2 Вычисление геодезических координат b, l по плоским

координатам х,у

Контролем результата решения первого преобразования координат является обратное преобразование: по полученным значениям плоских координат вычислить значения геодезических координат точки на тех же эллипсоидах.

Для симметричных проекций функции преобразования представляются в виде рядов разложения по степеням ординаты “у” :

B = A₀ + A₂ y² + A₄ y⁴+ ……

ℓ= P₁ y + P₃ y³ + P₅ y⁵ + ….. , где ℓ = L - L₀

Для любой точки осевого меридиана (ℓ =0) при соблюдении условия Гаусса, что для осевого меридиана Х = х, ее широта равна В_Х = А₀ . Используя формулу для длины дуги меридиана, имеем:

Х dХ хdх

А₀=В_Х =∫₀ ---- = ∫₀ ----- - широта точки на осевом меридиане с

М М

плоскими координатами х и у= 0 и геодезическими В_хиL₀ ,т.е. при ℓ=0.

В_х = β + b₂ sin 2 β + b₄ sin 4β + b₆ sin 6 β + …, где β = х / a₀

Для эллипсоидов: Красовского WGS-84

a₀ = 6 367 558,497 м 6 367 449,146 м

b₂ = 0,002 518465 0, 002 518 827

b₄ = 0,000 003700 0, 000 003 701

b₆ = 0,000 000 007 0, 000 000 007

Вычислив значение В_х, вычисляют значения коэффициентов А и Р:

V²_x tg Bx

А₂ = - -------------- , N_x = a / √ 1 – e² sin² B_x , V_x = c/ N_x ,

2 N²_x

A₂

A₄ = - ------ (5 + 3 tg² B_x + η²_x - 9 η²_x tg² B_x - 4 η⁴_x),

12 N²_x

A₂

A₆ = ----------(61+90tg² B_x +45tg⁴ B_x +46 η²_x -252 η²_x tg² B_x -90 η²_x tg⁴ B_x)

360N_x⁴

1 Р₁

Р₁ = ------------- , P₃ = - ------------ (1 +2 tg² B_x + η²_x),

N_x cos Bx 6 N_x²

P₁

P₅ = ------------- ( 5 + 28 tg² B_x + 24 tg⁴ B_x + 6 η²_x + 8 η²_x tg² B_x )

120 N_x⁴

С этими коэффициентами значения координат выражаются в радианах.

Значение долготы определяется как

L=L₀ + ℓ,

т.е. необходимо знать значение долготы осевого меридиана L₀ зоны, в которой находится точка.

Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:

B=B_x– [ 1 – (b₄ – 0,12z²)z²]z²b₂;

ℓ = [1 – (b₃ -b₅z²)z²]z,

B_x=β+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos²β)cos²β]cos²β}sinβcosβ10^-10

β = x / 6 367 558,4969 z = y / N_x cos B_x

b₂ = (0,5 + 0,003 369 cos²B_x )sinB_x cosB_x

b₃ = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos²B_x) cos²B_x

b₄ = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos²B_x) cos²B_x

b₅ = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos²B_x) cos²B_x.

Результаты решения представить в таблице для обоих эллипсоидов.

Пример решения по общим формулам для точки,

расположенной на эллипсоиде Красовского

Исходные данные: x = 5 728 164,129 м

y = - 205  079,973 м

L₀ = 27⁰

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
βрад b2 sin 2 β b4 sin 4β b6 sin 6 β Вх рад Nx с е2 (е′)2 V2x η2x	0,899 585 631 0,002 453 074 - 0,000 001 631 - 0,000 000 005 0,902 037 068 6 391 426,090 6 399 698,3 м 0,006 693 422 0,006 738 525 1,002 590 397 0,002 590 397	А2у2 рад А4у4 А6 у 6 Врад В0 Р1у Р3у3 Р5у5 ℓ рад ℓ0 L00 L0	- 0,000 653 111 + 0,000 000 547 - 0,000 000 001 0,901 384 503 510 38′ 43,9000” - 0,051 751 708 + 0,000 037 343 - 0,000 000 050 - 0,051 714 415 - 20 57′ 46,8640” 270 240 02′ 13,1360”

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).

4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).

5. Конспект лекций.

Лабораторная работа №7

Переход от одного осевого меридиана зоны к другому

в проекции Гаусса - Крюгера

Разделение поверхности эллипсоида на зоны стандартизует вычисления, но вызывает затруднения при установлении связи между точками, расположенными в разных зонах - возникает необходимость перевычисления координат пунктов одной зоны в систему плоских координат зоны с другим осевым меридианом (по существу возникает необходимость в расширении одной из зон).

Задача преобразования плоских координат с осевым меридианом

одной зоны в другую систему состоит в том, чтобы по заданным координатам точки первой зоны определить координаты этой же точки в системе координат соседней зоны.

Цель работы: закрепить теоретические знания по теории преобразования плоских координат проекции Гаусса при переходе от осевого меридиана одной зоны к осевому меридиану другой зоны, понять сущность технологии решения такой задачи.

Технологическая цепочка решения задачи:

1) в исходной зоне с известными прямоугольными координатами точки x_1,y₁определяют значения ее геодезических координатB₁,L₁по методике, приведенной в работе № 6;

2) по значениям геодезических координат B₁,L₁ устанавливают значения осевых меридианов исходнойL¹₀ и соседнейL²₀зон ;

3) определяют новое значение разность долгот ℓ₂ =L¹–L²₀исходной точки относительно осевого меридианаL²₀соседней зоны;

4) по геодезическим координатам исходной точки определяются значения ее плоских координат в системе координат соседней зоны с использованием нового значения ℓ₂ по формулам из работы №6.

