Матика 2 курс / Специальные главы математики 140410(ЭАб)

41

f z w u iv

При однократном обходе точки z a против часовой стрелки по контуру вектор w f z совершает вокруг начала координат на плоскости w число полных оборотов, равное кратности нуля n .

Таким образом, если функция f z не имеет полюсов в некоторой области, то число нулей функции f z в этой области совпадает с числом полных оборотов вектора w f z вокруг начала координат w 0 .

Критерий устойчивости Михайлова

Многочлен степени n

P z z n a1 z n 1 a2 z n 2 ... an 1 z an

является аналитической функцией на всей комплексной плоскости за исключением бесконечно удаленной точки. Для асимптотической устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений требуется, чтобы все корни характеристического многочлена лежали в левой полуплоскости. Следовательно, существует связь между критерием устойчивости и принципом аргумента, связывающим число нулей многочлена в некоторой области с приращением аргумента логарифмической функции (числом оборотов) при обходе вдоль границы области. При этом граница левой полуплоскости определяется равенством Re z 0 и проходит через единственную особую точку функции P z z . При движении вдоль мнимой оси z i на плоскости z отi до i на плоскости w P z получим некоторую кривую – образ мнимой оси, называемую кривой (или годографом) Михайлова. Эту кривую всегда можно построить по точкам, выделив у функции P z реальную и мнимую части после подстановки z i :

P z P i u iv .

Пример. Построим кривую Михайлова для многочлена

P z z3 z 2 4z 1.

Заменяя z i , получаем

V

0;3

3;0

При построении использовали свойства кривой Михайлова, характерные для многочленов с действительными положительными коэффициентами:

1. Кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси V 0 , так

действительной оси.

2.Начало ветви 0 лежит на положительной действительной полуоси, т.е.

U 0 0 , V 0 0 .

3.Кривая проходит через начало координат w 0 тогда и только тогда, когда точка z i является нулем многочлена P z .

Имеет место следующая теорема.

Если многочлен P z с действительными коэффициентами не имеет корней на мнимой оси, то число оборотов радиус-вектора кривой Михайлова

43

корней, то критерий устойчивости формируется следующим образом:

для устойчивости многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего корней на мнимой оси, необходимо и достаточно, чтобы радиусвектор кривой Михайлова при изменении от 0 до повернулся

против часовой стрелки на угол

2 n .

Другими словами, радиус-вектор P i , начиная с вещественной полуоси, должен повернуться на число квадрантов, равное порядку уравнения.

n 1

полуплоскости (многочлен Гурвица), так как построенная кривая Михайлова при изменении проходит последовательно три квадранта. Таким образом, рассмотренный ранее многочлен третьего порядка

1.Исследуйте устойчивость нулевое решение для линейных дифференциальных уравнений и систем, используя критерии а) Гурвица б) Михайлова с) анализируя знак вещественных частей собственных значений

матрицы (если это возможно).

44

1)y( 4) 3y 4 y 3y y 0 ,

2)y 6y 11y 6y 0,

3)3y( 4) 4 y 3y 3y y 0

2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение асимптотически устойчиво

1)y ay by 2y 0

2)y( 4) 2 y 4 y ay by 0

3)y( 4) ay 4 y by y 0

4)y( 4) ay 4 y 2 y by 0

РГР 8,9. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению.

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. , Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

Во многих практически важных случаях системы дифференциальных

уравнений, описывающие реальные объекты, являются нелинейными

45

тo есть функции V1 x1 , x2 , V2 x1 , x2 не являются линейными функциями своих аргументов. Главным методом изучения поведения решения такой системы в окрестности положений равновесия является метод линеаризации -

47

Первое линейное приближение исходной системы записывается в виде

~2 2x1 2 x2 o(x2 ) o(x1) ~ 2x1 x2 o(x2 x1).

Врезультате получаем линейное приближение исходной системы, которое совпадает с полученным выше

На вопрос: в какой мере решение линейной системы (3.35), полученной линеаризацией исходной системы вблизи неподвижной точки, соответствует решению нелинейной системы вблизи этой точки отвечает теорема о линеаризации. Эта теорема устанавливает связь фазового портрета нелинейной

48

системы в окрестности неподвижной точки с фазовым портретом ее

линеаризации.

Теорема о линеаризации.

Если нелинейная система имеет неподвижную точку в начале координат

( Det A 0 ), то в окрестности этой точки фазовые портреты системы и фазовые портреты ее линеаризации качественно эквивалентны, если только неподвижная точка не является «центром».

Если неподвижная точка линеаризации является «центром», то фазовый портрет исходной нелинейной системы будет «центром» или «фокусом». Для наличия «центра» необходимо, чтобы фазовые траектории исходной системы имели ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. Последнее требование равносильно требованию того, чтобы уравнение

V1(x1, x2 ) dx1 V2 (x1 , x2 ) dx2

не изменилось при замене x1 на -x1 (или x2 на x2 ).

ПРИМЕР. Исследовать устойчивость решения нелинейной системы

вблизи неподвижной точки.

Решая систему уравнений

e(x1 x2 ) x2 0

x1 x1x2 0,

находим, что неподвижной точкой системы является точка

x1 1.x2 1

49

Рассмотрим отклонение системы от положения равновесия, вводя новую

переменную

Далее можно использовать разложение Маклорена для показательной функции с точностью до бесконечно малых первого порядка

e u1 u2 ~ 1 u1 u2.

И, оставляя во втором уравнении только линейное слагаемое, получаем линеаризацию системы

Заметим, что линеаризацию можно получить и по формуле с использованием частных производных

что неподвижная точка x1 1; x2 1 исходной нелинейной системы и ее

50

линеаризации является неустойчивым положением равновесия. Фазовый

портрет относится к типу «седло».

1.Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференциальных уравнений:

а) найдите положения равновесия (неподвижные точки)

б) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой неподвижной точки и определите характер неподвижных точек

с) схематично постройте фазовые траектории в окрестности положений равновесия. В том случае, если неподвижная точка является центром, проведите дополнительные исследования.