5) Поправки δ в разность долгот λ – ℓ,
где ℓ – неизвестная разность долгот точек Q1иQ2на эллипсоиде
λ - разность долгот на шаре
( λ – ℓ) = δ = { α σ + β [sin2(σ1 + σ0) -sin2σ1] }sinA0.
На втором этапе задача решается на шаре
1) вычисление приведенной широты U2точкиQ2
sin U2 = sin U1cos σ + cos U1 cos A1 sin σ
2) вычисление разности долгот λ точек Q1иQ2 на шаре
sin A1 sin σ
tg λ = --------------------------------------------
cos U1 cos σ - sin U1sin σ cos A1
При вычислении значения λ следует руководствоваться правилом:
-
Знак sin A1
+
+
-
-
Знак tgλ
+
-
-
+
λ =
|λ|
1800 - |λ|
- |λ|
|λ| - 1800
3) вычисление значения обратного азимута А2= α2
cos U1 sin A1
tg A2 = -------------------------------------------
cos U1 cos σ cos A1 - sin U1sin σ
При вычислении значения A2следует руководствоваться правилом:
-
Знак sin A1
-
-
+
+
Знак tgА2
+
-
+
-
А2 =
|А2|
1800 - |А2|
180 + |А2|
3600- |А2|
Третий этап – переход с шара на эллипсоид
1) вычисление значения широты В2точкиQ2
1
tgВ2= ------------tgU2
√ 1 – е2
2) вычисление значения долготы L2 точкиQ2
L2 = L1 + ℓ = L1 + λ - δ
3) вычисление значения обратного азимута А21 линииQ2Q1
А21 = А2 + 1800 .
Промежуточные контроли (приближенные):
1. ΔB12 ≈ ΔU12
2. ΔB012 111,2kм =QkмQ2 +P2 ≈ S2
ΔL012 111,2 kм cos Bm = P kм
Основной контроль– результаты решения обратной задачи.
Примеррешения прямой геодезической задачи
способом Бесселя (1-й алгоритм) на эллипсоиде
Красовского
Даны для точки q1:
координаты точки B1 = 500 07′ 40,970”; L1 = 230 45′13,430”;
прямой азимут линии SА12 = 3029′ 45,830”;
длина линии S:S =281 260,18 м;
Определить: координатыQ2 и значение обратного азимута А21.
-
Обозначения
Значения
Обозначения
Значения
B1
50007′ 40,97”
α”
690,8886
L1
23 45 13,43
β”
0,2893
A1
3 29 45,83
σ0 рад
0,043 345 949
S м
281 260, 18
2(σ0 + σ1)
1,835 019 318
√(1 – e2)
0,996 647 670
sin2(σ0 + σ1)
0.965 295 715
tg U1
1,193 163 659
сos2(σ0 + σ1)
- 0,261159 304
sin U1
0,766 418 545
σрад
0,044 154 621
cos U1
0,642 341 508
δ”
1,195
sin A1
0,060 979 969
sin U2
0,793 971 915
cos A1
0,998 138 990
tg U2
1,305 972 728
sin A0
0,039 169 966
B2
520 39′ 03,91”
cos2 A0
0,998 465 714
sin σ
0,044 140 275
ctg σ1
0,836 548 266
cos σ
0,999 025 343
σ1 рад
0,874 163 710
tg λ
0,004 427 466
sin2σ1
0,984 282 701
λ”
913, 225
cos2σ1
-0,176600013
L2
240 00 ′25,46”
A м
6 367 542,105
tg A2
0,064 563 255
Bм
5 337,303
A2
3041′ 38,67”
Cм
2,237
A21
1830 41′ 38,67”
Вывод по результатам лабораторной работы: сопоставление
полученных результатов решения прямой геодезической задачи обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.
Исходные данные для решения задач по вариантам:
Координаты точки Q1: В1 = 500 07′ 40, 000”
L1 = 24 45 14, 000
Прямой азимут: А1 = 3 30 00, 000 + 10 n, гдеn- номер по списку в журнале группы
Длина S = 281 260, 18 м ; Эллипсоид ПЗ-90.
