галина Алексеевна. Специальные главы математики. [Электронный ресурс]: методические указания к практическим занятиям для студентов направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника», профиль 140410 «Электропривод и автоматика» очной формы обучения / Г. А. Казунина - Электрон.дан.- Кемерово: КузГТУ, 2013. ‑ Систем. требования: ПК, поддерживающий Microsoft Windows–97 и выше, ‑ Загл. с экрана.

Содержит примерные задания для практических занятий. Включает необходимые справочные материалы, ответы к задачам, контрольные вопросы, список литературы Предназначено для организации работы студентов под руководством преподавателя на практических занятиях с целью овладения студентами математических методов решения задач.

КузГТУ

Казунина Г.А.

Введение

Представленные методические указания направлены на организацию работы студентов на практических занятиях при изучении дисциплины «Специальные главы математики» с целью закрепления теоретического материала, формирования навыков и умений решения математических и инженерных задач, построения математических моделей процессов.

В качестве теоретического материала следует опираться на литературу, список которой приводится в конце методических указаний.

Рабочей программой дисциплины предусмотрен 34 часа (0,944 ЗЕ) практических занятий в 3 семестре (2 курс).

Практическое занятие 1. Запись решений линейных дифференциальных уравнений и систем в теории управления. Передаточная функция. Импульсная и переходная характеристики. Запись решений линейных дифференциальных уравнений при помощи свертки.

Литература [1, 11]

Задачи.

Для динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями, найти следующие характеристики:

1. Передаточную функцию - отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях

2. Импульсную переходную характеристику систем

( реакцию системы на импульсное входное воздействие)

3. Переходную характеристику системы (реакцию системы на ступенчатое воздействие)

4. Найти реакцию системы на входное воздействие двумя способами а) операторным методом, б) методом свертки

А)

В)

5. Найти частотную передаточную функцию , а также

А) амплитудно – частотную характеристику

В) фазово-частотную характеристику

.

С) Постройте графики функций . Примечание: последний график можно построить как функцию параметра ω, используя компьютер.

1) , 2) , 3)

Практическое занятие 2. Z-преобразования. Прямое и обратное преобразования. Решение разностных уравнений и систем.

Литература [1,11]

Теоретические сведения.

Некоторые свойства преобразований:

1. ,

2. 

Z - ИЗОБРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ ФУНКЦИЙ

	1
1
n

Задачи. Решите разностные уравнения и системы:

1. 

Ответ: .

2. Ответ:.

Практическое занятие 3. Случайные процессы. Примеры случайных процессов. Корреляционная функция. Спектральная плотность.

Литература [2,10,11]

Задачи.

1. По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса найти

а) спектральную плотность :

б) время корреляции (эффективную длительность автокорреляционной функции)

,

с) эффективную ширину спектра :

д) среднюю мощность случайного процесса (дисперсию)

1) 2)

2. По заданной спектральной плотности стационарного случайного процесса найдите:

а) автоковариационную функцию

б) дисперсию (среднюю мощность случайного процесса)

с) эффективную ширину спектра:

Практическое занятие 4. Преобразование стационарных случайных процессов линейными системами

Литература [2,10,11]

Задачи.

На вход линейной динамической системы подается случайный сигнал, заданный спектральной плотностью или автоковариационной функцией. Найдите характеристики сигнала на выходе системы: , , среднюю мощность случайного процесса. Сравните дисперсии (средние мощности) на входе и выходе системы: и , сравните эффективную ширину спектра и эффективное время корреляции на входе и выходе системы. При решении задачи используйте связь между спектральной плотностью на входе и выходе системы:

Дифференциальные уравнения линейных систем:

1)

2)

Возможные входные сигналы:

а) белый шум,

б) низкочастотный белый шум

и ,

с) сигнал с автоковариационной функцией

,

д) сигнал с автоковариационной функцией

Практическое занятие 5. Автономные линейные дифференциальные уравнения и системы. Фазовая плоскость. Фазовые портреты. Качественная эквивалентность.

Литература [3,8,11]

Задачи.

1.Построить фазовые портреты для автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Разбить уравнения на классы качественно эквивалентных и для каждого класса схематично построить интегральные кривые:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

2.Для приведенными дифференциальных уравнений найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично постройте их

1) 2)

3) 4)

Практическое занятие 6. Анализ качественно различных систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Литература [3,8,11]

Задачи.

Для приведенных дифференциальных уравнений выполнить действия:

а) преобразовать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в равносильную систему линейных уравнений и записать в матричной форме,

б) найти собственные значения матрицы системы и определить по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета,

в) сделать вывод об устойчивости нулевого решения.

1) 2)

3) 4)

Практическое занятие 7. Решение однородных линейных систем линейных дифференциальных уравнений при помощи матричной экспоненты.

