Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матика 2 курс / Специальные главы математики 140410(ЭАб)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

	A		5	1 3	9			5	1 3
e	A	F ( ) e	5			e
e		F ( ) e

							0
					1 3		0

и находим интеграл

							3		2
t		t	1	3			3
t		t
e	A							2
	A							2
		F ( )d			d			2
0		0
0		0
						2

В результате частное решение имеет вид

				3t		2
t	t


					2
0		t			2		.
		t

			2

5t 1 3t

Xч.н. e

F ( )d e

1 3t

Полное решение исходной системы записывается в виде

1 3t

X (t)

t 2

или

x t

e5t 1 2t

t e5t t

ВАРИАНТЫ:

				32
	x y			x x y
1)		e t	2)
y x et		e t	y 3y 2x 2(t 1)et

		x 5x y		1,	y(0) 6
3)			, x(0)	1,	y(0) 6
	y x 3y 36e2t

3. Проанализируйте линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

а) перепишите дифференциальные уравнения высших порядков в равносильную систему уравнений первого порядка.

б) запишите систему в матричной форме.

в) найдите собственные значения и жорданову форму матрицы системы.

г) установите, из каких элементарных блоков более низких порядков

формируется жорданова форма.
ВАРИАНТЫ:
1) y 8y 0	2) y( 4) y 0	3) y 3y 2y 0

РГР 7. Элементы теории устойчивости. Устойчивость линейных систем. Критерии Гурвица, Михайлова

Литература

1.Алексеев Д.В., Казунина Г.А. , Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

3.Казунина Г.А. и др. Элементы теории функций комплексной переменной: учеб. пособ. – КузГТУ.- 2008

Во многих задачах, например, при создании конструкций, автоматических

устройств важно знать не только

конкретное решение задачи

(дифференциального уравнения) при заданных начальных условиях, но и характер поведения решения при изменении начальных условий. Если сколь угодно малые изменения начальных условий X 0 способны сильно изменить решение системы

dXdt AX ,

то решение системы не имеет никакого значения и даже приближенно не описывает изучаемое явление. Такое решение называется неустойчивым.

Устойчивым называют такое решение (или положение равновесия

системы), когда малое изменение начальных условий X 0 влечет малые изменения решения системы. При этом вопрос об устойчивости решения системы X t сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения при

нулевых начальных условиях.

В тех случаях, когда положение равновесия системы (неподвижная точка)

не совпадает с началом координат (пусть это будет точка X 0 (t)), параллельный

перенос координат	x	t x0	t z	смещает неподвижную	точку в
	i	i
начало координат новой системы.
Нулевое решение		системы X 0		при нулевых начальных	условиях

X t0 X 0 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0

можно указать такое ( ) 0 , что из неравенства

X (t0 )

при всех t t0 следует

X (t) ,

			- норма матрицы.
где обозначение	X (t)	xi2

Другими словами, решение системы устойчиво, если матрица-решение

X t, t0 ограничена при t . Если, кроме того,

lim X (t) 0,

t →∞

то решение системы называют асимптотически устойчивым.

Теорема об устойчивости решений.

Решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений

являются:
1) асимптотически	устойчивыми,	если	действительные	части
собственных значений матрицы A строго отрицательны

Re i 0 ;

2)устойчивыми, если действительные части собственных значений матрицы A неположительны: Re 0 ;

3)неустойчивыми, когда среди собственных значений матрицы A имеется хотя бы одно с Re 0.

Утверждения этой теоремы обобщают полученные в предыдущих главах результаты исследования характера устойчивости нулевых решений (положений равновесия) для систем второго порядка .

Вид собственных значений матрицы A второго порядка определяет характер фазового портрета в окрестности положения равновесия. При этом все устойчивые положения равновесия соответствуют условиям Det А > 0, Sp А ≤ 0

(при условии Sp А < 0 положение равновесия асимптотически устойчиво) и

собственные значения матрицы A удовлетворяют условию:

Re 0 .