С целью проверки правильности решения задачи, выполняется обратный переход в начальную зону - определяют геодезические координаты точки и сравнивают с вычисленными по плоским координатам точки первой зоны.

Исходная информация

Дано: значения плоских координат исходной зоны (выбрать по варианту из работы №6 для точки на эллипсоиде Красовского).

Определить: значения плоских координат заданной точки в системе соседней шестиградусной зоны (с номером варианта четным – с запада, при нечетном номере - восточнее).

В текстовой части отчета по работе привести рабочие формулы и последовательность вычислений.

Пример решения задачи для 6-ти градусной зоны с

элементами эллипсоида Красовского

Дано: плоские прямоугольные координаты точки на эллипсоиде Красовского в шестиградусной зоне с осевым меридианомL₀ = 27⁰:

x = 5 728 164,129 м

y = - 205 079,973 м

Определить плоские прямоугольные координаты этой точки в системе координат смежной с запада зоны сL₀ = 21⁰.

Геодезические координаты заданной точки и значения ℓ выписываются из примера работы №6:

B = 51⁰ 38′ 43,9000”

L = 24 02 13,1360

ℓ _п=L– (L₀)_п= - 2⁰ 57′ 46,8640” и ℓ_л=L– (L₀)_л+ 3⁰ 02′ 13,1360”

Контроль: ℓ_л - ℓ_п = 6⁰.

По геодезическим координатам точки с новым значением удаления от осевого меридиана левой зоны ℓ = + 3⁰ 02′ 13,1360”

вычисляются значения плоских координат точки в системе координат левой зоны.

Рабочие формулы для вычисления плоских координат на эллипсоиде с элементами Красовского:

х _М= 6 367 558, 4969 В – {а₀– [0,5 + (а₄ +а₆ℓ²) ℓ²] ℓ²N}sinBcosB,

y _м = [ 1 + (a₃ + a₅ ℓ²) ℓ²] ℓ N cosB.

Коэффициенты а_iвычисляются по формулам:

а₀ = 32140,404 – [135,3302 – (0,7092 – 0,004cos² B) cos² B] co s² B;

а₄ = (0,25 + 0,00252cos²B) cos²B – 0,04166;

a₆ = (0,166 cos²B– 0,084 ) cos²B;

а₃ = (0,3333333 + 0,00123 cos²B) cos²B – 0,1666667;

а₅ = 0,0083 – [ 0,1667 – (0,1968 + 0,004 cos²B) cos²B] cos²B.

N = a /√ 1 – e²sin²B.

Решение записывают в таблицу

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
Врад ℓрад sin B cos B cos2B sinBcosB ℓ2 N N ℓ2	0,901384503 0,053005340 0,784186779 0,620524854 0,385051094 0,486607386 0,002 809 566 6 391 412,450 17 957,095	а0 а4 а6 а3 а5 6367558,4969В x 1 + (а3 +а5 ℓ2) ℓ2 N ℓcos B y	32088,3990 0,05497640 - 0,00773241 - 0,03814984 - 0,02648124 5739618,5511 5 728 374,475м 0,999892651 210 220,7833 210198,207 м

Для контроля по полученным значениям плоских координат точки вычисляют ее геодезические координаты:

В = В_х – [1 – (b₄ – 0,12z² )z²]z²b²

ℓ = [1 – (b₃ – b₅ z²) z²]z.

B_x= β+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos²β)cos²β] cos²β}sinβcosβ 10^{- 10}

β = x / 6 367 558,4969; z = y / N_x cos B_x

b₂ = (0,5 + 0,003 369 cos²B_x )sinB_x cosB_x

b₃ = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos²B_x) cos²B_x

b₄ = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos²B_x) cos²B_x

b₅ = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos²B_x) cos²B_x.

Решение задачи с элементами эллипсоида Красовского приведено в таблице при х = 5 728 374,475 м и у= 210 198,207 м:

Обозначения	Значения	Обозначения	Значения
βрад sin β sin 2β cos2 β sin β cos β Вх рад е2 Nx cos2Bx cosBx Nx cosBx z	0,899 618 665 0,783 089 811 0,613 229 652 0,386 770 347 0,487 010 313 0,902 070 064 0,006693 4216 6 391 426,778 0,384384005 0,619 987100 3 962 602,157 0,053045 498	z2 b2 b4 b3 b5 z2 b2 Врад В0 ℓ рад ℓ “ ℓ0 L0	0,002 813 824 0,243 854 67 0,312 950 66 0,269 434 80 0,137 223 40 0,000 686 164 0,901 384 504 510 38′ 43,9000” 0,053 005 339 10933,1361 30 02′13,1361” 240 02′ 13,1361”

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).

2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)

3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).

4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).

5. Конспект лекций.

Лабораторная работа №8

Редуцирование треугольника с поверхности Земли

на поверхность эллипсоида

Цель работы: закрепить теоретические знания по вопросам решения редукционной задачи в геодезии – проектирования измеренных величин на поверхность эллипсоида .

Сущность задачи - перейти от значений измеренных величин элементов треугольника на земной поверхности к их проекциям на поверхности относимости (эллипсоид).

Метод решения данной редукционной задачи состоит в проектировании измеренных на земной поверхности величин элементов треугольника на поверхность эллипсоидапо нормалям.

При решении данной редукционной задачи возникают следующие операции:

1.Редуцирование измеренных углов: 1) переход от отвесной линии к нормали; 2) вычисление поправок за высоту над поверхностью эллипсоида наблюдаемого пункта; 3) переход от нормальных сечений к геодезическим линиям на поверхности эллипсоида;

2. Редуцирование длины стороны треугольника.

Задание: редуцировать значения измеренных на земной поверхности элементов треугольника триангуляции 1 класса на поверхность относимости c параметрами элементов эллипсоида WGS - 84.