Литература [3,8,11]

Задачи.

Решите однородные системы линейных дифференциальных

уравнений второго порядка различными методами

а) с использованием матричной экспоненты

б) операторным методом. Начальные условия заданы в момент

1) 2) 3)

Практическое занятие 8. Решение неоднородных линейных систем линейных дифференциальных уравнений при помощи матричной экспоненты.

Литература [3,8,11]

Задача.

Решите неоднородную систему, используя метод матричной экспоненты: .

Практическое занятие 9. Контрольная работа «Матричные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений».

Литература [3,5,13,14]

Содержание работы: 1. Решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи матричной экспоненты, 2. Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи матричной экспоненты.

Практическое занятие 10. Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений и систем. Критерий Гурвица. Критерий Михайлова.

Литература [3,6,8,11]

Задачи.

1. Исследуйте устойчивость нулевое решение для линейных дифференциальных уравнений и систем, используя критерии а) Гурвица

б) Михайлова

1. ,

2) , 3)

2. Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение асимптотически устойчиво

1. 

2. 

Практические занятия 11-12. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению. Геометрические методы анализа устойчивости.

Литература [3,6,7,8,11]

Задачи.

1.Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференциальных уравнений:

а) найдите положения равновесия (неподвижные точки)

б) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой неподвижной точки и определите характер неподвижных точек

с) схематично постройте фазовые траектории в окрестности положений равновесия. В том случае, если неподвижная точка является центром, проведите дополнительные исследования.

1. 2)

3) 4)

5) 6)

2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение системы является устойчивым

1. 2)

Практическое занятие 13. Защита расчетно-графической работы по теме 4

«Элементы теории устойчивости» (РГР № 7, 8, 9).

Вопросы, выносимые на защиту:

1. Понятие устойчивости линейных систем. Критерий Гурвица.

2. Логарифмический вычет и принцип аргумента для функции комплексного переменного. Применение принципа аргумента к исследованию на устойчивость линейных систем на примере критерия устойчивости Михайлова.

3. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению. Теорема о линеаризации.

Литература [3,6,8,11]

Практическое занятие 14. Вариационное исчисление: уравнение Эйлера, экстремали

Литература [7,11]

Задачи.

Найти экстремали функционала, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

1. 

(Ответ:)

2. 

(Ответ:)

3.Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и со скоростью . Найдите кривую, двигаясь по которой материальная точка попадет из одной точки в другую за наименьшее время. (Ответ: )

Практическое занятие 15. Вариационное исчисление: задачи с подвижными границами

Литература [7,11]

Задачи

Найти экстремали в задачах с подвижными границами

1. 

()

2. 

()

Практические занятия 16-17. Максимум Понтрягина.

Литература [7,11]

Задачи.

1.Объект управления задается уравнением . Определите алгоритм оптимального управления, который обеспечит перевод объекта из начального состояния в конечное состояние за минимальное время . Определите число и моменты переключений. Постройте кривую управления, кривые , фазовые траектории. Заданы параметры .

2.Объект управления задается уравнением

.

Определить алгоритм оптимального управления, который обеспечит перевод объекта из начального состояния в конечное состояние за минимальное время при условии . Определите число и моменты переключений. Постройте фазовый портрет и графики функций

Основная учебная литература, включая книги издательства «Лань»

1.Казунина, Г. А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009. – Режим доступа: http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=90368&type=utchposob:common

2. Свешников, А. А. Прикладные методы теории случайных функций [электронный ресурс] / А. А. Свешников .– СПб.: Лань, 2011. – 464 с.

3. Алексеев, Д. В. Математика. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, Н. В. Трушникова, Н. М. Латыпова; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2010. . – Режим доступа: http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=90412&type=utchposob:common

Дополнительная учебная литература

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс] / Б. П. Демидович.– СПб.: Лань, 2008. – 480 с. .–Режим доступа http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=123

5. Казунина, Г.А. Математика: элементы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для вузов [текст] / Г.А. Казунина, Г.А. Липина, Л.В. Пинчина; ГУ КузГТУ. –Кемерово, 2003. – 104 с.

6. Аграчев А. А. Геометрическая теория управления [электронный ресурс] / А. А. Аграчев, Ю. Л. Скачков. – М: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 336 с.

7. Гюнтер, Н. М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс] / Н. М. Гюнтер. – СПб.: Лань, 2009. – 320 с.

8. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения [текст] / В. И. Арнольд. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

9. Вентцель, Е. С. Теория вероятности [текст] / Е. С. Вентцель. – М.: Высш. шк., 1999. – 575 с.

10. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3: теория вероятностей и математическая статистика [текст]/ под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. – 425 с.