Лабораторная работа №4 Решение малого сфероидического треугольника

Решить треугольник– определить все его элементы: стороны и углы.

Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный геодезическими линиями, называют сфероидическимтреугольником. (Вопрос о редуцировании треугольника с земной поверхности на поверхность эллипсоида рассматривается в лабораторной работе №8). Решение такого треугольника с большими длинами сторон с требуемой высокой точностью затруднительно. Треугольник сравнительно малых размеров – со сторонами до 240 км – решается достаточно просто, принимая его засферический, в котором стороны являются дугами большого круга).

Цельюлабораторной работы является закрепление теоретических знаний по способам решения малых сфероидических треугольников на примере решения треугольника наиболее простыми известными способами: по способу аддитаментов (Зольднер,1820 г.) и с использованием теоремы Лежандра (1787 г.).

В геодезии известными обычно являются горизонтальные углы треугольника, измеряемые на пунктах, и длина одной из его сторон. Поэтому задача обычно сводится к нахождению длины двух других сторон треугольника.

1. Решение малого треугольника по способу аддитаментов

Суть способа: при решении малого сфероидического треугольника его углы оставляют сферическими, а длину сторон исправляют специальной “добавкой” -аддитаментом.

Исходной рабочей формулой для решения задачи является теорема синусов для сферического треугольника:

sin a/R sin b/R sin c/R

---------- = ---------- = ----------.

sin A sin B sin C

Стороны a,b,cмалого треугольника значительно меньше радиуса земного шараR, поэтому, ограничивая разложение синуса малой дуги в ряд только двумя первыми членами, получаем:

sin a/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = a′ = a - a³ k = a - A_a,

sin b/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = b′ = b + b³k = b - A_b,

sin c/R = (a – a³ / 6R²_СР.) =c′ =c+c³k=c-A_c,

где: в скобках –длина сторон a′,b′,c′ плоского треугольника;

A_a,B_b,C_c–аддитаменты(добавки) в длину сферической стороны для получения значения длины стороны плоского треугольника: А_а = ка³; А_b = кb³; А_c = кc³; коэффициент К = 1/ 6R²_СР.

Для средней широты РФ, если R_ср.и длину стороны треугольника выражать в км, значение “к” = 409х10^-8. Тогда аддитаменты А будут выражатьсяв метрах.

Последовательность решения задачи:

1) вычислить аддитамент A_bисходной сферической стороныbкак

А_b = кb³;

2) вычислить длину стороны b′ плоского треугольника

b′ =b–b³А_b;

3) используя формулу синусов для плоского треугольника, определить длину двух других его плоских сторон а′ и с′;

4) по полученным значениям а′ и с′ вычислить аддитаменты этих сторон А_а и А_с;

5) определить длину искомых сферичских сторон а и cкак:

а = а′ + А_аиc= с′ + А_с .

Решение треугольника выполняется в форме таблицы.

Пример решения

Дано:

1) сферический треугольник на поверхности эллипсоида с известной стороной b= 45 297,282 м исферическими углами

А = 60⁰ 12ُ 45,257”, В = 51⁰20′ 20,552” , С = 68⁰26′ 59,701”, предварительно уравненными за невязкуWтреугольника:

W= А + В + С – 180⁰ - ε, где:

ε” = (fb² sinAsinC) /sinB– сферический избыток, А,В и С - углы треугольника (значения которых достаточно знать до минут), сторонаb– в километрах,f- коэффициент в функции широтыf= ρ”/ 2R²(для территории РФ приRиbв км коэффициентfпринимается равнымf=0,00253”/ км²). Если имеется невязкаW, то она распределяется поровну ∆_i = -W/ 3 в каждый угол.

Схема треугольника

B

ca

AbC

2) среднее значение широты треугольника: В_тр.= 55⁰.

Определитьдлину сторон “а” и “c” с округлением до 0,001 м.

Решение:

аддитамент исходной стороны А_b = кb³=0,380 м;

длина стороны b′ плоского треугольникаb′ =b-b³А_b =45296,902 м;

значения плоских сторон а¹ =52054,571 м; с¹ =54341,166 м;

аддитаменты сторон А_а = к а³ = 0,577 м; А_c = кc³=0,656 м.

	Сферические углы	sin углов	Плоская сторона, м	А, м	Сферич. сторона, м
А	620 12′ 45,257”	0,884683284	52054,571	0,577	52055,148
B	50 20 20,552	0,769834642	45296,902	0,380	45297,282
C	67 26 59,701	0,923544670	54341,166	0,656	54341,822

Σ 180⁰ 00′ 05,510”

ε 5,510

W 0,000