ПРИМЕР. Система

dxdt1 3x1 2x2 dxdt2 2x1 x2

имеет неподвижную точку (положение равновесия) в начале координат x1 0; x2 0 .

3		2
По матрице системы A
	2	1
	2	1

cразу видно, что нулевое решение будет асимптотически устойчивым, так как

SpA 2 0; DetA 1 0 . Найдя собственные значения матрицы

1 2 0 1 0 , убеждаемся в справедливости теоремы и уточняем характер фазового портрета - «устойчивый вырожденный узел».

ПРИМЕР. Система

		0	0	1

с матрицей	A	1	0	0
с матрицей			8
		0		0
		0		0

dxdt1 x3

dx2 x1 dt

dx3 8x2 dt

также имеет положение равновесия в начале

координат x1 x2 x3 0 . Собственные значения матрицы A , найденные из уравнения

	0	1
	0	1
1		0	3 8 0,
0	8

1 2; 2,3 1 3i cвидетельствуют о неустойчивом характере решения

(0, 0, 0), так как имеются собственные значения, для которых реальные части

положительны Re 2

Re 3 1 0.

Втеории матриц существуют теоремы, которые позволяют сделать вывод

ознаке Re , не находя собственных значений непосредственно. Например,

имеет место

Критерий Рауса-Гурвица.

Действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

Если характеристическое уравнение матрицы имеет вид

n a1 n 1 a2 n 2 ... an 1 an 0,

то матрица Гурвица - это матрица вида

a	1		0		0	......	0	0	0 ......	0
1
a3	a2		a1		1	......	0	0	0 ......	0
a	a	4	a	3	a	a 1	0	0	0 ......	0	.
5		4		3	2	1
					2	1
.... ...... ......					.....		....... ......
					...... ....... .... ......
.... ...... ......					...... ....... .... ......					an

Критерий Рауса-Гурвица требует, чтобы выполнялись условия

a1	0;		a1	1	0;
a1	0;		a3	a2	0;
			a3	a2
		a1		1	0
		a1		1	0
		a3		a2	a1	0.
		a5		a4	a3

Для уравнения порядка n 3 характеристическое уравнение имеет вид

3 a1 2 a2 a3 0 .

Матрица Гурвица имеет вид

a1a3a5

1	0

a2	a1	,
a4	a3
a4	a3

а условием устойчивости является требование

ПРИМЕР. Проверить, при каких значениях параметров a и b нулевое

решение уравнения

d 3 y

d 2 y

2 y 0

dt 2

dt 3

aсимптотически устойчиво.

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения и равносильной ему системы имеет вид

3 a 2 b 2 0 .

Здесь коэффициенты a1 a; a2		b;		a3 2 . Матрица Гурвица
a		1	0

	2	b	a	.
	0	0	2
	0	0	2

Условие устойчивости имеет вид

a 0;	a	1	0;		a	1	0	0 ;

					2 b		a
	2	b			0	0	2

ab 2 0;				2 ab 2 0;

		b	2	;	ab 2.
		b	a	;	ab 2.
			a
Таким образом, нулевое решение будет асимптотически устойчиво при
условии a 0;	b 0;	ab 2 .

Логарифмический вычет и принцип аргумента

При рассмотрении вопроса об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений главным является вопрос о числе корней характеристического многочлена линейной системы в некоторой области. Так для асимптотической устойчивости решений линейной системы

dx AX

необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения матрицы системы

n a1 n 1 a2 n 2 ... an 1 an 0

лежали в левой полуплоскости, т.е. выполнялось условие

Re i 0 .

Один из способов решения этой задачи основан на результатах теории функций комплексного переменного, а именно на понятии логарифмического вычета и принципа аргумента.

Рассмотрим теорему.

Пусть функция комплексного переменного f z аналитична в области G за исключением конечного числа полюсов. Область D G и ограничена контуром C . Функция f z не имеет на контуре C ни нулей, ни полюсов.

Тогда справедливо
1
			f z	dz N P ,
	2 i
		C	f z

где N – число нулей, а P – число полюсов функции f z в области D с учетом их кратности.