Решение обратной геодезической задачи
по формулам со средними аргументами
При решении обратной геодезической задачи для расстояний между точками Q1иQ2 не более 400 км наиболее удобной оказывается формула со средними аргументами.
Точности определения длины линии, прямого и обратного азимутов характеризуются следующими предельными погрешностями:
|
S, км |
δS, м |
δА” |
|
80 200 400 |
0,01 0,1 1,0 |
0,02 0,1 0,5 |
Технологическая цепочка решения задачи и рабочие формулы:
1) по координатам точек Q1 иQ2 вычисляются значения
(B2 -B1)” (L2 -L1)” B2 +B1
∆Bрад= ------------, ℓрад= ------------,Bm= ----------,
ρ” ρ” 2
a Vm
=√ (1 + e′2 cos2Bm),
Nm
= c / Vm
, Mm
= c / Vm3,
c = ------------
√(1– e2)
Контроль:Nm/Mm=V2.
2) вычисляются значения Q , Р , ∆A и Аm
ℓ2(2 + sin2 Bm)
Q = S cos Am =∆B Mm [ 1 - ---------------------]
24
∆B2 - (ℓ sin Bm)2
P = S sin Am = ℓ Nm cos Bm [ 1 + ----------------------]
24
3∆B2 + 2 ℓ2 - 2(ℓ sin Bm)2
∆A” = ℓ sin Bm [ 1 + ------------------------------- ]ρ”
24
tgAm=P/Q
3) вычисляются искомые значения прямого A12 и обратногоA21азимутов и расстоянияS:
A12 = Am - ∆A / 2, A21 = Am + ∆A / 2 ± 1800,
S = P / sin Am = Q / cos Am = √(Q2 + P2).
Контроль– сравнение с данными, полученными при решении
прямой геодезической задачи.
Исходные данные – геодезические координаты точек 1 и 2 принять из решения прямой задачи по своему варианту.
Примеррешения обратной геодезической задачи на
эллипсоиде Красовского
Дано: значения координат точекQ1иQ2
B1 = 500 07′ 40.97”, B2 = 520 39′ 03,91”, (е′)2 = 0,006 738525,
L1 = 23 45 13,43 , L2 = 24 00 25,46, с = 6 399 698,9018 м
Определить: значения прямого А12и обратного А21 азимутов и
расстояния Sмежду точкамиQ1иQ2.
Решение выполняется в форме таблицы
|
Обозначение |
Значение |
Обозначение |
Значение |
|
B2 рад |
0,918 934 806 |
Q, м |
280 706,7048 |
|
B1 рад |
0,874 899 472 |
P, м |
17 636,3685 |
|
∆B рад |
0,044 035 334 |
tg Am |
0,062 828 461 |
|
ℓ рад |
0,004 421 597 |
Am |
30 35′ 42,29” |
|
Вm рад |
0,896 917 139 |
ℓ sin Bm |
0,003 455 104 |
|
sin Вm |
0,781 406 853 |
∆A“ |
712,79 |
|
cos Вm |
0,624 021 898 |
∆A0/2 |
00 05′ 56,42” |
|
(е′)2сos2 Вm |
0,002 624 004 |
A012 |
3 29 45,85 |
|
Vm |
1.001 311 142 |
A0 21 |
183 41 38,71 |
|
Nm , м |
6 391 318,9751 |
S=√ Q2 + P2 |
281 260,19 м |
|
Mm , м |
6 374 592,0259 |
S=P/sinAm=Q/cosAm |
281 260,19 м |
Вывод: результаты решения обратной геодезической задачи соответствуют результатам решения прямой задачи.
Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 3).
2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава IY)
3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).
4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 17).
5. Конспект лекций.
Лабораторная работа №6
Вычисление плоских прямоугольных координат
проекции Гаусса – Крюгера по криволинейным
геодезическим координатам и обратно
Необходимость введения системы плоских координат вызвана тем, что эллипсоидальная геодезическая система оказывается сложной и мало пригодной в массовых геодезических работах.
Цель работы: закрепить теоретические знания по вычислениям, связанным с применением в геодезии прямоугольной проекции Гаусса – Крюгера.