2. Решение треугольника по теореме Лежандра

На практике способ аддитаментов используется обычно как контрольный. Решение треугольника выполняют по способу Лежандра, основанного на его теореме: “если стороны плоского и сферического треугольников равны между собой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка”.

В связи с этим в данном способе решения треугольника сферические стороны остаются неизменными, а в сферические углы треугольника вводятся поправки - ε/3 за сферический избыток. Затем треугольник решается как плоский.

Последовательность решения:

1. Вычисление сферического избытка и невязки треугольника и распределение их поровну в исходные сферические углы (если значение сферического избытка и невязки не делятся ровно на три части, то доля в один из углов изменяется на одну единицу последнего разряда в большую или меньшую сторону); при отсутствии невязки треугольника значение сферического избытка контролируется отличием суммы углов от 180⁰.

2. Исправление углов за сферический избыток:

А¹ =A–ε/3, B¹=B- ε/3, C¹=C-ε/3.

3. С исправленными за сферический избыток углами с длиной исходной сферической стороны по теореме синусов для плоского треугольника находят значение длины остальных сферических сторон треугольника.

Решение треугольника выполняется в форме таблицы.

Пример решения:

Исходные данные взяты из условий решения треугольника по способу аддитаментов.

Вычисляется значение сферического избытка ε” = 5, 510”

	Сферические углы	- ε/3	Углы плоские	Sin углов	Сферичеcк. сторона,м
А	620 12′ 45,257”	-1,837”	62012′ 43, 420”	0,884679132	52055,148
B	50 20 20,552	-1,837	50 20 18, 715	0,769828958	45297,282
C	67 26 59,701	-1,836	67 26 57, 865	0,923541257	54341,823

Σ 180 00 00,000 - 5,510 180 00 00, 000

ε” = 5,510

w=0,000

Сопоставление полученных результатов решения треугольников обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.

Задание по вариантам:

Значения сферических углов треугольника принять из примера данной работы;

Значение исходной стороны треугольника АС = “b” принять равным “b” = 44 797,282 м +100 м хn, гдеn– номер по списку в журнале группы;

среднее значение широты треугольника В_ср.= 55⁰.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 2).

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 16).

4. Конспект лекций.

Лабораторная работа №5 Решение главных геодезических задач на поверхности

эллипсоида

Цельюлабораторной работы является закрепление теоретического материала по решению задач на поверхности эллипсоида; ознакомление с технологией вычислительных работ при решении главных геодезических задач различными способами.

Прямой и обратной геодезическими задачами называют главными геодезическими задачами, решаемыми на поверхности относимости (эллипсоида) Решением этих задач определяется взаимное положение двух точек на эллипсоиде.

Прямая геодезическая задачазаключается в том, что по известным координатамB₁ ,L₁некоторой начальной точкиQ₁, прямому азимуту А₁₂и расстояниюSмежду точкамиQ₁ иQ₂ определяются координаты второй точкиQ₂: B₂ ,L₂и значение обратного азимута А₂₁.

Обратная геодезическая задачазаключается в том, что по положению точекQ₁ иQ₂ определяются длина расстоянияSмежду ними, прямой А₁₂и обратный А₂₁азимуты направленияQ₁Q₂ .

Способы решения прямой геодезической задачи

Существуют разные способы решения прямых задач на эллипсоиде. При выборе конкретного способа решения следует руководствоваться его эффективностью в зависимости от длины расстояния Q₁Q₂ и требуемой точностью определяемых элементов.

На практике приходится решать задачи для точек с длиной расстояния между ними вплоть до 20 000 км.

При малых расстояниях (до 300 км) для решения прямой задачи с погрешностью координат в пределах10…15 см (0,003 …0,005”) и азимута менее 0,003” наиболее часто применяют способ РУНГЕ-КУТТА - ИНГЛАНДА, в основу которого положен численный метод интегрирования дифференциальных уравнений первого рода. При решении задачи на любые большие расстояния это расстояние делится на части, которые соответствуют, например, средним расстояниям, рассматривая части как шаг интегрирования.

При любых больших расстояниях (более 1000 км) задачу решать целесообразно способом БЕССЕЛЯ (первый алгоритм).

Пример решения прямой геодезической задачи способом

Рунге – Кутта - Ингланда на эллипсоиде Красовского

Рабочие формулы:

B₂= В₁+ 1/ 6 (∆В₁ + 4∆В₃+ ∆В₄);

L₂ =L₁+ 1/ 6 (∆L₁+ 4 ∆L₃+ ∆L₄); (1)

А₂= А₁+ 1/ 6 (∆А₁+ 4 ∆А₃+ ∆А₄),

где

sin А_i

∆В_i = S₀ V_i³ cos А_i , ∆L_i = S₀ V_i ----------, ∆А _i = ∆L_i sin В_i (2)

cos В_i

(1 +0,6 γ_i)

V_i = ---------------, γ_i = β cos² В_i, β = 1,25 (е′)², S₀ = (S/с) ρ”,

(1 + 0,2 γ_i)

с – полярный радиус кривизны.

Для эллипсоида Красовского имеем:

с = 6 399 698,3 м, β= 0,008 423 16,S₀^”= 0,0322304S, гдеS– в м.

Значения В_iи А_i определяют в зависимости от номера приближенияi(обычно достаточно четырех приближений).

Решение выполняется в форме таблиц 1 и 2.

Таблица 1

№ i	Вi	А i
1	В1	А1
2	В1 + ½∆В1	А1 + ½∆А1
3	В1 + ¼(∆В1+∆В2)	А1 + ¼(∆А1+∆А2)
4	В1 - ∆В2 + 2∆В3	А 1 - ∆А2 + 2∆А3

Последовательность операций решения задачи:

1) исходные данные для точки Q₁(В₁ и А₁) вписываются в строку 1 таблицы 1;

2) по этим данным по формулам (2) вычисляются значения ∆В₁, ∆А₁, ∆L₁ и определяются значения строки 2 таблицы: широту В₂и азимут А₂;

Аналогично определяются значения строк 3 и 4.

Вычисление окончательные значений координат точки Q₂ и значение обратного азимута А₂₁ выполняется в форме таблицы 2.

Дано для точки Q₁:

координаты точки B₁ = 50⁰ 07′ 40,97”;L₁ = 23⁰45′ 13,43”;

прямой азимут линии S₁₂; А₁= А₁₂ = 3⁰29′ 45,83”;

длина линии S₁₂ = 281 260,18 м;

S₀ = 9 065,125”; β = 1,25х 0,006 738 525= 0,008 423 156;

γ_i = β cos² В_i = 0,0034617