Для доказательства покажем, что число z a , которое является нулем кратности


n для функции f z , для отношения	f z	является простым полюсом.
	f z

Действительно, в силу условия

4. f z z a n z ; a 0 .

Тогда получаем

n z a

z z a z

n z

n 1

f z

z a n z

z a

Поскольку второе слагаемое в этой формуле является функцией, аналитической в точке z a , то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки имеет вид

	n

f z		Cn z a n .
f z	z a
		n 0

Из разложения следует, что главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое и поэтому точка z a является простым полюсом, а вычет в этой

точке совпадает с коэффициентом C 1 и равен кратности:

f z

n .

res

f z

z a

f z полюсом

Далее покажем, что если число z b является для функции

порядка k , то для функции

f z

оно является простым полюсом.

f z

Действительно, по принятому условию

f z

g z

; g b 0 .

z b k

Тогда справедливо соотношение

g z g z z b

g z

f z

k z b

k 1

g z z b k

f z

z b

g z

k Cn z b n

z b

n 0

в силу аналитичности функции

g z

в точке

z b . Из вида полученного

g z

разложения в ряд Лорана следует, что главная его часть содержит только один

член ряда и поэтому точка z b является для функции f z простым полюсом.

f z

Вычет функции в этой точке совпадает с коэффициентом С 1 и равен порядку полюса, взятому со знаком минус:

f z

k .

res

f z

z b

Далее по теореме о вычетах находим контурный интеграл

f z

2 i res

N P ,

2 i

f z

2 i

k 1

f z

где

N n1 n2 ... nr – число нулей с учетом кратности,

P k1 k2 ... km – число полюсов с учетом их порядка.

Следствием этой теоремы является соотношение, называемое принципом аргумента:

1 С arg f z N P , 2

где C f z – приращение аргумента функции f z при обходе кривой C в

положительном направлении.

Действительно, по условию f z аналитична на кривой C и не имеет нулей на этой кривой: f z 0 . Следовательно, в некоторой окрестности кривой C можно выделить аналитическую ветвь функции ln f z . С учетом того что

ln f z

, получаем для интеграла по контуру

f z

d ln f z

C ln f z .

2 i

f z

Здесь C ln f z – приращение функции ln f z при обходе замкнутого контура С в положительном направлении. Поскольку ln f z ln f z i arg f z , где ln f z – однозначная функция. Приращения логарифма модуля С ln f z 0 , и все приращения функции f z совпадает с приращением аргумента:

C ln f z i C arg f z .

Сучетом же полученного выше соотношения, выражающего интеграл

1f z

f z dz через число нулей и полюсов получаем:

C						C arg f z
1			f
				z
					dz		N P .
	2 i		f z			2
		C

Если функция f z не имеет полюсов в области, охваченной контуром C , т.е.

P 0 , справедливо						C arg f z
1			f
				z
					dz		N .
	2 i		f z			2
		C

Другими словами, приращение аргумента, разделенное на 2 , при обходе

контура C совпадает в этом случае с числом нулей функции f z в этой области,
ограниченной контуром.
Выясним геометрический смысл выражения
	С arg f z		.
	2		.
	2
Рассмотрим наряду с комплексной плоскостью z				плоскость комплексного
переменного w f z . Каждый нуль функции		f z		z a переходит в начало
координат w 0	на комплексной плоскости w . Пусть z a окружена малым
простым замкнутым контуром . Тогда в плоскости w этому контуру
соответствует замкнутый контур (возможно с точками самопересечения),
охватывающий начало координат w 0 .
z			w		v
z	y


	a
				0		u
						u

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Матика 2 курс

#
10.05.20152.24 Mб22Дифференциальные уравнения 2б.pdf
#
10.05.20151.59 Mб38Специальные главы математики 140410(ЭАб).pdf
#
10.05.201521.98 Кб11структура и содержание дисциплины.docx
#
10.05.20154.36 Mб42Фурье Лаплас.doc
#
10.05.2015266.24 Кб26ЭА спец глав матем практика.docx